Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রতীকের সাহায্যে চলকদ্বয়ের পৃথক পৃথক যোগফলের গুণফল ও এদের একত্রে গুণফলের সমষ্টি নির্ণয়পূর্বক সমান কি-না? মন্তব্য কর।

উত্তর: উদ্দীপক হতে পাই, [গণিত] এখানে, [গণিত] চলকদ্বয়ের পৃথক পৃথক যোগফলের গুণফল [গণিত] আবার, চলকদ্বয়ের একত্রে গুণফলের সমষ্টি [গণিত] এখানে, [গণিত] সুতরাং, চলকদ্বয়ের পৃথক পৃথক যোগফলের গুণফল এবং এদের একত্রে গুণফলের সমষ্টি সমান।

HSC Statistics 1st Paper Chapter 1: পরিসংখ্যান, চলক ও বিভিন্ন প্রতীকের ধারণা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Statistics 1st Paper · Chapter 1: পরিসংখ্যান, চলক ও বিভিন্ন প্রতীকের ধারণা · সৃজনশীল

প্রতীকের সাহায্যে চলকদ্বয়ের পৃথক পৃথক যোগফলের গুণফল ও এদের একত্রে গ…

উদ্দীপক

জনাব রনি একজন অবসরপ্রাপ্ত শিক্ষক। অবসরকালীন সময়ে তিনি তার বাগান বাড়িতে বিভিন্ন প্রজাতির ফল ও মাছ চাস করে সবার প্রশংসা পাচ্ছেন। সম্প্রতি বাগান বাড়ির পুকুর থেকে দুই প্রজাতির পাঁচটি মাছের নমুনা সংগ্রহ করেন: question image

সিলেট এমসি কলেজ · 2025

উত্তর

যে পরিমাপন স্কেলের সাহায্যে তথ্যের কোনো বৈশিষ্ট্যকে পূর্ব হতে নির্ধারিত কোনো আদর্শ মানের সাথে তুলনা করে পরিমাপ করা হয় এবং শূন্যকে পরমশূন্য বিবেচনা করা হয় তাঁকে আনুপাতিক স্কেল বলে।

উত্তর

"আজ দেশের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা পঞ্চগড়ে 9° C"- এটি শ্রেণিসূচক পরিমাপনের স্কেল। ব্যাখ্যা: যে পরিমাপন স্কেলের সাহায্যে তথ্যের এককগুলোর মধ্যে সংখ্যাগত পার্থক্যের মাত্রা পরিমাপ করে এবং শূন্যকে পরমশূন্য বিবেচনা করে না তাকে শ্রেণিসূচক পরিমাপন বলে। এতে তথ্যের প্রতিটি একক তার আগের ও পরের একক থেকে সমান ব্যবধানে থাকে। এই পরিমাপন পদ্ধতিতে তথ্যের মানগুলোর উপর যোগ, বিয়োগ গাণিতিক প্রক্রিয়া প্রয়োগ করা যায়। কিন্তু গুণ ও ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করা যায় না। "আজ দেশের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা পঞ্চগড়ে ১০ C” এটি একটি শ্রেণিসূচক পরিমাপনের স্কেল। কেননা তাপমাত্রাকে সমান ব্যবধানে শ্রেণিকরণ করা যায় এবং এর উপর গাণিতিক প্রক্রিয়া যোগ ও বিয়োগ প্রয়োগ করা যায় কিন্তু গুণ ও ভাগ করা যায় না। অতএব, "আজ দেশের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা পঞ্চগড়ে 9° C" এটি একটি শ্রেণিসূচক পরিমাপনের স্কেল।

উত্তর

ধরি，প্রজাতি－১ ওজনের চলক， xi=1.0,2.0,2.5,3.5,4\mathrm{x}_{\mathrm{i}}=1.0,2.0,2.5,3.5,4 এখানে， x1=1.0,x2=2.0,x3=2.5,x4=3.5\mathrm{x}_1=1.0, \mathrm{x}_2=2.0, \mathrm{x}_3=2.5, \mathrm{x}_4=3.5 এবং x5=4x_5=4 ১ম চলকের প্রতিটি মানের সাথে 5 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি ∑i=15(xi+5)2\sum_{i=1}^5\left(x_i+5\right)^2 =(x1+5)2+(x2+5)2+(x3+5)2+(x4+5)2+(x5+5)2= \left(x_1+5\right)^2+\left(x_2+5\right)^2+\left(x_3+5\right)^2+\left(x_4+5\right)^2+\left(x_5+5\right)^2 =(1.0+5)2+(2.0+5)2+(2.5+5)2+(3.5+5)2+(4+5)2= (1.0+5)^2+(2.0+5)^2+(2.5+5)^2+(3.5+5)^2+(4+5)^2 =(6)2+(7)2+(7.5)2+(8.5)2+(9)2= (6)^2+(7)^2+(7.5)^2+(8.5)^2+(9)^2 =36+49+56.25+72.25+81= 36+49+56.25+72.25+81 =294.5= 294.5 সুতরাং, ১ম চলকের প্রতিটি মানের সাথে 5 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি =∑i=15(xi+5)2=294.5=\sum_{i=1}^5\left(x_i+5\right)^2=294.5

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, x1:1.0,2.0,2.5,3.5,4\mathrm{x}_1 : 1.0,2.0,2.5,3.5,4 yj:2.0,2.3,3.5,4.0,5.0\mathrm{y}_{\mathrm{j}} : 2.0,2.3,3.5,4.0,5.0 এখানে, x1=1.0,x2=2.0,x3=2.5x_1 =1.0, \mathrm{x}_2=2.0, \mathrm{x}_3=2.5 x4=3.5,x5=4\mathrm{x}_4 =3.5, \mathrm{x}_5=4 y1=2.0,y2=2.3,y3=3.5\mathrm{y}_1 =2.0, \mathrm{y}_2=2.3, \mathrm{y}_3=3.5 y4=4.0,y5=5.0\mathrm{y}_4 =4.0, \mathrm{y}_5=5.0 ∴\therefore চলকদ্বয়ের পৃথক পৃথক যোগফলের গুণফল =(∑i=15xi)(∑j=15yj)=\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)\left(\sum_{j=1}^5 y_j\right) =(x1+x2+x3+x4+x5)(y1+y2+y3+y4+y5)=\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\right)\left(y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\right) =(1.0+2.0+2.5+3.5+4)(2.0+2.3+3.5+4.0+5.0)=(1.0+2.0+2.5+3.5+4)(2.0+2.3+3.5+4.0+5.0) =13×16.8=218.4=13 \times 16.8=218.4 আবার, চলকদ্বয়ের একত্রে গুণফলের সমষ্টি =∑i=15∑j=15xiyj=\sum_{i=1}^5 \sum_{j=1}^5 x_i y_j =∑i=15(∑j=15xiyj)=\sum_{i=1}^5\left(\sum_{j=1}^5 x_i y_j\right) =∑i=15(xiy1+xiy2+xiy3+xiy4+xiy5)=∑i=15{xi(y1+y2+y3+y4+y5)}=∑i=15{xi(2.0+2.3+3.5+4.0+5.0)}=∑i=15xi×16.8=(x1+x2+x3+x4+x5)×16.8=(1.0+2.0+2.5+3.5+4)×16.8=13×16.8=218.4\begin{aligned} & =\sum_{i=1}^5\left(x_i y_1+x_i y_2+x_i y_3+x_i y_4+x_i y_5\right) \\ & =\sum_{i=1}^5\left\{x_i\left(y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\right)\right\} \\ & =\sum_{i=1}^5\left\{x_i(2.0+2.3+3.5+4.0+5.0)\right\} \\ & =\sum_{i=1}^5 x_i \times 16.8 \\ & =\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\right) \times 16.8 \\ & =(1.0+2.0+2.5+3.5+4) \times 16.8 \\ & =13 \times 16.8=218.4\end{aligned} এখানে, (∑i=15xi)(∑j=15yj)=∑i=15∑j=15xiyj\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)\left(\sum_{j=1}^5 y_j\right)=\sum_{i=1}^5 \sum_{j=1}^5 x_i y_j সুতরাং, চলকদ্বয়ের পৃথক পৃথক যোগফলের গুণফল এবং এদের একত্রে গুণফলের সমষ্টি সমান।
HSCStatistics 1st PaperChapter 1: পরিসংখ্যান, চলক ও বিভিন্ন প্রতীকের ধারণা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচে 25 নম্বরের একটি শ্রেণি পরীক্ষার কয়েকজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হলো : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 24.

Dhaka · 2017

ক
চলক কী?
খ
বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকের পার্থক্য ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপকের উপাত্ত ব্যবহার করে ∑i=18(xi−7)2\sum_{i=1}^8\left(x_i-7\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপক থেকে মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষা করে মন্তব্য কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচে 25 নম্বরের একটি শ্রেণি পরীক্ষার কয়েকজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হলো : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 24.

Dhaka · 2017

ক
চলক কী?
খ
বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকের পার্থক্য ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপকের উপাত্ত ব্যবহার করে ∑i=18(xi−7)2\sum_{i=1}^8\left(x_i-7\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপক থেকে মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষা করে মন্তব্য কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

লিমনের সংগৃহীত তথ্য নিম্নরূপ : x1=5,x2=−2,x3=72x4=1,x5=3x_1=5, x_2=-2, x_3=7_2 x_4=1, x_5=3 লিমন বলল, ∑i=15xi2≠(∑i=15xi)2\sum_{i=1}^5 x_i^2 \neq\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2

Rajshahi · 2018

ক
ধ্রুবক কী?
খ
“একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর।”- এটি কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।
গ
∑i=15(3xi2−5xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর।
ঘ
লিমনের বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

লিমনের সংগৃহীত তথ্য নিম্নরূপ : x1=5,x2=−2,x3=72x4=1,x5=3x_1=5, x_2=-2, x_3=7_2 x_4=1, x_5=3 লিমন বলল, ∑i=15xi2≠(∑i=15xi)2\sum_{i=1}^5 x_i^2 \neq\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2

Rajshahi · 2018

ক
ধ্রুবক কী?
খ
“একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর।”- এটি কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।
গ
∑i=15(3xi2−5xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর।
ঘ
লিমনের বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

সীমা ও পলির অঙ্কে প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় 25 এবং জ্যামিতিক গড় 15। সীমার নম্বর a ও পলির নম্বর b। রিমা বলল তাদের নম্বরের ব্যবধান 40।

Rajshahi · 2019

ক
মধ্যমা কী?
খ
কেন্দ্রীয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ কোনটি?
গ
সীমা ও পলির নম্বরের তরঙ্গ গড় নির্ণয় কর।
ঘ
a ও b এর মান নির্ণয়পূর্বক রিমার মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

সীমা ও পলির অঙ্কে প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় 25 এবং জ্যামিতিক গড় 15। সীমার নম্বর a ও পলির নম্বর b। রিমা বলল তাদের নম্বরের ব্যবধান 40।

Rajshahi · 2019

ক
মধ্যমা কী?
খ
কেন্দ্রীয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ কোনটি?
গ
সীমা ও পলির নম্বরের তরঙ্গ গড় নির্ণয় কর।
ঘ
a ও b এর মান নির্ণয়পূর্বক রিমার মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

সাকিব বিশ্বের সেরা ক্রিকেট খেলোয়াড়। বিপিএল খেলায় 4টি ম্যাচে তার উইকেট প্রাপ্তির তথ্য (x) নিম্নরূপ : 3, 4, 1, 4।

Rajshahi · 2019

ক
চলক কী?
খ
পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর কোনো প্রভাব আছে কী? ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে প্রতিটি মানের 3 গুণের সাথে 2 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করে নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে বলা যায় Σ(xi−3)2<Σ(xi−4)2\Sigma\left(x_i-3\right)^2<\Sigma\left(x_i-4\right)^2 গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

সাকিব বিশ্বের সেরা ক্রিকেট খেলোয়াড়। বিপিএল খেলায় 4টি ম্যাচে তার উইকেট প্রাপ্তির তথ্য (x) নিম্নরূপ : 3, 4, 1, 4।

Rajshahi · 2019

ক
চলক কী?
খ
পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর কোনো প্রভাব আছে কী? ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে প্রতিটি মানের 3 গুণের সাথে 2 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করে নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে বলা যায় Σ(xi−3)2<Σ(xi−4)2\Sigma\left(x_i-3\right)^2<\Sigma\left(x_i-4\right)^2 গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ছয়জন শিক্ষার্থীর দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর নিম্নরূপ : question image উপর্যুক্ত অথ্যের জন্য একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করল∑xi2>∑yi2\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^2>\sum \mathrm{y}_{\mathrm{i}}^2

Rajshahi · 2022

ক
পরিসংখ্যানের সংজ্ঞা দাও।
খ
“কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” - ইহা কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে (∑xi)2\left(\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ছয়জন শিক্ষার্থীর দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর নিম্নরূপ : question image উপর্যুক্ত অথ্যের জন্য একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করল∑xi2>∑yi2\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^2>\sum \mathrm{y}_{\mathrm{i}}^2

Rajshahi · 2022

ক
পরিসংখ্যানের সংজ্ঞা দাও।
খ
“কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” - ইহা কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে (∑xi)2\left(\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

মি. রাসেল তথ্য সংগ্রহ করে মন্তব্য করেন “তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি এবং বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ সমান নয়।” তথ্য (xi) নিম্নরূপ : 7, 4, 8, 6, 5।

Dhaka · 2022

ক
ধ্রুবক কী?
খ
কখন শূন্যকে পরম শূন্য ধরা যায় না? ব্যাখ্যা কর।
গ
তথ্য হতে ∑i=15(3xi2−xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর ।
ঘ
মি. রাসেলের মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

মি. রাসেল তথ্য সংগ্রহ করে মন্তব্য করেন “তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি এবং বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ সমান নয়।” তথ্য (xi) নিম্নরূপ : 7, 4, 8, 6, 5।

Dhaka · 2022

ক
ধ্রুবক কী?
খ
কখন শূন্যকে পরম শূন্য ধরা যায় না? ব্যাখ্যা কর।
গ
তথ্য হতে ∑i=15(3xi2−xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর ।
ঘ
মি. রাসেলের মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক থেকে মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষা করে মন্তব্য কর।উদ্দীপকের উপাত্ত ব্যবহার করে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।লিমনের বক্তব্য যাচাই কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।a ও b এর মান নির্ণয়পূর্বক রিমার মন্তব্য যাচাই কর।সীমা ও পলির নম্বরের তরঙ্গ গড় নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে বলা যায় [গণিত] গাণিতিকভাবে যাচাই কর।উদ্দীপকের আলোকে প্রতিটি মানের 3 গুণের সাথে 2 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি প্রতীউদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্য যাচাই কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।মি. রাসেলের মন্তব্য যাচাই কর।তথ্য হতে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন