Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

(2, 1, – 1) বিন্দুতে খেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, P = 2xy2z3 – 4xy এখন, [গণিত] (2, 1 – 1) বিন্দুতে এর গ্রেডিয়েন্ট: [গণিত]

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

(2, 1, – 1) বিন্দুতে খেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

কোন এলাকায় একটি স্কেলার ক্ষেত্র P(x,y,z) = 2xy2z3 - 4xy এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্র Q⃗(x,y,z)=ı^(y2cos⁡x+Z3)+ȷ^(2ysin⁡x−4)+k^(3xZ2+2)\vec{Q}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\hat{\imath}\left(\mathrm{y}^2 \cos \mathrm{x}+\mathrm{Z}^3\right)+\hat{\jmath}(2 \mathrm{y} \sin \mathrm{x}-4)+\hat{k}\left(3 \mathrm{xZ}^2+2\right) কার্যকর ছিলো।

শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ · 2024

উত্তর

কোনো স্থানের কোনো এলাকা বা অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুতে যদি একটি ভেক্টর রাশি V (x, y, z) বিদ্যামান থাকে, তবে ঐ অঞ্চলকে ঐ রাশির ভেক্টর ক্ষেত্র বলে।

উত্তর

দুটি ভেক্টর রাশির গুণনে গুণফল একটি স্কেলার রাশি হলে এই গুণনকে স্কেলার গুণন বলে। এই গুণনে গুণফলের মান ভেক্টর দুটির মানের গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোনের কোসাইনের গুণফলের সমান হয়, দুটি ভেক্টরকে স্কেলার গুণন করতে হলে উহাদের মাঝে একটি ডট(.) চিহ্ন দিতে হয়। OA থেকে OC রেখা বারাবর P⃗\vec{P} এবং, Q⃗\vec{Q} ক্রিয়াশীল এরা পরস্পর সাথে a কোনে আনত। তাদের স্কেলার বা ডট গুণফল = P⃗.Q⃗\vec{P} . \vec{Q} দ্বারা নিদের্শ করা হয় এবং পড়তে হয় P⃗\vec{P} ডট Q⃗\vec{Q} কাজেই সংজ্ঞা অনুসারে পাই, P⃗⋅\vec{P} \cdotQ⃗\vec{Q}=∣=|P⃗\vec{P}∣|Q⃗\vec{Q}∣cos⁡α,π≥α≥0\mid \cos \alpha, \pi \geq \alpha \geq 0 বা, P⃗⋅\vec{P} \cdotQ⃗\vec{Q}=PQcos⁡α=QPcos⁡α=\mathrm{PQ} \cos \alpha=\mathrm{QP} \cos \alpha এখানে, 0≤α≤π0 \leq \alpha \leq \pi question image Qcos a হচ্ছে P⃗\vec{P} এর দিকে Q⃗\vec{Q} এর উপাংশ বা P⃗\vec{P} এর ওপর Q⃗\vec{Q} এর লম্ব অভিক্ষেপ এবং Pcosa হচ্ছে Q⃗\vec{Q} এর দিকে P⃗\vec{P} এর উপাংশ। P⃗⋅\vec{P} \cdotQ⃗\vec{Q}=PQcos⁡α=Q(Pcos⁡α)=\mathrm{PQ} \cos \alpha=\mathrm{Q}(\mathrm{P} \cos \alpha) এখানে, P cosa হচ্ছে Q⃗\vec{Q} এর দিকে P⃗\vec{P} এর উপাংশ বা Q⃗\vec{Q} এর ওপর P⃗\vec{P} লম্ব অভিক্ষেপ।

উত্তর

দেওয়া আছে, P = 2xy2z3 – 4xy এখন, grad⁡P=\operatorname{grad} P=Δ⃗\vec{\Delta}.P. P {∂∂xı^+∂∂zk^}{2xy2z3−4xy}⇒ı^∂∂x(2xy2z3−4xy)+ȷ^∂∂y(2xy2z3−4xy)+k^∂∂z(2xy2z3−4xy)⇒ı^(2y2z3−4y)+ȷ^(2xyz3−4x)+k^(2xy2z3−0)⇒(2y2z3−4y)ı^+(2xyz3−4x)ȷ^+2xy2z2k^\begin{aligned} & \left\{\frac{\partial}{\partial} x \hat{\imath}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right\}\left\{2 x y^2 z^3-4 x y\right\} \\ & \Rightarrow \hat{\imath} \frac{\partial}{\partial x}\left(2 x y^2 z^3-4 x y\right)+\hat{\jmath} \frac{\partial}{\partial y}\left(2 x y^2 z^3-4 x y\right)+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z}\left(2 x y^2 z^3-4 x y\right) \\ & \Rightarrow \hat{\imath}\left(2 y^2 z^3-4 y\right)+\hat{\jmath}\left(2 x y z^3-4 x\right)+\hat{k}\left(2 x y^2 z^3-0\right) \\ & \Rightarrow\left(2 y^2 z^3-4 y\right) \hat{\imath}+\left(2 x y z^3-4 x\right) \hat{\jmath}+2 x y^2 z^2 \hat{k}\end{aligned} \ (2, 1 – 1) বিন্দুতে এর গ্রেডিয়েন্ট: ⇒{2(1)2(−1)3−4.1}+{2.2⋅(1)(−1)3−4.2}+{2(2)(1)2(−1)2}k^=(−2−4)ı^+(−4−8)ȷ^+4k^=−6ı^−12ȷ^+4k^=6ı^+12ȷ^−4k^ Ans \begin{aligned} & \Rightarrow\left\{2(1)^2(-1)^3-4.1\right\}+\left\{2.2 \cdot(1)(-1)^3-4.2\right\}+\left\{2(2)(1)^2(-1)^2\right\} \hat{k} \\ & =(-2-4) \hat{\imath}+(-4-8) \hat{\jmath}+4 \hat{k} \\ & =-6 \hat{\imath}-12 \hat{\jmath}+4 \hat{k} \\ & =6 \hat{\imath}+12 \hat{\jmath}-4 \hat{k} \text{ Ans }\end{aligned}

উত্তর

ভেক্টর ক্ষেত্র Q⃗=ı^(y2cos⁡x+z2)+ȷ^(2ysin⁡x−4)+k^(3xz2+2)\vec{Q}=\hat{\imath}\left(\mathrm{y}^2 \cos \mathrm{x}+\mathrm{z}^2\right)+\hat{\jmath}(2 \mathrm{y} \sin \mathrm{x}-4)+\hat{k}\left(3 \mathrm{x} \mathrm{z}^2+2\right) \begin{aligned} & \end{aligned}Δ⃗\vec{\Delta}\times Q=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \y^2 \cos +z^2 & 2 y \sin x-4 & 3 x z^2+2\end{aligned}\right| \\ & =\hat{\imath}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(3 \mathrm{xz} z^2+2\right)-\frac{\partial}{\partial z}(2 \mathrm{y} \sin \mathrm{x}-4)\right]-\hat{\jmath}\left[\frac{\partial}{\partial x}(2 \mathrm{y} \sin \mathrm{x}-4)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{y}^2 \cos \mathrm{x}+\mathrm{z}^3\right)\right] \\ & =\hat{\imath}(0-0)-\hat{\jmath}(6 \mathrm{z}-6 \mathrm{z})+\hat{k}(2 \mathrm{y} \cos \mathrm{x}-2 \mathrm{yocs} \mathrm{x}) \\ & =0\end{aligned} \end{array} সুতরাং অঘূর্ননশীল।\end{array}
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন