Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে কিনা-গাণিতিক মানের সাহায্যে ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: এখানে, [গণিত] প্রশ্নমতে, নদীর স্রোতের বেগ, [গণিত] নৌকার বেগ, [গণিত] নদীর প্রস্থ = d এবং, ন্যূনতম সময়, t = 2 min = 120 [গণিত] সর্বনিম্ন পথে, [গণিত] = 90° স্রোতের সাথে যাত্রা শুরুর উৎপন্ন কোণ = [গণিত] আমরা জানি, [গণিত] নদীপাড় হতে প্রয়োজনীয় সময়, [গণিত] ∴ নদীর প্রস্থ, d = 536.581 m ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চাইলে, [গণিত] ` =90° হতে হবে। এক্ষেত্রে, লধ্বি বেগ, [গণিত] প্রয়োজনীয় সময়, [গণিত] ∴ ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে নৌকার অতিক্রান্ত দূরত্ব, [গণিত] ∴ d < d` ∴ ন্যূনতম সময়ে পার হতে অতিক্রান্ত দূরত্ব নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি হবে।

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক…

উদ্দীপক

P→=5i^+3ȷ^−mk^\overrightarrow{\mathrm{P}}=5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{\jmath}}-\mathrm{m} \hat{\mathrm{k}} ও Q=ı^+ȷ^+4k^Q=\hat{\imath}+\hat{\jmath}+4 \hat{k} । এখানে P→\overrightarrow{\mathrm{P}} এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} পরস্পর লম্ব। যদি P→\overrightarrow{\mathrm{P}} এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

Mymensingh · 2023

উত্তর

একই তলে অবস্থানকারী সকল ভেক্টরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।

উত্তর

নদীতে নৌকা চালানো হলে স্রোতের বিরদ্ধে বাঁধার সম্মুখীন হতে হয়। এতে নৌকা চালানোর বিন্দু হতে সোজাসুজি অপর বিন্দুতে পৌঁছাতে পারে না। নৌকা ও স্রোতের বেগের লধ্বির কারণে অন্যকোনো বিন্দুতে পৌঁছায়। কিন্তু স্রোতের সাথে আড়াআড়িভাবে নদী পাড়ি দিতে হবে যাতে নৌকা ও স্রোতের বেগের লধ্বি স্রোতের দিকের সাথে সমকোণে অবস্থান করে। স্রোতের সাথে আড়াআড়িভাবে নদী পাড়ি দিতে নৌকা ও স্রোতের মধ্যবর্তী কোণ 90° অপেক্ষা বেশি রাখতে হবে।

উত্তর

এখানে, \begin{aligned} & \end{aligned}P⃗\vec{P}=5ı^+3ȷ^−mk^\begin{aligned}=5 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-m \hat{k} \\ &\end{aligned}Q⃗\vec{Q}=ı^+ȷ^+4k^=\hat{\imath}+\hat{\jmath}+4 \hat{k} এবং, P ও Q পরস্পর লম্ব। আমরা জানি, দুইটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে এদের ডট গুণফল শূণ্য হয়। ∴\begin{aligned} & \therefore \end{aligned}P⃗\vec{P}⋅\cdotQ⃗\vec{Q}=0 \\ \Rightarrow & (5 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-m \hat{k}) \cdot(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+4 \hat{k})=0 \\ \Rightarrow & 5+3-4 m=0 \\ \Rightarrow & 4 \mathrm{~m}=8 \\ & \therefore \mathrm{m}=2\end{aligned} ∴ m এর মান 2

উত্তর

এখানে, \begin{aligned} & \end{aligned}P⃗\vec{P}=5ı^+3ȷ^−mk^\begin{aligned}=5 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-m \hat{k} \\ &\end{aligned}Q⃗\vec{Q}=ı^+ȷ^+4k^=\hat{\imath}+\hat{\jmath}+4 \hat{k} প্রশ্নমতে, নদীর স্রোতের বেগ, u=(1)2+(1)2+(4)2=18=32\begin{aligned} u= & \sqrt{(1)^2+(1)^2+(4)^2} \\ & =\sqrt{18} \\ & =3 \sqrt{2}\end{aligned} নৌকার বেগ, v=(5)2+(3)2+(−2)2=38\begin{aligned} \mathrm{v} & =\sqrt{(5)^2+(3)^2+(-2)^2} \\ & =\sqrt{38}\end{aligned} নদীর প্রস্থ = d এবং, ন্যূনতম সময়, t = 2 min = 120 sec⁡\sec সর্বনিম্ন পথে, θ=90\theta = 90° স্রোতের সাথে যাত্রা শুরুর উৎপন্ন কোণ = α\alpha আমরা জানি, tan⁡θ=vsin⁡αu+vcos⁡α⇒tan⁡90∘=vsin⁡αu+vcos⁡α⇒10=vsin⁡αu+vcos⁡α⇒u+vcos⁡α=0⇒α=cos⁡−1(−uv)=cos⁡−1(−3238)∴α=133.5∘\begin{aligned} & \tan \theta=\frac{\mathrm{v} \sin \alpha}{\mathrm{u}+\mathrm{v} \cos \alpha} \\ \Rightarrow & \tan 90^{\circ}=\frac{\mathrm{v} \sin \alpha}{\mathrm{u}+\mathrm{v} \cos \alpha} \\ \Rightarrow & \frac{1}{0}=\frac{\mathrm{v} \sin \alpha}{\mathrm{u}+\mathrm{v} \cos \alpha} \\ \Rightarrow & \mathrm{u}+\mathrm{v} \cos \alpha=0 \\ \Rightarrow & \alpha=\cos^{-1}\left(-\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{v}}\right) \\ & =\cos^{-1}\left(-\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{38}}\right) \\ \therefore & \alpha=133.5^{\circ}\end{aligned} নদীপাড় হতে প্রয়োজনীয় সময়, t=dvsin⁡α∴d=t×vsin⁡α=120×38sin⁡133.5∘=536.581 m\begin{aligned} & \mathrm{t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{v} \sin \alpha} \\ & \therefore \mathrm{d}=\mathrm{t} \times \mathrm{v} \sin \alpha \\ &=120 \times \sqrt{38} \sin 133.5^{\circ} \\ &=536.581 \mathrm{~m}\end{aligned} ∴ নদীর প্রস্থ, d = 536.581 m ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চাইলে, α\alpha` =90° হতে হবে।
এক্ষেত্রে,     লধ্বি বেগ,  R=v2+u2+2⋅v⋅ucos⁡α=38+18=56=214 ms−1\begin{aligned} \mathrm{R} & =\sqrt{\mathrm{v}^2+\mathrm{u}^2+2 \cdot \mathrm{v} \cdot \mathrm{u} \cos \alpha} \\ = & \sqrt{38+18} \\ = & \sqrt{56} \\ & =2 \sqrt{14} \mathrm{~ms}^{-1}\end{aligned} প্রয়োজনীয় সময়,  t′=dsin⁡α2=536.58138sin⁡90∘=87.045sec\begin{aligned} t^{\prime} & =\frac{d}{\sin \alpha^2} \\ & =\frac{536.581}{\sqrt{38} \sin 90^{\circ}} \\ & =87.045 \mathrm{sec}\end{aligned}
∴ ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে নৌকার অতিক্রান্ত দূরত্ব, d′=R×t′=214×87.04 m=651.38 m\begin{aligned} \mathrm{d}^{\prime} & =\mathrm{R} \times \mathrm{t}^{\prime} \\ & =2 \sqrt{14} \times 87.04 \mathrm{~m} \\ & =651.38 \mathrm{~m}\end{aligned}
∴ d < d` ∴ ন্যূনতম সময়ে পার হতে অতিক্রান্ত দূরত্ব নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি হবে।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন