উদ্দীপকের [গণিত] -এর গ্রেডিয়েন্ট-এর কার্ল শূন্য হবে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
উত্তর: এখানে, স্কেলার ক্ষেত্র, [গণিত] ভেক্টর অপারেটর, [গণিত] এখন, [গণিত] আবার, [গণিত] সুতরাং, উদ্দীপকের [গণিত] এর গ্রেডিয়েন্ট এর কার্ল শূন্য হবে। [গণিত]
HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল
উদ্দীপকের -এর গ্রেডিয়েন্ট-এর কার্ল শূন্য হবে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্ল…
উদ্দীপক
একটি স্কেলার ক্ষেত্র , একটি ভেক্টর ক্ষেত্র এবং একটি ভেক্টর অপারেটর .
Rajshahi · 2025
উত্তর
যে সমীকরণে কোনো স্কেলার ক্ষেত্রের ল্যাপ্লাসিয়ান শূন্য, তাকে ল্যাপলাসের সমীকরণ বলে।
উত্তর
মনে করি, গাড়ির বেগ, এবং বৃষ্টির বেগ
∴ লব্ধি বেগ, বরাবর ক্রিয়াশীল হয় অর্থাৎ গাড়ির গতির দিকে ক্রিয়া করে। এক্ষেত্রে গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের দিক সামনের দিকে তির্যকভাবে ক্রিয়াশীল। কাজেই বৃষ্টির ফোঁটা চলন্ত গাড়ির পিছনের কাচকে না ভিজিয়ে সামনের কাচকে ভিজায়।
উত্তর
এখানে, ভেক্টর ক্ষেত্র,
ভেক্টর অপারেটর
এখন,
= & \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \V_x & V_y & V_z\end{aligned}\right| \\ = & \hat{i}\left\{\frac{\partial}{\partial y}\left(V_z\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(V_y\right)\right\} \\ = & -\hat{j}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(V_z\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(V_x\right)\right\}+\hat{k}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(V_y\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(V_x\right)\right\}\end{aligned}
\end{array}
আবার,
)=\frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{\partial}{\partial y}\left(V_z\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(V_y\right)\right\} & -\frac{\partial}{\partial y}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(V_z\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(V_x\right)\right\} \\ & +\frac{\partial}{\partial z}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(V_y\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(V_x\right)\right\}\end{aligned}
অতএব, এর মান 0।\end{array}
উত্তর
এখানে, স্কেলার ক্ষেত্র,
ভেক্টর অপারেটর,
এখন,
আবার,
\phi)=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z}\end{aligned}\right| \\ &= \hat{i}\left\{\frac{\partial^2}{\partial y \partial z}(\phi)-\frac{\partial^2}{\partial y \partial z}(\phi)\right\} \\ &-\hat{j}\left\{\frac{\partial^2}{\partial x \partial z}(\phi)-\frac{\partial^2}{\partial x \partial z}(\phi)\right\}+\hat{k}\left\{\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(\phi)-\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(\phi)\right\} \\ &= 0\end{aligned}
\end{array}
সুতরাং, উদ্দীপকের এর গ্রেডিয়েন্ট এর কার্ল শূন্য হবে।\end{array}