Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের [গণিত] ভেক্টরটি a, b ও c এর কোন মানের জন্য অঘূর্ণনশীল হবে?

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং ভেক্টর অপারেটর, [গণিত] = [গণিত] ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল। [গণিত] ∴এবং 4 – a = 0 ∴ a = 4 আবার, b + 3 = 0 ∴b = - 3 [গণিত]

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

উদ্দীপকের ভেক্টরটি a, b ও c এর কোন মানের জন্য অঘূর্ণনশীল হবে?

উদ্দীপক

তিনটি ভেক্টর যথাক্রমে V⃗=(−4x−3y+az)\vec{V}=(-4 x-3 y+a z)ı⃗\vec{\imath}+(bx+3y+5z)ȷ⃗+(b x+3 y+5 z) \vec{\jmath}+(4x+cy+3z)k⃗+(4 x+c y+3 z) \vec{k} A⃗=2\vec{A}=2ı⃗\vec{\imath}+3+3ȷ⃗\vec{\jmath}+k⃗+\vec{k} এবং B→=4\overrightarrow{\mathrm{B}}=4ı⃗\vec{\imath}+2+2ȷ⃗\vec{\jmath}+3k→+3 \overrightarrow{\mathrm{k}} আয়তকার স্থানাংক ব্যবস্থায় অক্ষ রেখাসমূহের সাথে A⃗\vec{A} ভেক্টরটি যথাক্রমে α1,β1,\alpha1, \beta1, ও γ1\gamma1 এবং B⃗\vec{B} ভেক্টরটি যথাক্রমে α2,β2,\alpha2, \beta2, ও γ2\gamma2 কোণ উৎপন্ন করে ।

আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, মতিঝিল · 2024

উত্তর

প্রতি একক ক্ষেত্রেফলের ওপর লম্বভাবে প্রযুক্ত সর্বাপেক্ষা কম যে বলেল ক্রিয়ায় কোনো বস্তু ছিড়ে বা ভেঙে যায় তাকে অসহ পীড়ন বলে।

উত্তর

অ্যালুমিনিয়ামের দৃঢ়তার গুণাঙ্ক 2.6×1010Nm-2 বলতে আমরা বুঝি যে, একটি অ্যালুমিনিয়ামের ঘনকের আকৃতি পরিবর্তন করে, 1 রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করতে । ঐ ঘনকের পৃষ্ঠের প্রতি একক বর্গমিটার ক্ষেত্রফলেল ওপর 2.6×1010N স্পর্শকীয় বল প্রয়োগ করতে হবে।

উত্তর

দেওয়া আছে, V⃗=(−4x−3y+az)\vec{V}=(-4 x-3 y+a z)1→\overrightarrow{1}+(bx+3y+5z)+(b x+3 y+5 z)ȷ⃗\vec{\jmath}+(4x+cy+3z)k⃗+(4 x+c y+3 z) \vec{k} এবং ভেক্টর অপারেটর, ∇⃗=δδxl→+δδyȷ→+δδzk→\vec{\nabla}=\frac{\delta}{\delta \mathrm{x}} \overrightarrow{\mathrm{l}}+\frac{\delta}{\delta \mathrm{y}} \overrightarrow{\mathrm{\jmath}}+\frac{\delta}{\delta \mathrm{z}} \overrightarrow{\mathrm{k}} ∴ Curl \begin{aligned} & \therefore \text{ Curl } \end{aligned}V⃗\vec{V}==∇⃗\vec{\nabla}×\timesV⃗\vec{V}\\ & =\left|\begin{array}{ccc} \end{array}1→\overrightarrow{1}\begin{aligned}&\end{aligned}ȷ⃗\vec{\jmath}\begin{aligned}&\end{aligned}k⃗\vec{k}\\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ -4 x-3 y+a z & b x+3 y+5 z & 4 x+c y+3 z\end{aligned}\right|\end{aligned} = ı^{δδy(−4x−3y+az)−δδz(bx+3y+5z)}−ȷ^{δδx(−4x−cy+az)−δδz(−4x−3y−az)+}+\hat{\imath}\left\{\frac{\delta}{\delta y}(-4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+\mathrm{az})-\frac{\delta}{\delta \mathrm{z}}(\mathrm{bx}+3 \mathrm{y}+5 \mathrm{z})\right\}-\hat{\jmath}\left\{\frac{\delta}{\delta \mathrm{x}}(-4 \mathrm{x}-c \mathrm{y}+\mathrm{az})-\frac{\delta}{\delta \mathrm{z}}(-4 x-3 y-a z)+\right\}+ k^{δδx(bx+3y+5z)−δδy(−4x−3y+az)}\hat{k}\left\{\frac{\delta}{\delta \mathrm{x}}(b x+3 y+5 z)-\frac{\delta}{\delta y}(-4 x-3 y+a z)\right\} ∴Curl⁡\therefore \operatorname{Curl}V⃗\vec{V}=ı^(C−5)−ȷ^(4−a)+k^(b+3)=\hat{\imath}(C-5)-\hat{\jmath}(4-a)+\hat{k}(b+3) ∵V→\because \overrightarrow{\mathrm{V}} ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল। ∴ Curl \begin{aligned} & \therefore \text{ Curl } \end{aligned}V⃗\vec{V}=0 \\ & \Rightarrow \hat{\imath}(C-5)-\hat{\jmath}(4-a)+\hat{k}(b+3)=0 \\ & \therefore C-5=0 \\ & \therefore C=5\end{aligned} ∴এবং 4 – a = 0 \end{if}]--> \end{if}]--> a = 4 আবার, b + 3 = 0 ∴b = \end{if}]--> \end{if}]-->3\end{array}

উত্তর

A⃗=2\vec{A}=2ı⃗\vec{\imath}+3+3ȷ⃗\vec{\jmath}+k⃗+\vec{k} এবং B→=4ı→+2ȷ→+3k→\overrightarrow{\mathrm{B}}=4 \overrightarrow{\mathrm{\imath}}+2 \overrightarrow{\mathrm{\jmath}}+3 \overrightarrow{\mathrm{k}} ∣A→∣=22+32+12=4+9+1=14∣\begin{aligned} & |\overrightarrow{\mathrm{A}}|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14} \\ & | \end{aligned}B⃗\vec{B}∣=42+22+32=16+4+9=29|=\sqrt{4^2+2^2+3^2}=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29} ∴A⃗\therefore \vec{A} ভেক্টর অক্ষত্রয়ের সাথে α1,β1,γ1\alpha_1, \beta_1, \gamma_1 কোণ উৎপন্ন করে, ∴cos⁡⁡1=A→⋅x→∣A→∣⋅∣x→∣=(2i+3j+k)⋅i^14⋅1=214∴α1=cos⁡−1(214)=57.7∘\begin{aligned} & \therefore \operatorname{\cos}_1=\frac{\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{x}}}{|\overrightarrow{\mathrm{A}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{x}}|}=\frac{(2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}+\mathrm{k}) \cdot \hat{\mathrm{i}}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{14}} \\ & \therefore \alpha_1=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)=57.7^{\circ}\end{aligned} এবং \operatorname{\cos} \beta_1=\frac{A⃗\vec{A}⋅\cdotY⃗\vec{Y}}{|A⃗\vec{A}∣⋅∣| \cdot|Y⃗\vec{Y}|}=\frac{(2 i+3 j+k) \cdot \hat{j}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{14}} ∴β1=cos⁡−1(314)=36.7∘\therefore \beta_1=\cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)=36.7^{\circ} আবার, \operatorname{\cos}_{\gamma_1}=\frac{A⃗\vec{A}⋅\cdotZ⃗\vec{Z}}{|A⃗\vec{A}∣⋅∣| \cdot|Z⃗\vec{Z}|}=\frac{(2 i+3 j+k) \cdot \hat{\jmath}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{14}} ∴γ1=cos⁡−1(114)=74.5∘\therefore \gamma_1=\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)=74.5^{\circ} আবার, B⃗\vec{B} ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে α2,β2,γ2\alpha2, \beta2, \gamma2 কোণ উৎপন্ন করে, ∴cos⁡⁡α2=B→⋅x→∣B→∣⋅∣x→∣=(4i+2j+3k)⋅i^29⋅1=429∴α2=cos⁡−1(429)=42.03∘\begin{aligned} & \therefore \operatorname{\cos} \alpha_2=\frac{\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{x}}}{|\overrightarrow{\mathrm{B}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{x}}|}=\frac{(4 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k}) \cdot \hat{\mathrm{i}}}{\sqrt{29} \cdot 1}=\frac{4}{\sqrt{29}} \\ & \therefore \alpha_2=\cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right)=42.03^{\circ}\end{aligned} এবং \operatorname{\cos} \beta_2=\frac{B⃗\vec{B}⋅\cdotY⃗\vec{Y}}{|B⃗\vec{B}∣⋅∣| \cdot|Y⃗\vec{Y}|}=\frac{(4 i+2 j+3 k) \cdot \hat{j}}{\sqrt{29} \cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{29}} ∴β1=cos⁡−1(314)=36.7∘\therefore \beta_1=\cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)=36.7^{\circ} আবার, cos⁡⁡2=B→⋅Z→∣B→∣⋅∣Z→∣=(4i+2j+3k)⋅k^29⋅1=329\operatorname{\cos}_2=\frac{\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Z}}}{|\overrightarrow{\mathrm{B}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{Z}}|}=\frac{(4 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k}) \cdot \widehat{\mathrm{k}}}{\sqrt{29} \cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{29}} ∴γ2=cos⁡−1(314)=56.15∘\therefore \gamma_2=\cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)=56.15^{\circ} ভেক্টর A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} পরস্পর সমান্তরাল হতে হলে তাদের সাথে অক্ষত্রয়ের সাথে উৎপন্ন কোণ সমান হতে হবে। ∴α1−α2=15.67∘∴β1−β2=−31.5∘\begin{aligned} & \therefore \alpha_1-\alpha_2=15.67^{\circ} \\ & \therefore \beta_1-\beta_2=-31.5^{\circ}\end{aligned} এবং γ1\gamma1 – γ2=18.35o\gamma2 = 18.35o ∴ ভেক্টর A→\overrightarrow{\mathrm{A}} ও B⃗\vec{B} পরস্পর সমান্তরাল হতে হলে তাদের সাথে অক্ষত্রয়ের সাথে উৎপন্ন কোণ সমান হতে হবে। ∴α1−α2=15.67∘∴β1−β2=−31.5∘\begin{aligned} & \therefore \alpha_1-\alpha_2=15.67^{\circ} \\ & \therefore \beta_1-\beta_2=-31.5^{\circ}\end{aligned} এবং γ1\gamma1 – γ2=18.35o\gamma2 = 18.35o ∴ ভেক্টর B⃗\vec{B} কে A ভেক্টরে পরস্পর সমান্তরাল করতে হলে B⃗\vec{B} এর x অক্ষের কোণ 15.67o বাড়াতে হবে। Y-অক্ষের সাথে 31.5o কোণ কমাতে হবে এবং Z অক্ষের সাথে 18.35o কোণ বৃদ্ধি করতে হবে।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন