Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে একটি স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়। -গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

উত্তর: এখানে, ভেক্টর রাশি, [গণিত] স্কেলার রাশি, [গণিত] স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর: আমরা জানি, [গণিত] স্কেলার ক্ষেত্র থেকে [গণিত] ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হলো। ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর: আমরা জানি, [গণিত] ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে [গণিত] স্কেলার ক্ষেত্রে রুপান্তরিত হলো। সুতরাং, গ্রেডিয়েন্টের মাধ্যমে একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং ডাইভারজেন্সের মাধ্যমে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে একটি স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করা যায়।

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্…

উদ্দীপক

একটি ভেক্টর রাশি A⃗=4x3y2i^−4x2y3zj^−6xyz3k^\vec{A}=4 x^3 y^2 \hat{i}-4 x^2 y^3 z \hat{j}-6 x y z^3 \hat{k} এবং একটি স্কেলার রাশি φ=3xy2z+3xyz2+3y2z3\varphi=3 x y^2 z+3 x y z^2+3 y^2 z^3.

Jessore · 2025

উত্তর

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে যে ভেক্টর দিয়ে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

উত্তর

পানি ভর্তি বালতি উল্লম্ব তলে ঘোরালে এর গতিপথ বৃত্তাকার হয়। বালতিটি যখন খাড়া উপরের দিকে অবস্থান করে তখন তার পানির ওজন খাড়া নিচের দিকে কাজ করে এবং এর উপর কেন্দ্রাবিমুখী বল - খাড়া উপরের দিকে কাজ করে। ওজন এবং কেন্দ্রবিমুখী বলের মান সমান কিন্তু বিপরীত; যা বালতির পানির ওজনকে নিষ্ক্রিয় করে দেয় এবং বালতি থেকে পানি পড়ে যায় না।

উত্তর

এখানে, ভেক্টর রাশি, A⃗=4x3y2i^−4x2y3zj^−6xyz3k^\vec{A}=4 x^3 y^2 \hat{i}-4 x^2 y^3 z \hat{j}-6 x y z^3 \hat{k} এখন, curl⁡(\operatorname{curl}(A⃗\vec{A})=\dot{∇⃗\vec{\nabla}} \times \vec{A} \begin{aligned}= & \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 4 x^3 y^2 & -4 x^2 y^3 z & -6 x y z^3\end{aligned}\right| \\ = & \hat{i}\left\{\frac{\partial}{\partial y}\left(-6 x y z^3\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(-4 x^2 y^3 z\right)\right\} \\ & -\hat{j}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(-6 x y z^3\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(4 x^3 y^2\right)\right\} \\ & +\hat{k}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(-4 x^2 y^3 z\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(4 x^3 y^2\right)\right\}\end{aligned} \end{array} =i^(−6xz3+4x2y3)−j^(−6yz3−0)+k^(−8xy3z−8x3y)=i^(4x2y3−6xz3)+j^(6yz3)−k^(8xy3z+8x3y)\begin{aligned} & =\hat{\mathrm{i}}\left(-6 x z^3+4 x^2 y^3\right)-\hat{\mathrm{j}}\left(-6 y z^3-0\right) \\ & +\hat{\mathrm{k}}\left(-8 x y^3 z-8 x^3 y\right) \\ & =\hat{\mathrm{i}}\left(4 x^2 y^3-6 x z^3\right)+\hat{\mathrm{j}}\left(6 y z^3\right)-\hat{\mathrm{k}}\left(8 x y^3 z+8 x^3 y\right)\end{aligned} অতএব, A⃗\vec{A} ভেক্টরটির কার্ল i^(4x2y3−6xz3)+j^(6yz3)−k^(8xy3z+8x3y)\hat{i}\left(4 x^2 y^3-6 x z^3\right)+\hat{j}\left(6 y z^3\right)-\hat{k}\left(8 x y^3 z+8 x^3 y\right).\end{array}

উত্তর

এখানে, ভেক্টর রাশি, A⃗=4x3y2i^−4x2y3zj^−6xyz3k^\vec{A}=4 x^3 y^2 \hat{i}-4 x^2 y^3 z \hat{j}-6 x y z^3 \hat{k} স্কেলার রাশি, ϕ=3xy2z+3xyz2+3y2z3\phi=3 x y^2 z+3 x y z^2+3 y^2 z^3 স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর: আমরা জানি, grad⁡(ϕ)=\begin{aligned} \operatorname{grad}(\phi)= & \end{aligned}∇⃗\vec{\nabla}\phi=\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right)\left(3 x y^2 z+3 x y z^2+3 y^2 z^3\right) \\ = & \hat{i}\left(3 y^2 z+3 y z^2+0\right)+\hat{j}\left(6 x y z+3 x z^2+6 y z^3\right) \\ & +\hat{k}\left(3 x y^2+6 x y z+9 y^2 z^2\right)\end{aligned} ∴ϕ\therefore \phi স্কেলার ক্ষেত্র থেকে grad⁡(ϕ)\operatorname{grad}(\phi) ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হলো। ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর: আমরা জানি, div⁡(\begin{aligned} \operatorname{div}( \end{aligned}A⃗\vec{A}) & =\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right) \cdot\left(4 x^3 y^2 \hat{i}-4 x^2 y^3 z \hat{j}-6 x y z^3 \hat{k}\right) \\ & =\frac{\partial}{\partial x}\left(4 x^3 y^2\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(4 x^2 y^3 z\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(6 x y z^3\right) \\ & =12 x^2 y^2-12 x^2 y^2 z-18 x y z^2\end{aligned} ∴A→\therefore \overrightarrow{\mathrm{A}} ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে div⁡(\operatorname{div}(A⃗\vec{A})) স্কেলার ক্ষেত্রে রুপান্তরিত হলো। সুতরাং, গ্রেডিয়েন্টের মাধ্যমে একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং ডাইভারজেন্সের মাধ্যমে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে একটি স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করা যায়।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন