Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

কার্ল কাকে বলে?

উত্তর: ভেক্টর ক্ষেত্রে অবস্থিত একটি বিন্দুর চারদিকে এর লাইন ইন্টিগ্রালের মান প্রতি একক ক্ষেত্রফলে সর্বোচ্চ হলে তা উক্ত বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল প্রকাশ করে।

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

কার্ল কাকে বলে?

উদ্দীপক

একটি অবস্থান ভেক্টর এবং ডিফারেন্সিয়াল ভেক্টর অপারেটরকে যথাক্রমে r⃗=xi^+yj^+zk^\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} এবং ∇⃗=∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k} দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে।

ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

ভেক্টর ক্ষেত্রে অবস্থিত একটি বিন্দুর চারদিকে এর লাইন ইন্টিগ্রালের মান প্রতি একক ক্ষেত্রফলে সর্বোচ্চ হলে তা উক্ত বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল প্রকাশ করে।

উত্তর

ডাইভারজেন্সের তাৎপর্য হলো- i. ডাইভারজেন্স দ্বারা একক আয়তনে এই দিক রাশির মোট কতটুকু ফ্লাক্স কোন বিন্দু অভিমুখী বা অপসারিত হচ্ছে তা প্রকাশ করে। ∇⃗⋅V→\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathrm{V}} বা div⁡V→\operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{V}} দ্বারা একক সময়ে কোনো তরল পদার্থের ঘনত্বের পরিবর্তনের হার বুঝায়। ii. মান ধনাত্মক হলে, তরল পদার্থের আয়তন বৃদ্ধি পায়; ঘনত্বের পরিবর্তনের হার বুঝায়। যেখানে V⃗\vec{V} দ্বারা একক ক্ষেত্রফলের মধ্য দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে তরল পদার্থের ভর প্রবাহের হার নির্দিষ্ট হয়। iii. মান ঋণাত্মক হলে আয়তনের সংকোচন ঘটে, ঘনত্ব বৃদ্ধি পায়।

উত্তর

এখানে r⃗=xi^+yj^+zk^\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ∴r=x2+y2+z2\therefore r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} ∴1r=1x2+y2+z2=(x2+y2+z2)−12\therefore \frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+\mathrm{z}^2}}=\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)^{-\frac{1}{2}} এখন ,$ $∇⃗\vec{\nabla}(1r)=∂∂xi^(1r)+∂∂yj^(1r)+∂∂zk^(1r)\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\left(\frac{1}{r}\right) =i^∂∂x{(x2+y2+z2)−12}+j^∂∂y{(x2+y2+z2)−12}=\hat{\mathrm{i}} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\left\{\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right\}+\hat{\mathrm{j}} \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\left\{\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right\}+k^∂∂z{(x2+y2+z2)−12}+\hat{\mathrm{k}} \frac{\partial}{\partial z}\left\{\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right\} =(−12)×2x×(x2+y2+z2)−32i^+(−12)×2y=\left(-\frac{1}{2}\right) \times 2 x \times\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{3}{2}} \hat{i}+\left(-\frac{1}{2}\right) \times 2 y ×(x2+y2+z2)−32j^+(−12)×2z×(x2+y2+z2)−32k^\times\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)^{-\frac{3}{2}} \hat{\mathrm{j}}+\left(-\frac{1}{2}\right) \times 2 \mathrm{z} \times\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2\right)^{-\frac{3}{2}} \hat{\mathrm{k}} =−(x2+y2+z2)−32(xi^+yj^+zk^)=-\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{3}{2}}(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) =−(1r)3=-\left(\frac{1}{r}\right)^3r⃗\vec{r}$ $ =-\frac{r⃗\vec{r}}{r^3} অতএব, ∇⃗(lr)\vec{\nabla}\left(\frac{l}{r}\right) এর মান -\frac{r⃗\vec{r}}{r^3} ।

উত্তর

এখানে, r→=xi^+yj^+zk^\overrightarrow{\mathrm{r}}=x \hat{\mathrm{i}}+y \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{z} \hat{\mathbf{k}} ∴r=x2+y2+z2\therefore r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \therefore \frac{r⃗\vec{r}}{r^2}=\frac{x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}}{x^2+y^2+z^2}=\frac{x}{r^2} \hat{i}+\frac{y}{r^2} \hat{j}+\frac{z}{r^2} \hat{k} এখন \vec{\nabla} \times\left(\frac{r⃗\vec{r}}{r^2}\right)=\left|$
i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zxr2yr2zr2\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \frac{x}{r^2} & \frac{y}{r^2} & \frac{z}{r^2} \end{array}
\right| $ =i^{∂∂y(zr2)−∂∂z(yr2)}−j^{∂∂x(zr2)−∂∂z(xr2)}+k^{∂∂x(yr2)−∂∂y(xr2)}=\hat{i}\left\{\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{z}{r^2}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{y}{r^2}\right)\right\}-\hat{j}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{z}{r^2}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{x}{r^2}\right)\right\}+\hat{k}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{r^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{r^2}\right)\right\} =i^(0−2yzr4−0−2yzr4)−j^(0−2xzr4−0−2xzr4)+k^(0−2xyr4−0−2xyr4)=\hat{i}\left(\frac{0-2 y z}{r^4}-\frac{0-2 y z}{r^4}\right)-\hat{j}\left(\frac{0-2 x z}{r^4}-\frac{0-2 x z}{r^4}\right)+\hat{k}\left(\frac{0-2 x y}{r^4}-\frac{0-2 x y}{r^4}\right) =0−0+0=0=0-0+0=0 [[ এখন \left.\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{z}{r^2}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right) \times 0-z(2 y)}{\left(x^2+y^2+z^2\right}^2}=\frac{0-2 y z}{r^4}\right] এখন, \vec{\nabla} \times\left(\frac{r⃗\vec{r}}{r^2}\right) এর মান 00 এবং এটি অঘূর্ণনশীল।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টরফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ, চট্টগ্রাম
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন