Chapter 1: পরিসংখ্যান, চলক ও বিভিন্ন প্রতীকের ধারণা Statistics 1st Paper

HSC Statistics 1st Paper এর Chapter 1: পরিসংখ্যান, চলক ও বিভিন্ন প্রতীকের ধারণা অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৩৯৬

প্রশ্ন

Statistics 1st Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচে 25 নম্বরের একটি শ্রেণি পরীক্ষার কয়েকজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হলো : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 24.

Dhaka · 2017

ক
চলক কী?

উত্তর

যে বৈশিষ্ট্যের মান এককভেদে পরিবর্তনশীল অর্থাৎ এককের সাপেক্ষে গুণে বা পরিমাণে পরিবর্তিত হয়, তাই চলক।
খ
বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকের পার্থক্য ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকের মধ্যে পার্থক্য নিম্নরূপ- বিচ্ছিন্ন চলক অবিচ্ছিন্ন চলক ১. এটি গণনা করা যায়। ১. এটি গণনা করা যায় না। ২. এটি কেবল অবিরত মাধ্যমে নিবেশনের মাধ্যমে ২. এটি বিরত ও অবিরত নিবেশনের উপস্থাপন করা যায়। ৩. একে অন্তর্ভুক্তি ও বহির্ভুক্তি নিবেশনে বিন্যাস করা যায়। ৩. একে শুধুমাত্র বহির্ভুক্তি নিবেশনে বিন্যাস করা যায়। ৪. এর মান সসীম বা অসীম হতে পারে। ৪. এর মান সর্বদাই অসীম।
গ
উদ্দীপকের উপাত্ত ব্যবহার করে ∑i=18(xi−7)2\sum_{i=1}^8\left(x_i-7\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, প্রাপ্ত নম্বর, xi:5,8,11,14,17,20,23,24\mathrm{x}_{\mathrm{i}}: 5,8,11,14,17,20,23,24 এখানে, ∑i=18xi=5+8+11+14+17+20+23+24=122\sum_{i=1}^8 x_i=5+8+11+14+17+20+23+24=122 এবং ∑i=18xi2=52+82+112+142+172+202+232+242\sum_{i=1}^8 x_i^2=5^2+8^2+11^2+14^2+17^2+20^2+23^2+24^2 =25+64+121+196+289+400+529+576=25+64+121+196+289+400+529+576 = 2200 ∴∑i=18(xi−7)2=∑i=18{xi2−2.xi⋅7+8×(7)2}\therefore \sum_{i=1}^8\left(x_i-7\right)^2=\sum_{i=1}^8\left\{x_i^2-2 . x_i \cdot 7+8 \times(7)^2\right\} =∑i=18xi2−14∑i=18xi+8×49=\sum_{i=1}^8 \mathrm{x}_{\mathrm{i}}{ }^2-14 \sum_{\mathrm{i}=1}^8 \mathrm{x}_{\mathrm{i}}+8 \times 49 =2200−14×122+392=2200-14 \times 122+392 =2200−1708+392=2200-1708+392 =2592−1708=2592-1708 = 884 নির্ণেয় মান : 884
ঘ
উদ্দীপক থেকে মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষা করে মন্তব্য কর।

উত্তর

প্রদত্ত তথ্য, xi:5,8,11,14,17,20,23,24\mathrm{x}_{\mathrm{i}}: 5,8,11,14,17,20,23,24 ধরি, নতুন চলক, di=xi−23\mathrm{d}_i=\frac{\mathrm{x}_i-2}{3}; এখানে মূল a = 2, মাপনী, c = 3 ∴di=1,2,3,4,5,6,7,8\therefore \quad d_i=1,2,3,4,5,6,7,8 আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় =n+12=\frac{\mathrm{n}+1}{2} ∴d‾=8+12[∵n=8]\therefore \quad \overline{\mathrm{d}} =\frac{8+1}{2}[\because \mathrm{n}=8] = 4.5 যেহেতু গাণিতিক গড় মূল ও মাপনীর উপর নির্ভরশীল। di=xi−23d_i=\frac{x_i-2}{3} বা, 3 di=xi−23 \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}=\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-2 বা, 3∑di=∑xi−2n3 \sum \mathrm{d}_{\mathrm{i}}=\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}-2 \mathrm{n} বা, 3∑din=∑xin−2nn3 \frac{\sum d_i}{n}=\frac{\sum x_i}{n}-\frac{2 n}{n} বা, 3d‾=x‾−23 \overline{\mathrm{d}}=\overline{\mathrm{x}}-2 বা, xˉ=2+3dˉ\bar{x}=2+3 \bar{d} বা, xˉ=2+3×4.5\bar{x}=2+3 \times 4.5 বা, xˉ=2+13.5\bar{x}=2+13.5 ∴xˉ=15.5\therefore \quad \bar{x}=15.5 সুতরাং উদ্দীপক থেকে মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষিত।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচে 25 নম্বরের একটি শ্রেণি পরীক্ষার কয়েকজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হলো : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 24.

Dhaka · 2017

ক
চলক কী?

উত্তর

যে বৈশিষ্ট্যের মান এককভেদে পরিবর্তনশীল অর্থাৎ এককের সাপেক্ষে গুণে বা পরিমাণে পরিবর্তিত হয়, তাই চলক।
খ
বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকের পার্থক্য ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকের মধ্যে পার্থক্য নিম্নরূপ- বিচ্ছিন্ন চলক অবিচ্ছিন্ন চলক ১. এটি গণনা করা যায়। ১. এটি গণনা করা যায় না। ২. এটি কেবল অবিরত মাধ্যমে নিবেশনের মাধ্যমে ২. এটি বিরত ও অবিরত নিবেশনের উপস্থাপন করা যায়। ৩. একে অন্তর্ভুক্তি ও বহির্ভুক্তি নিবেশনে বিন্যাস করা যায়। ৩. একে শুধুমাত্র বহির্ভুক্তি নিবেশনে বিন্যাস করা যায়। ৪. এর মান সসীম বা অসীম হতে পারে। ৪. এর মান সর্বদাই অসীম।
গ
উদ্দীপকের উপাত্ত ব্যবহার করে ∑i=18(xi−7)2\sum_{i=1}^8\left(x_i-7\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, প্রাপ্ত নম্বর, xi:5,8,11,14,17,20,23,24\mathrm{x}_{\mathrm{i}}: 5,8,11,14,17,20,23,24 এখানে, ∑i=18xi=5+8+11+14+17+20+23+24=122\sum_{i=1}^8 x_i=5+8+11+14+17+20+23+24=122 এবং ∑i=18xi2=52+82+112+142+172+202+232+242\sum_{i=1}^8 x_i^2=5^2+8^2+11^2+14^2+17^2+20^2+23^2+24^2 =25+64+121+196+289+400+529+576=25+64+121+196+289+400+529+576 = 2200 ∴∑i=18(xi−7)2=∑i=18{xi2−2.xi⋅7+8×(7)2}\therefore \sum_{i=1}^8\left(x_i-7\right)^2=\sum_{i=1}^8\left\{x_i^2-2 . x_i \cdot 7+8 \times(7)^2\right\} =∑i=18xi2−14∑i=18xi+8×49=\sum_{i=1}^8 \mathrm{x}_{\mathrm{i}}{ }^2-14 \sum_{\mathrm{i}=1}^8 \mathrm{x}_{\mathrm{i}}+8 \times 49 =2200−14×122+392=2200-14 \times 122+392 =2200−1708+392=2200-1708+392 =2592−1708=2592-1708 = 884 নির্ণেয় মান : 884
ঘ
উদ্দীপক থেকে মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষা করে মন্তব্য কর।

উত্তর

প্রদত্ত তথ্য, xi:5,8,11,14,17,20,23,24\mathrm{x}_{\mathrm{i}}: 5,8,11,14,17,20,23,24 ধরি, নতুন চলক, di=xi−23\mathrm{d}_i=\frac{\mathrm{x}_i-2}{3}; এখানে মূল a = 2, মাপনী, c = 3 ∴di=1,2,3,4,5,6,7,8\therefore \quad d_i=1,2,3,4,5,6,7,8 আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় =n+12=\frac{\mathrm{n}+1}{2} ∴d‾=8+12[∵n=8]\therefore \quad \overline{\mathrm{d}} =\frac{8+1}{2}[\because \mathrm{n}=8] = 4.5 যেহেতু গাণিতিক গড় মূল ও মাপনীর উপর নির্ভরশীল। di=xi−23d_i=\frac{x_i-2}{3} বা, 3 di=xi−23 \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}=\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-2 বা, 3∑di=∑xi−2n3 \sum \mathrm{d}_{\mathrm{i}}=\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}-2 \mathrm{n} বা, 3∑din=∑xin−2nn3 \frac{\sum d_i}{n}=\frac{\sum x_i}{n}-\frac{2 n}{n} বা, 3d‾=x‾−23 \overline{\mathrm{d}}=\overline{\mathrm{x}}-2 বা, xˉ=2+3dˉ\bar{x}=2+3 \bar{d} বা, xˉ=2+3×4.5\bar{x}=2+3 \times 4.5 বা, xˉ=2+13.5\bar{x}=2+13.5 ∴xˉ=15.5\therefore \quad \bar{x}=15.5 সুতরাং উদ্দীপক থেকে মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষিত।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

লিমনের সংগৃহীত তথ্য নিম্নরূপ : x1=5,x2=−2,x3=72x4=1,x5=3x_1=5, x_2=-2, x_3=7_2 x_4=1, x_5=3 লিমন বলল, ∑i=15xi2≠(∑i=15xi)2\sum_{i=1}^5 x_i^2 \neq\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2

Rajshahi · 2018

ক
ধ্রুবক কী?

উত্তর

সমগ্রকের বা তথ্যবিশ্বের যেসব বৈশিষ্ট্য এককভেদে অপরিবর্তিত বা স্থির থাকে তাই ধ্রুবক।
খ
“একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর।”- এটি কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর।”- এটি পরিসংখ্যান নয়। আমরা জানি, পরিসংখ্যান হলো তথ্যের সমষ্টি। কোনো একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যাকে পরিসংখ্যান বলা যায় না। একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর। এটি একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যা। সুতরাং “একজন ছাত্রদের বয়স 17 বছর।”— এটি পরিসংখ্যান নয়।
গ
∑i=15(3xi2−5xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, x1=5,x2=−2,x3=7,x4=1\mathrm{x}_1=5, \mathrm{x}_2=-2, \mathrm{x}_3=7, \mathrm{x}_4=1 এবং x5=3\mathrm{x}_5=3 প্রদত্ত রাশি =∑i=15(3xi2−5xi−2)=\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right) =(3x12−5x1−2)+(3x22−5x2−2)+(3x32−5x3−2)=\left(3 x_1{ }^2-5 x_1-2\right)+\left(3 x_2{ }^2-5 x_2-2\right)+\left(3 x_3{ }^2-5 x_3-2\right) +(3x42−5x4−2)+(3x52−5x5−2)+\left(3 \mathrm{x}_4^2-5 \mathrm{x}_4-2\right)+\left(3 \mathrm{x}_5{ }^2-5 \mathrm{x}_5-2\right) ={3×(5)2−5×5−2}+{3×(−2)2−5×(−2)−2}=\left\{3 \times(5)^2-5 \times 5-2\right\}+\left\{3 \times(-2)^2-5 \times(-2)-2\right\} +{3×(7)2−5×7−2}+{3×(1)2−5×1−2}+\left\{3 \times(7)^2-5 \times 7-2\right\}+\left\{3 \times(1)^2-5 \times 1-2\right\} +{3×(3)2−5×3−2}+\left\{3 \times(3)^2-5 \times 3-2\right\} =(3×25−25−2)+(3×4+10−2)+(3×49−35−2)=(3 \times 25-25-2)+(3 \times 4+10-2)+(3 \times 49-35-2) +(3×1−5−2)+(3×9−15−2)+(3 \times 1-5-2)+(3 \times 9-15-2) =(75−25−2)+(12+10−2)+(147−35−2)=(75-25-2)+(12+10-2)+(147-35-2) +(3−5−2)+(27−15−2)+(3-5-2)+(27-15-2) =48+20+110−4+10=48+20+110-4+10 =188−4=184=188-4=184 ∴∑i=15(3xi2−5xi−2)=184.\therefore \quad \sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right)=184 .
ঘ
লিমনের বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, x1=5,x2=−2,x3=7,x4=1 এবং x5=3\mathrm{x}_1=5, \mathrm{x}_2=-2, \mathrm{x}_3=7, \mathrm{x}_4=1 \text{ এবং } \mathrm{x}_5=3 এখন, ∑i=15xi2=x12+x22+x32+x42+x52\sum_{\mathrm{i}=1}^5 \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^2=\mathrm{x}_1^2+\mathrm{x}_2^2+\mathrm{x}_3^2+\mathrm{x}_4^2+\mathrm{x}_5^2 =(5)2+(−2)2+(7)2+(1)2+(3)2=(5)^2+(-2)^2+(7)^2+(1)^2+(3)^2 =25+4+49+1+9=88=25+4+49+1+9=88 এবং (∑i=15xi)2=(x1+x2+x3+x4+x5)2\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2=\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\right)^2 ={5+(−2)+7+1+3}2=\{5+(-2)+7+1+3\}^2 =(14)2=196=(14)^2=196 এখানে, ∑i=15xi2≠(∑i=15xi)2\sum_{i=1}^5 x_i^2 \neq\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2. অতএব, লিমনের বক্তব্য যথার্থ ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

লিমনের সংগৃহীত তথ্য নিম্নরূপ : x1=5,x2=−2,x3=72x4=1,x5=3x_1=5, x_2=-2, x_3=7_2 x_4=1, x_5=3 লিমন বলল, ∑i=15xi2≠(∑i=15xi)2\sum_{i=1}^5 x_i^2 \neq\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2

Rajshahi · 2018

ক
ধ্রুবক কী?

উত্তর

সমগ্রকের বা তথ্যবিশ্বের যেসব বৈশিষ্ট্য এককভেদে অপরিবর্তিত বা স্থির থাকে তাই ধ্রুবক।
খ
“একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর।”- এটি কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর।”- এটি পরিসংখ্যান নয়। আমরা জানি, পরিসংখ্যান হলো তথ্যের সমষ্টি। কোনো একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যাকে পরিসংখ্যান বলা যায় না। একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর। এটি একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যা। সুতরাং “একজন ছাত্রদের বয়স 17 বছর।”— এটি পরিসংখ্যান নয়।
গ
∑i=15(3xi2−5xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, x1=5,x2=−2,x3=7,x4=1\mathrm{x}_1=5, \mathrm{x}_2=-2, \mathrm{x}_3=7, \mathrm{x}_4=1 এবং x5=3\mathrm{x}_5=3 প্রদত্ত রাশি =∑i=15(3xi2−5xi−2)=\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right) =(3x12−5x1−2)+(3x22−5x2−2)+(3x32−5x3−2)=\left(3 x_1{ }^2-5 x_1-2\right)+\left(3 x_2{ }^2-5 x_2-2\right)+\left(3 x_3{ }^2-5 x_3-2\right) +(3x42−5x4−2)+(3x52−5x5−2)+\left(3 \mathrm{x}_4^2-5 \mathrm{x}_4-2\right)+\left(3 \mathrm{x}_5{ }^2-5 \mathrm{x}_5-2\right) ={3×(5)2−5×5−2}+{3×(−2)2−5×(−2)−2}=\left\{3 \times(5)^2-5 \times 5-2\right\}+\left\{3 \times(-2)^2-5 \times(-2)-2\right\} +{3×(7)2−5×7−2}+{3×(1)2−5×1−2}+\left\{3 \times(7)^2-5 \times 7-2\right\}+\left\{3 \times(1)^2-5 \times 1-2\right\} +{3×(3)2−5×3−2}+\left\{3 \times(3)^2-5 \times 3-2\right\} =(3×25−25−2)+(3×4+10−2)+(3×49−35−2)=(3 \times 25-25-2)+(3 \times 4+10-2)+(3 \times 49-35-2) +(3×1−5−2)+(3×9−15−2)+(3 \times 1-5-2)+(3 \times 9-15-2) =(75−25−2)+(12+10−2)+(147−35−2)=(75-25-2)+(12+10-2)+(147-35-2) +(3−5−2)+(27−15−2)+(3-5-2)+(27-15-2) =48+20+110−4+10=48+20+110-4+10 =188−4=184=188-4=184 ∴∑i=15(3xi2−5xi−2)=184.\therefore \quad \sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-5 x_i-2\right)=184 .
ঘ
লিমনের বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, x1=5,x2=−2,x3=7,x4=1 এবং x5=3\mathrm{x}_1=5, \mathrm{x}_2=-2, \mathrm{x}_3=7, \mathrm{x}_4=1 \text{ এবং } \mathrm{x}_5=3 এখন, ∑i=15xi2=x12+x22+x32+x42+x52\sum_{\mathrm{i}=1}^5 \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^2=\mathrm{x}_1^2+\mathrm{x}_2^2+\mathrm{x}_3^2+\mathrm{x}_4^2+\mathrm{x}_5^2 =(5)2+(−2)2+(7)2+(1)2+(3)2=(5)^2+(-2)^2+(7)^2+(1)^2+(3)^2 =25+4+49+1+9=88=25+4+49+1+9=88 এবং (∑i=15xi)2=(x1+x2+x3+x4+x5)2\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2=\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\right)^2 ={5+(−2)+7+1+3}2=\{5+(-2)+7+1+3\}^2 =(14)2=196=(14)^2=196 এখানে, ∑i=15xi2≠(∑i=15xi)2\sum_{i=1}^5 x_i^2 \neq\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)^2. অতএব, লিমনের বক্তব্য যথার্থ ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সীমা ও পলির অঙ্কে প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় 25 এবং জ্যামিতিক গড় 15। সীমার নম্বর a ও পলির নম্বর b। রিমা বলল তাদের নম্বরের ব্যবধান 40।

Rajshahi · 2019

ক
মধ্যমা কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনের মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্নক্রমে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে ঐ মানটিই হলো উক্ত তথ্যসারির মধ্যমা।
খ
কেন্দ্রীয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ কোনটি?

উত্তর

কেন্দ্রিয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ হলো প্রচুরক। ব্যাখ্যা : কোনো তথ্যসারিতে যে মানটি বেশি সংখ্যকবার থাকে ঐ মানটিকে তথ্যসারির প্রচুরক বলে। কোনো তথ্যসারিতে কোন মানটি বেশি সংখ্যকবার আছে তা খুব সহজে নির্ণয় করা যায়। আবার, কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের যে শ্রেণিতে গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি সেই শ্রেণিই হলো প্রচুরক শ্রেণি। অতএব বলা যায়, কেন্দ্রিয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ হলো প্রচুরক।
গ
সীমা ও পলির নম্বরের তরঙ্গ গড় নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, সীমার নম্বর =a এবং পলির নম্বর =b। তাদের নম্বরের গাণিতিক গড়, A.M = 25 তাদের নম্বরের জ্যামিতিক গড়, G.M =15 ∴ তাদের নম্বরের তরঙ্গ গড়, H.M = কত? আমরা জানি, A.M ×H⋅M=(G.M)2\times \mathrm{H} \cdot \mathrm{M}=(\mathrm{G} . M)^{2} বা, 25× H.M =(15)225 \times \text{ H.M }=(15)^{2} বা, H.M=22525H.M =\frac{225}{25} ∴H.M=9\therefore H . M=9 সুতরাং, সীমা ও পলির নম্বরের তরঙ্গ গড় 9।
ঘ
a ও b এর মান নির্ণয়পূর্বক রিমার মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

দেওয়া আাছে, সীমার নম্বর = aa এবং পলির নম্বর =b=b । প্র প্রশ্নমতে, গাণিতিক গড়, A.M = 25 বা, a+b2=25\frac{a+b}{2}=25 ∴a+b=50\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathbf{5 0} ……...(i)\ldots\ldots... (i) জ্যামিতিক গড়, G.M = 15 বা, ab=15\sqrt{a b}=15 বা, ab=(15)2a b=(15)^{2} ∴ab=225\therefore \quad a b=225 ……...(i)\ldots\ldots... (i) আমরা জানি, (a−b)2=(a+b)2−4ab(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b =(50)2−4×225=(50)^{2}-4 \times 225 =2500−900=2500-900 =1600=1600 ∴a−b=1600=40\therefore \quad a-b=\sqrt{1600}=40 ……...(iii)\ldots\ldots... (iii) এখন, সমীকরণ (i) ও (iii) যোগ করে পাই, a+b=50a+b=50 a−b=40a-b=40 2a=902 a=90 ∴a=902=45\therefore \quad a=\frac{90}{2}=45 আবার, সমীকরণ (i) ও (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, a+b=50a+b=50 a−b=40a-b=40 2b=102 b=10 ∴b=102=5\therefore \quad b=\frac{10}{2}=5 সুতরাং, সীমার নম্বর, a=45a=45 এবং পলির নম্বর, b=5b=5। এখন, সীমা ও পলির নম্বরের ব্যবধান =a−b=45−5=40=a-b=45-5=40 অতএব, রিমার বক্তব্যটি যথার্থ ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সীমা ও পলির অঙ্কে প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় 25 এবং জ্যামিতিক গড় 15। সীমার নম্বর a ও পলির নম্বর b। রিমা বলল তাদের নম্বরের ব্যবধান 40।

Rajshahi · 2019

ক
মধ্যমা কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনের মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্নক্রমে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে ঐ মানটিই হলো উক্ত তথ্যসারির মধ্যমা।
খ
কেন্দ্রীয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ কোনটি?

উত্তর

কেন্দ্রিয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ হলো প্রচুরক। ব্যাখ্যা : কোনো তথ্যসারিতে যে মানটি বেশি সংখ্যকবার থাকে ঐ মানটিকে তথ্যসারির প্রচুরক বলে। কোনো তথ্যসারিতে কোন মানটি বেশি সংখ্যকবার আছে তা খুব সহজে নির্ণয় করা যায়। আবার, কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের যে শ্রেণিতে গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি সেই শ্রেণিই হলো প্রচুরক শ্রেণি। অতএব বলা যায়, কেন্দ্রিয় প্রবণতা নির্ণয়ে সহজ পরিমাপ হলো প্রচুরক।
গ
সীমা ও পলির নম্বরের তরঙ্গ গড় নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, সীমার নম্বর =a এবং পলির নম্বর =b। তাদের নম্বরের গাণিতিক গড়, A.M = 25 তাদের নম্বরের জ্যামিতিক গড়, G.M =15 ∴ তাদের নম্বরের তরঙ্গ গড়, H.M = কত? আমরা জানি, A.M ×H⋅M=(G.M)2\times \mathrm{H} \cdot \mathrm{M}=(\mathrm{G} . M)^{2} বা, 25× H.M =(15)225 \times \text{ H.M }=(15)^{2} বা, H.M=22525H.M =\frac{225}{25} ∴H.M=9\therefore H . M=9 সুতরাং, সীমা ও পলির নম্বরের তরঙ্গ গড় 9।
ঘ
a ও b এর মান নির্ণয়পূর্বক রিমার মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

দেওয়া আাছে, সীমার নম্বর = aa এবং পলির নম্বর =b=b । প্র প্রশ্নমতে, গাণিতিক গড়, A.M = 25 বা, a+b2=25\frac{a+b}{2}=25 ∴a+b=50\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathbf{5 0} ……...(i)\ldots\ldots... (i) জ্যামিতিক গড়, G.M = 15 বা, ab=15\sqrt{a b}=15 বা, ab=(15)2a b=(15)^{2} ∴ab=225\therefore \quad a b=225 ……...(i)\ldots\ldots... (i) আমরা জানি, (a−b)2=(a+b)2−4ab(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b =(50)2−4×225=(50)^{2}-4 \times 225 =2500−900=2500-900 =1600=1600 ∴a−b=1600=40\therefore \quad a-b=\sqrt{1600}=40 ……...(iii)\ldots\ldots... (iii) এখন, সমীকরণ (i) ও (iii) যোগ করে পাই, a+b=50a+b=50 a−b=40a-b=40 2a=902 a=90 ∴a=902=45\therefore \quad a=\frac{90}{2}=45 আবার, সমীকরণ (i) ও (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, a+b=50a+b=50 a−b=40a-b=40 2b=102 b=10 ∴b=102=5\therefore \quad b=\frac{10}{2}=5 সুতরাং, সীমার নম্বর, a=45a=45 এবং পলির নম্বর, b=5b=5। এখন, সীমা ও পলির নম্বরের ব্যবধান =a−b=45−5=40=a-b=45-5=40 অতএব, রিমার বক্তব্যটি যথার্থ ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সাকিব বিশ্বের সেরা ক্রিকেট খেলোয়াড়। বিপিএল খেলায় 4টি ম্যাচে তার উইকেট প্রাপ্তির তথ্য (x) নিম্নরূপ : 3, 4, 1, 4।

Rajshahi · 2019

ক
চলক কী?

উত্তর

সমগ্রকের বা তথ্যবিশ্বের যেসব বৈশিষ্ট্য এককভেদে গুণগত বা পরিমাণগতভাবে পরিবর্তিত হয়, তাই চলক।
খ
পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর কোনো প্রভাব আছে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর প্রভাব আছে। ব্যাখ্যা : যদি কোনো তথ্যসারির রাশির সংখ্যা কম হয় এবং রাশিগুলো ছোট ছোট পূর্ণসংখ্যাবিশিষ্ট হয় তখন খুব সহজে পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজ সম্পূর্ণ করা যায়। কিন্তু যদি তথ্যসারির রাশির সংখ্যা অনেক বেশি এবং রাশিগুলো অনেক বড় বা দশমিক বা অপূর্ণ সংখ্যা হয় তখন পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজ কষ্টসাধ্য ও সময়সাপেক্ষ হয়, এমনকি ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। এক্ষেত্রে তথ্যসারির মানগুলোর উপর মূল ও মাপনী প্রয়োগ করে খুব সহজে এবং নির্ভুলভাবে পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজ সম্পূর্ণ করা সম্ভব হয়। অতএব, বলা যায়, পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর প্রভাব আছে।
গ
উদ্দীপকের আলোকে প্রতিটি মানের 3 গুণের সাথে 2 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করে নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, উইকেট প্রাপ্তির তথ্য, xi=3,4,1,4x_{i}=3,4,1,4 এখানে, x1=3,x2=4,x3=1\mathrm{x}_{1}=3, \mathrm{x}_{2}=4, \mathrm{x}_{3}=1 এবং x4=4\mathrm{x}_{4}=4 এখন, প্রতিটি মানের 3 গুনের সাথে 2 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি =∑i=14(3xi+2)2=\sum_{i=1}^{4}\left(3 x_{i}+2\right)^{2} =(3x1+2)2+(3x2+2)2=\left(3 x_{1}+2\right)^{2}+\left(3 x_{2}+2\right)^{2} +(3x3+2)2+(3x4+2)2+\left(3 x_{3}+2\right)^{2}+\left(3 x_{4}+2\right)^{2} =(3×3+2)2+(3×4+2)2=(3 \times 3+2)^{2}+(3 \times 4+2)^{2} +(3×1+2)2+(3×4+2)2+(3 \times 1+2)^{2}+(3 \times 4+2)^{2} =(9+2)2+(12+2)2=(9+2)^{2}+(12+2)^{2} +(3+2)2+(12+2)2+(3+2)^{2}+(12+2)^{2} =(11)2+(14)2+52+(14)2=(11)^{2}+(14)^{2}+5^{2}+(14)^{2} =121+196+25+196=538=121+196+25+196=538
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে বলা যায় Σ(xi−3)2<Σ(xi−4)2\Sigma\left(x_i-3\right)^2<\Sigma\left(x_i-4\right)^2 গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, উইকেট প্রাপ্তির তথ্য, xi=3,4,1,4\mathrm{x}_{\mathrm{i}}=3,4,1,4 এখানে, x1=3,x2=4,x3=1x_{1}=3, x_{2}=4, x_{3}=1 এবং x4=4x_{4}=4 এখন, বামপক্ষ =∑(xi−3)2=\sum\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-3\right)^{2} =(x1−3)2+(x2−3)2=\left(x_{1}-3\right)^{2}+\left(x_{2}-3\right)^{2} +(x3−3)2+(x4−3)2+\left(x_{3}-3\right)^{2}+\left(x_{4}-3\right)^{2} =(3−3)2+(4−3)2=(3-3)^{2}+(4-3)^{2} +(1−3)2+(4−3)2+(1-3)^{2}+(4-3)^{2} =(0)2+(1)2+(−2)2+(1)2=(0)^{2}+(1)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2} =0+1+4+1=6=0+1+4+1=6 এবং ডানপক্ষ =Σ(xi−4)2=\Sigma\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-4\right)^{2} =(x1−4)2+(x2−4)2=\left(x_{1}-4\right)^{2}+\left(x_{2}-4\right)^{2} +(x3−4)2+(x4−4)2+\left(x_{3}-4\right)^{2}+\left(x_{4}-4\right)^{2} =(3−4)2+(4−4)2+(1−4)2+(4−4)2=(3-4)^{2}+(4-4)^{2}+(1-4)^{2}+(4-4)^{2} =(−1)2+(0)2+(−3)2+(0)2=(-1)^{2}+(0)^{2}+(-3)^{2}+(0)^{2} =1+0+9+0=10=1+0+9+0=10 এখানে, বামপক্ষ < ডানপক্ষ। অতএব, Σ(xi−3)2<Σ(xi−4)2\Sigma\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-3\right)^{2}<\Sigma\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-4\right)^{2} গাণিতিক সম্পর্কটি সত্য।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সাকিব বিশ্বের সেরা ক্রিকেট খেলোয়াড়। বিপিএল খেলায় 4টি ম্যাচে তার উইকেট প্রাপ্তির তথ্য (x) নিম্নরূপ : 3, 4, 1, 4।

Rajshahi · 2019

ক
চলক কী?

উত্তর

সমগ্রকের বা তথ্যবিশ্বের যেসব বৈশিষ্ট্য এককভেদে গুণগত বা পরিমাণগতভাবে পরিবর্তিত হয়, তাই চলক।
খ
পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর কোনো প্রভাব আছে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর প্রভাব আছে। ব্যাখ্যা : যদি কোনো তথ্যসারির রাশির সংখ্যা কম হয় এবং রাশিগুলো ছোট ছোট পূর্ণসংখ্যাবিশিষ্ট হয় তখন খুব সহজে পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজ সম্পূর্ণ করা যায়। কিন্তু যদি তথ্যসারির রাশির সংখ্যা অনেক বেশি এবং রাশিগুলো অনেক বড় বা দশমিক বা অপূর্ণ সংখ্যা হয় তখন পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজ কষ্টসাধ্য ও সময়সাপেক্ষ হয়, এমনকি ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। এক্ষেত্রে তথ্যসারির মানগুলোর উপর মূল ও মাপনী প্রয়োগ করে খুব সহজে এবং নির্ভুলভাবে পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজ সম্পূর্ণ করা সম্ভব হয়। অতএব, বলা যায়, পরিসংখ্যানীয় গণনা কাজে মূল ও মাপনীর প্রভাব আছে।
গ
উদ্দীপকের আলোকে প্রতিটি মানের 3 গুণের সাথে 2 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করে নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, উইকেট প্রাপ্তির তথ্য, xi=3,4,1,4x_{i}=3,4,1,4 এখানে, x1=3,x2=4,x3=1\mathrm{x}_{1}=3, \mathrm{x}_{2}=4, \mathrm{x}_{3}=1 এবং x4=4\mathrm{x}_{4}=4 এখন, প্রতিটি মানের 3 গুনের সাথে 2 যোগ করে যোগফলের বর্গের সমষ্টি =∑i=14(3xi+2)2=\sum_{i=1}^{4}\left(3 x_{i}+2\right)^{2} =(3x1+2)2+(3x2+2)2=\left(3 x_{1}+2\right)^{2}+\left(3 x_{2}+2\right)^{2} +(3x3+2)2+(3x4+2)2+\left(3 x_{3}+2\right)^{2}+\left(3 x_{4}+2\right)^{2} =(3×3+2)2+(3×4+2)2=(3 \times 3+2)^{2}+(3 \times 4+2)^{2} +(3×1+2)2+(3×4+2)2+(3 \times 1+2)^{2}+(3 \times 4+2)^{2} =(9+2)2+(12+2)2=(9+2)^{2}+(12+2)^{2} +(3+2)2+(12+2)2+(3+2)^{2}+(12+2)^{2} =(11)2+(14)2+52+(14)2=(11)^{2}+(14)^{2}+5^{2}+(14)^{2} =121+196+25+196=538=121+196+25+196=538
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে বলা যায় Σ(xi−3)2<Σ(xi−4)2\Sigma\left(x_i-3\right)^2<\Sigma\left(x_i-4\right)^2 গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, উইকেট প্রাপ্তির তথ্য, xi=3,4,1,4\mathrm{x}_{\mathrm{i}}=3,4,1,4 এখানে, x1=3,x2=4,x3=1x_{1}=3, x_{2}=4, x_{3}=1 এবং x4=4x_{4}=4 এখন, বামপক্ষ =∑(xi−3)2=\sum\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-3\right)^{2} =(x1−3)2+(x2−3)2=\left(x_{1}-3\right)^{2}+\left(x_{2}-3\right)^{2} +(x3−3)2+(x4−3)2+\left(x_{3}-3\right)^{2}+\left(x_{4}-3\right)^{2} =(3−3)2+(4−3)2=(3-3)^{2}+(4-3)^{2} +(1−3)2+(4−3)2+(1-3)^{2}+(4-3)^{2} =(0)2+(1)2+(−2)2+(1)2=(0)^{2}+(1)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2} =0+1+4+1=6=0+1+4+1=6 এবং ডানপক্ষ =Σ(xi−4)2=\Sigma\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-4\right)^{2} =(x1−4)2+(x2−4)2=\left(x_{1}-4\right)^{2}+\left(x_{2}-4\right)^{2} +(x3−4)2+(x4−4)2+\left(x_{3}-4\right)^{2}+\left(x_{4}-4\right)^{2} =(3−4)2+(4−4)2+(1−4)2+(4−4)2=(3-4)^{2}+(4-4)^{2}+(1-4)^{2}+(4-4)^{2} =(−1)2+(0)2+(−3)2+(0)2=(-1)^{2}+(0)^{2}+(-3)^{2}+(0)^{2} =1+0+9+0=10=1+0+9+0=10 এখানে, বামপক্ষ < ডানপক্ষ। অতএব, Σ(xi−3)2<Σ(xi−4)2\Sigma\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-3\right)^{2}<\Sigma\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-4\right)^{2} গাণিতিক সম্পর্কটি সত্য।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

ছয়জন শিক্ষার্থীর দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর নিম্নরূপ : question image উপর্যুক্ত অথ্যের জন্য একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করল∑xi2>∑yi2\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^2>\sum \mathrm{y}_{\mathrm{i}}^2

Rajshahi · 2022

ক
পরিসংখ্যানের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

পরিসংখ্যান হলো বহুবিধ কারণ দ্বারা প্রভাবিত কোনো ঘটনা বা বিষয়ে অনুসন্ধান ক্ষেত্র হতে সংখ্যাত্মক তথ্য সংগ্রহ, প্রক্রিয়াকরণ, উপস্থাপন, বিশ্লেষণ এবং প্রাপ্ত ফলাফলের ব্যাখ্যাকরণের মাধ্যমে ঘটনা সম্পর্কিত সিদ্ধান্ত গ্রহণ করার বিজ্ঞান।
খ
“কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” - ইহা কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

“কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” -ইহা পরিসংখ্যান নয়। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, পরিসংখ্যান হলো তথ্যের সমষ্টি। কোনো একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যাকে পরিসংখ্যান বলা যায় না। কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45-ইহা একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যা। অতএব, “কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” ইহা পরিসংখ্যান নয়।
গ
উদ্দীপকের আলোকে (∑xi)2\left(\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বর (xi)=45,42,48,46,40,41\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)=45,42,48,46,40,41 এখানে, x1=45,x2=42,x3=48,x4=46,x5=40x_1=45, x_2=42, x_3=48, x_4=46, x_5=40 এবং x6=41x_6=41 এখন, (∑xi)2=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)2\left(\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^2=\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2+\mathrm{x}_3+\mathrm{x}_4+\mathrm{x}_5+\mathrm{x}_6\right)^2 =(45+42+48+46+40+41)2=(262)2=(45+42+48+46+40+41)^2=(262)^2 ∴(∑x1)2=68,644\therefore\left(\sum \mathrm{x}_1\right)^2=68,644
ঘ
উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বর (xi)=45,42,48,46,40,41\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)=45,42,48,46,40,41 এখানে, x1=45,x2=42,x3=48,x4=46,x5=40x_1=45, x_2=42, x_3=48, x_4=46, x_5=40 এবং x6=41x_6=41 এখन, ∑xi2=x12+x22+x32+x42+x52+x62\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}{ }^2=\mathrm{x}_1{ }^2+\mathrm{x}_2{ }^2+\mathrm{x}_3{ }^2+\mathrm{x}_4{ }^2+\mathrm{x}_5{ }^2+\mathrm{x}_6{ }^2 =(45)2+(42)2+(48)2+(46)2+(40)2+(41)2=(45)^2+(42)^2+(48)^2+(46)^2+(40)^2+(41)^2 =2,025+1,764+2,304+2,116+1,600+1,681=2,025+1,764+2,304+2,116+1,600+1,681 =11,490=11,490 আবার, উদ্দীপক হতে পাই, গণিতে প্রাপ্ত নম্বর (yi)=40,41,36,38,43,42\left(\mathrm{y}_{\mathrm{i}}\right)=40,41,36,38,43,42 এখানে, y1=40,y2=41,y3=36,y4=38,y5=43y_1=40, y_2=41, y_3=36, y_4=38, y_5=43 এবং y6=42y_6=42 এখন, Σyi2=y12+y22+y32+y42+y52+y62\Sigma \mathrm{y}_{\mathrm{i}}{ }^2=\mathrm{y}_1{ }^2+\mathrm{y}_2{ }^2+\mathrm{y}_3{ }^2+\mathrm{y}_4{ }^2+\mathrm{y}_5{ }^2+\mathrm{y}_6{ }^2 =(40)2+(41)2+(36)2+(38)2+(43)2+(42)2=(40)^2+(41)^2+(36)^2+(38)^2+(43)^2+(42)^2 =1,600+1,681+1,296+1,444+1,849+1,764=1,600+1,681+1,296+1,444+1,849+1,764 =9,634=9,634 সুতরাং, Σx12>Σy12\Sigma \mathrm{x}_1^2>\Sigma \mathrm{y}_1^2 অতএব উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্যটি সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

ছয়জন শিক্ষার্থীর দুটি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর নিম্নরূপ : question image উপর্যুক্ত অথ্যের জন্য একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করল∑xi2>∑yi2\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^2>\sum \mathrm{y}_{\mathrm{i}}^2

Rajshahi · 2022

ক
পরিসংখ্যানের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

পরিসংখ্যান হলো বহুবিধ কারণ দ্বারা প্রভাবিত কোনো ঘটনা বা বিষয়ে অনুসন্ধান ক্ষেত্র হতে সংখ্যাত্মক তথ্য সংগ্রহ, প্রক্রিয়াকরণ, উপস্থাপন, বিশ্লেষণ এবং প্রাপ্ত ফলাফলের ব্যাখ্যাকরণের মাধ্যমে ঘটনা সম্পর্কিত সিদ্ধান্ত গ্রহণ করার বিজ্ঞান।
খ
“কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” - ইহা কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

“কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” -ইহা পরিসংখ্যান নয়। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, পরিসংখ্যান হলো তথ্যের সমষ্টি। কোনো একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যাকে পরিসংখ্যান বলা যায় না। কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45-ইহা একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যা। অতএব, “কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” ইহা পরিসংখ্যান নয়।
গ
উদ্দীপকের আলোকে (∑xi)2\left(\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^2 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বর (xi)=45,42,48,46,40,41\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)=45,42,48,46,40,41 এখানে, x1=45,x2=42,x3=48,x4=46,x5=40x_1=45, x_2=42, x_3=48, x_4=46, x_5=40 এবং x6=41x_6=41 এখন, (∑xi)2=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)2\left(\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^2=\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2+\mathrm{x}_3+\mathrm{x}_4+\mathrm{x}_5+\mathrm{x}_6\right)^2 =(45+42+48+46+40+41)2=(262)2=(45+42+48+46+40+41)^2=(262)^2 ∴(∑x1)2=68,644\therefore\left(\sum \mathrm{x}_1\right)^2=68,644
ঘ
উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বর (xi)=45,42,48,46,40,41\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)=45,42,48,46,40,41 এখানে, x1=45,x2=42,x3=48,x4=46,x5=40x_1=45, x_2=42, x_3=48, x_4=46, x_5=40 এবং x6=41x_6=41 এখन, ∑xi2=x12+x22+x32+x42+x52+x62\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}{ }^2=\mathrm{x}_1{ }^2+\mathrm{x}_2{ }^2+\mathrm{x}_3{ }^2+\mathrm{x}_4{ }^2+\mathrm{x}_5{ }^2+\mathrm{x}_6{ }^2 =(45)2+(42)2+(48)2+(46)2+(40)2+(41)2=(45)^2+(42)^2+(48)^2+(46)^2+(40)^2+(41)^2 =2,025+1,764+2,304+2,116+1,600+1,681=2,025+1,764+2,304+2,116+1,600+1,681 =11,490=11,490 আবার, উদ্দীপক হতে পাই, গণিতে প্রাপ্ত নম্বর (yi)=40,41,36,38,43,42\left(\mathrm{y}_{\mathrm{i}}\right)=40,41,36,38,43,42 এখানে, y1=40,y2=41,y3=36,y4=38,y5=43y_1=40, y_2=41, y_3=36, y_4=38, y_5=43 এবং y6=42y_6=42 এখন, Σyi2=y12+y22+y32+y42+y52+y62\Sigma \mathrm{y}_{\mathrm{i}}{ }^2=\mathrm{y}_1{ }^2+\mathrm{y}_2{ }^2+\mathrm{y}_3{ }^2+\mathrm{y}_4{ }^2+\mathrm{y}_5{ }^2+\mathrm{y}_6{ }^2 =(40)2+(41)2+(36)2+(38)2+(43)2+(42)2=(40)^2+(41)^2+(36)^2+(38)^2+(43)^2+(42)^2 =1,600+1,681+1,296+1,444+1,849+1,764=1,600+1,681+1,296+1,444+1,849+1,764 =9,634=9,634 সুতরাং, Σx12>Σy12\Sigma \mathrm{x}_1^2>\Sigma \mathrm{y}_1^2 অতএব উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্যটি সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

মি. রাসেল তথ্য সংগ্রহ করে মন্তব্য করেন “তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি এবং বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ সমান নয়।” তথ্য (xi) নিম্নরূপ : 7, 4, 8, 6, 5।

Dhaka · 2022

ক
ধ্রুবক কী?

উত্তর

সমগ্রকের বা তথ্যবিশ্বের যেসব বৈশিষ্ট্য এককভেদে অপরিবর্তিত বা স্থির থাকে, তাই ধ্রুবক।
খ
কখন শূন্যকে পরম শূন্য ধরা যায় না? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

শ্রেণিসূচক পরিমাপন স্কেলের ক্ষেত্রে শূন্যকে পরম শূন্য ধরা যায় না। - ব্যাখ্যা : যে পরিমাপন স্কেলের সাহায্যে তথ্যের এককগুলোর মধ্যে সংজ্ঞাগত পার্থক্যের মাত্রা পরিমাপ করে এবং শূন্যকে পরমশূণ্য বিবেচনা করে না তাকে শ্রেণিসূচক পরিমাপন বলে। যেমন— এইচএসসি পরীক্ষায় অন্তরা বাংলায় শূন্য পেল। তার অর্থ এই নয় যে, সে বাংলার কিছুই জানে না। তাই এ শূন্যকে পরমশূন্য ধরা যায় না। অতএব, শ্রেণিসূচক পরিমাপন স্কেলের ক্ষেত্রে শূন্যকে পরমশূন্য ধরা যায় না।
গ
তথ্য হতে ∑i=15(3xi2−xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর ।

উত্তর

দেওয়া আছে, তথ্য (xi):7,4,8,6,5\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right): 7,4,8,6,5 এখানে, x1=7,x2=4,x3=8,x4=6x_1=7, x_2=4, x_3=8, x_4=6 এবং x5=5x_5=5 এখন, ∑i=15(3xi2−xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right) =(3x12−x1−2)+(3x22−x2−2)=\left(3 x_1^2-x_1-2\right)+\left(3 x_2^2-x_2-2\right) +(3x32−x3−2)+(3x42−x4−2)+\left(3 x_3^2-x_3-2\right)+\left(3 \mathrm{x}_4^2-\mathrm{x}_4-2\right) +(3x52−x5−2)+\left(3 \mathrm{x}_5{ }^2-\mathrm{x}_5-2\right) ={3×(7)2−7−2}+{3×(4)2−4−2}=\left\{3 \times(7)^2-7-2\right\}+\left\{3 \times(4)^2-4-2\right\} +{3×(8)2−8−2}+{3×(6)2−6−2}+\left\{3 \times(8)^2-8-2\right\}+\left\{3 \times(6)^2-6-2\right\} +{3×(5)2−5−2}\quad \quad+\left\{3 \times(5)^2-5-2\right\} =(3×49−9)+(3×16−6)+(3×64−10)=(3 \times 49-9)+(3 \times 16-6)+(3 \times 64-10) +(3×36−8)+(3×25−7)+(3 \times 36-8)+(3 \times 25-7) =(147−9)+(48−6)+(192−10)=(147-9)+(48-6)+(192-10) +(108−8)+(75−7)+(108-8)+(75-7) =138+42+182+100+68=530=138+42+182+100+68=530 ∴∑i=15(3xi2−xi−2)=530\therefore \sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right)=530
ঘ
মি. রাসেলের মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, তথ্য (xi):7,4,8,6,5\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right): 7,4,8,6,5 এখানে, x1=7,x2=4,x3=8,x4=6x_{1}=7, x_{2}=4, x_{3}=8, x_{4}=6 এবং x5=5x_{5}=5 এখন, তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি =∑i=15(3xi−3)2=\sum_{i=1}^{5}\left(3 x_{i}-3\right)^{2} =(x1−3)2+(x2−3)2+(x3−3)2=\left(x_{1}-3\right)^{2}+\left(x_{2}-3\right)^{2}+\left(x_{3}-3\right)^{2} +(x4−3)2+(x5−3)2+\left(x_{4}-3\right)^{2} +\left(x_{5}-3\right)^{2} =(7−3)2+(4−3)2+(8−3)2=(7-3)^{2}+(4-3)^{2}+(8-3)^{2} +(6−3)2+(5−3)2+(6-3)^{2}+(5-3)^{2} =42+12+52+32+22=4^{2}+1^{2}+5^{2}+3^{2}+2^{2} =16+1+25+9+4=55=16+1+25+9+4=55 আবার, তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ ={∑i=15(xi−3)}2=\left\{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-3\right)\right\}^{2} ={(x1−3)+(x2−3)=\{\left(x_{1}-3\right)+\left(x_{2}-3\right) +(x3−3)+(x4−3)+\left(x_{3}-3\right)+\left(x_{4}-3\right) +(x5−3}2+\left(x_{5}-3\right\}^{2} ={(7−3)+(4−3)+(8−3)=\{(7-3)+(4-3)+(8-3) +(6−3)+(5−3)}2+(6-3)+(5-3)\}^{2} ={4+1+5+3+2)2=\{4+1+5+3+2)^{2} =(15)2=225=(15)^{2}=225 সুতরাং, তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি এবং বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ সমান নয়। অতএব, মি. রাসেলের মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

মি. রাসেল তথ্য সংগ্রহ করে মন্তব্য করেন “তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি এবং বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ সমান নয়।” তথ্য (xi) নিম্নরূপ : 7, 4, 8, 6, 5।

Dhaka · 2022

ক
ধ্রুবক কী?

উত্তর

সমগ্রকের বা তথ্যবিশ্বের যেসব বৈশিষ্ট্য এককভেদে অপরিবর্তিত বা স্থির থাকে, তাই ধ্রুবক।
খ
কখন শূন্যকে পরম শূন্য ধরা যায় না? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

শ্রেণিসূচক পরিমাপন স্কেলের ক্ষেত্রে শূন্যকে পরম শূন্য ধরা যায় না। - ব্যাখ্যা : যে পরিমাপন স্কেলের সাহায্যে তথ্যের এককগুলোর মধ্যে সংজ্ঞাগত পার্থক্যের মাত্রা পরিমাপ করে এবং শূন্যকে পরমশূণ্য বিবেচনা করে না তাকে শ্রেণিসূচক পরিমাপন বলে। যেমন— এইচএসসি পরীক্ষায় অন্তরা বাংলায় শূন্য পেল। তার অর্থ এই নয় যে, সে বাংলার কিছুই জানে না। তাই এ শূন্যকে পরমশূন্য ধরা যায় না। অতএব, শ্রেণিসূচক পরিমাপন স্কেলের ক্ষেত্রে শূন্যকে পরমশূন্য ধরা যায় না।
গ
তথ্য হতে ∑i=15(3xi2−xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right) এর মান নির্ণয় কর ।

উত্তর

দেওয়া আছে, তথ্য (xi):7,4,8,6,5\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right): 7,4,8,6,5 এখানে, x1=7,x2=4,x3=8,x4=6x_1=7, x_2=4, x_3=8, x_4=6 এবং x5=5x_5=5 এখন, ∑i=15(3xi2−xi−2)\sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right) =(3x12−x1−2)+(3x22−x2−2)=\left(3 x_1^2-x_1-2\right)+\left(3 x_2^2-x_2-2\right) +(3x32−x3−2)+(3x42−x4−2)+\left(3 x_3^2-x_3-2\right)+\left(3 \mathrm{x}_4^2-\mathrm{x}_4-2\right) +(3x52−x5−2)+\left(3 \mathrm{x}_5{ }^2-\mathrm{x}_5-2\right) ={3×(7)2−7−2}+{3×(4)2−4−2}=\left\{3 \times(7)^2-7-2\right\}+\left\{3 \times(4)^2-4-2\right\} +{3×(8)2−8−2}+{3×(6)2−6−2}+\left\{3 \times(8)^2-8-2\right\}+\left\{3 \times(6)^2-6-2\right\} +{3×(5)2−5−2}\quad \quad+\left\{3 \times(5)^2-5-2\right\} =(3×49−9)+(3×16−6)+(3×64−10)=(3 \times 49-9)+(3 \times 16-6)+(3 \times 64-10) +(3×36−8)+(3×25−7)+(3 \times 36-8)+(3 \times 25-7) =(147−9)+(48−6)+(192−10)=(147-9)+(48-6)+(192-10) +(108−8)+(75−7)+(108-8)+(75-7) =138+42+182+100+68=530=138+42+182+100+68=530 ∴∑i=15(3xi2−xi−2)=530\therefore \sum_{i=1}^5\left(3 x_i^2-x_i-2\right)=530
ঘ
মি. রাসেলের মন্তব্য যাচাই কর।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, তথ্য (xi):7,4,8,6,5\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right): 7,4,8,6,5 এখানে, x1=7,x2=4,x3=8,x4=6x_{1}=7, x_{2}=4, x_{3}=8, x_{4}=6 এবং x5=5x_{5}=5 এখন, তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি =∑i=15(3xi−3)2=\sum_{i=1}^{5}\left(3 x_{i}-3\right)^{2} =(x1−3)2+(x2−3)2+(x3−3)2=\left(x_{1}-3\right)^{2}+\left(x_{2}-3\right)^{2}+\left(x_{3}-3\right)^{2} +(x4−3)2+(x5−3)2+\left(x_{4}-3\right)^{2} +\left(x_{5}-3\right)^{2} =(7−3)2+(4−3)2+(8−3)2=(7-3)^{2}+(4-3)^{2}+(8-3)^{2} +(6−3)2+(5−3)2+(6-3)^{2}+(5-3)^{2} =42+12+52+32+22=4^{2}+1^{2}+5^{2}+3^{2}+2^{2} =16+1+25+9+4=55=16+1+25+9+4=55 আবার, তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ ={∑i=15(xi−3)}2=\left\{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-3\right)\right\}^{2} ={(x1−3)+(x2−3)=\{\left(x_{1}-3\right)+\left(x_{2}-3\right) +(x3−3)+(x4−3)+\left(x_{3}-3\right)+\left(x_{4}-3\right) +(x5−3}2+\left(x_{5}-3\right\}^{2} ={(7−3)+(4−3)+(8−3)=\{(7-3)+(4-3)+(8-3) +(6−3)+(5−3)}2+(6-3)+(5-3)\}^{2} ={4+1+5+3+2)2=\{4+1+5+3+2)^{2} =(15)2=225=(15)^{2}=225 সুতরাং, তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি এবং বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ সমান নয়। অতএব, মি. রাসেলের মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো