Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না। কারণ এক্ষেত্রে গুণফলের মান সমান হলেও দিক বিপরীতমুখী হয়ে থাকে। মনে করি, [গণিত] ও [গণিত] দুটি ভেক্টর রাশি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টর দুটির ক্রস গুণন, [গণিত] .(1) [এখানে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর] এবং [গণিত] ...(2) (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই, [গণিত] অর্থাৎ, ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না- ব্যাখ্যা কর।

উদ্দীপক

চিত্রটি লক্ষ কর এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2025

উত্তর

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক তিনটি অক্ষের দিকে ব্যবহৃত একক ভেক্টরগুলো হচ্ছে আয়ত একক ভেক্টর।

উত্তর

ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না। কারণ এক্ষেত্রে গুণফলের মান সমান হলেও দিক বিপরীতমুখী হয়ে থাকে। মনে করি, P→\overrightarrow{\mathrm{P}} ও Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} দুটি ভেক্টর রাশি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ θ\theta এখন, P→\overrightarrow{\mathrm{P}} ও Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} ভেক্টর দুটির ক্রস গুণন, P→×Q→=n^PQsin⁡θ\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\mathrm{n}} \mathrm{PQ} \sin \theta ……….(1)[\ldots\ldots\ldots.(1) [এখানে, n^\hat{n} একটি একক ভেক্টর] এবং Q→×P→=n^PQsin⁡(−θ)=−n^PQsin⁡θ\overrightarrow{\mathrm{Q}} \times \overrightarrow{\mathrm{P}}=\hat{\mathrm{n}} \mathrm{PQ} \sin (-\theta)=-\hat{\mathrm{n}} \mathrm{PQ} \sin \theta ∴Q→×P→=−n^PQsin⁡θ\therefore \overrightarrow{\mathrm{Q}} \times \overrightarrow{\mathrm{P}}=-\hat{\mathrm{n}} \mathrm{PQ} \sin \theta
………...(2)(1)\ldots\ldots\ldots...(2) (1)
ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই, \begin{aligned} & \end{aligned}P⃗\vec{P}×\timesQ⃗\vec{Q}=−=-Q⃗\vec{Q}×\timesP⃗\vec{P}∴\begin{aligned}\\ \therefore \quad &\end{aligned}P⃗\vec{P}×\timesQ⃗\vec{Q}≠\neqQ⃗\vec{Q}×\timesP⃗\vec{P}\end{aligned} অর্থাৎ, ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

উত্তর

এখানে, AB→=(1−2)i^+(2+3)j^+(−8−4)k^=−i^+5j−12k^AC→=(3−2i^)+(3+3)j^+(−2−4)k^=i+6j−6k\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1-2) \hat{\mathrm{i}}+(2+3) \hat{j}+(-8-4) \hat{k} \\ & =-\hat{i}+5 \mathrm{j}-12 \hat{k} \\ & \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(3-2 \hat{\mathrm{i}})+(3+3) \hat{\mathrm{j}}+(-2-4) \hat{k} \\ & =\mathrm{i}+6 \mathrm{j}-6 \mathrm{k} \end{aligned} এখন, AB→⋅AC→=∣AB→∣∣AC→∣cos⁡∠BAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cos \angle \mathrm{BAC} বা, cos⁡∠BAC=AB→⋅AC→∣AB→∣∣AC→\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \mid \overrightarrow{\mathrm{AC}}} =(−1)×1+5×6+(−12)×(−6)(−1)2+52+(−12)212+62+(−6)2=\frac{(-1) \times 1+5 \times 6+(-12) \times(-6)}{\sqrt{(-1)^2+5^2+(-12)^2} \sqrt{1^2+6^2+(-6)^2}} বা, cos⁡∠BAC=−1+30+72170×73\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{-1+30+72}{\sqrt{170} \times \sqrt{73}} ∴∠BAC=cos⁡−1(101111.4)=24.95∘\therefore \quad \angle \mathrm{BAC}=\cos^{-1}\left(\frac{101}{111.4}\right)=24.95^{\circ} অতএব, ∠BAC কোণ 24.95°

উত্তর

এখানে, AB→=−i^+5j^−12k^\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}-12 \hat{\mathrm{k}} ['গ' হতে] AC→=i^+6j^−6k^\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}-6 \hat{\mathrm{k}} ['গ' হতে] ∴CA→=−i^−6j^+6k^\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-\hat{\mathrm{i}}-6 \hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}} এবং BC→(3−1)i^+(3−2)j^+(−2+8)k^\overrightarrow{B C}(3-1) \hat{i}+(3-2) \hat{j}+(-2+8) \hat{k} =2i^+j^+6k^=2 \hat{i}+\hat{j}+6 \hat{k} এখন, AB→×BC→\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{BC}} \begin{aligned} & =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & -12 \\ 2 & 1 & 6\end{aligned}\right| \\ & =\hat{i}(30+12)-\hat{j}(-6+24)+\hat{k}(-1-10) \\ & =42 \hat{i}-18 \hat{j}-11 k\end{aligned} \end{array} ∴(AB→×BC→)⋅CA→\therefore(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{BC}}) \cdot \overrightarrow{\mathbf{C A}} =(42i^−18j^−11k^).(−i^−6j^+6k^)=42×(−1)+(−18)×(−6)+(−11)×6=−42+208−66=0\begin{aligned} & =(42 \hat{i}-18 \hat{j}-11 \hat{k}).(-\hat{i}-6 \hat{j}+6 \hat{k}) \\ & =42 \times(-1)+(-18) \times(-6)+(-11) \times 6 \\ & =-42+208-66=0\end{aligned} যেহেতু, (AB→×BC→)⋅CA→=0(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{BC}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0 সুতরাং, AB→,BC→,CA→\overrightarrow{\mathbf{A B}}, \overrightarrow{\mathbf{B C}}, \overrightarrow{\mathbf{C A}} ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে।\end{array}
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টররাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না- ব্যাখ্যা কর। | Prosthuti