Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] হলে এদের ভেক্টর ও স্কেলার গুণফলের মান সমান।– ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: [গণিত] ও [গণিত] দুটি ভেক্টর হলে, আমরা জানি, [গণিত] এবং [গণিত] যদি [গণিত] হয় তবে, [গণিত] এবং [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] সুতরাং, বলা যায়, দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 45° হলে এদের ভেক্টর গুণফল ও স্কেলার গুণফলের মান সমান হবে।

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ হলে এদের ভেক্টর ও স্কেলার গুণফলের মান …

উদ্দীপক

১ম জোড়া A→=3i^−mj^+4k^\overrightarrow{\mathrm{A}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\mathrm{m} \hat{j}+4 \hat{\mathbf{k}} এবং B⃗=4i^+4j^−k^\vec{B}=4 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k} ২য় জোড়া: P→=7i^+2j^+2k^\overrightarrow{\mathbf{P}}=7 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathbf{k}} এবং Q→=ni^−10j^+3k^\overrightarrow{\mathrm{Q}}=n \hat{\mathrm{i}}-10 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}

রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

যেসব ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণভাবে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয় সেসব রাশিই ভেক্টর রাশি।

উত্তর

A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} দুটি ভেক্টর হলে, আমরা জানি, A→⋅B→=ABcos⁡θ\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}=\mathrm{AB} \cos \theta এবং ∣A→×B→∣=ABsin⁡θ|\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\mathrm{AB} \sin \theta যদি θ=45∘\theta=45^{\circ} হয় তবে, A→⋅B→=AB2\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{AB}}{\sqrt{2}} এবং A→×B→∣=AB2\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\frac{\mathrm{AB}}{\sqrt{2}} অর্থাৎ, A⃗⋅\vec{A} \cdotB⃗\vec{B}=∣=|A⃗\vec{A}×\timesB⃗\vec{B}∣| সুতরাং, বলা যায়, দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 45° হলে এদের ভেক্টর গুণফল ও স্কেলার গুণফলের মান সমান হবে।

উত্তর

উদ্দীপক হতে, \begin{aligned} & \end{aligned}A⃗\vec{A}=3i^−mj^+4k^\begin{aligned}=3 \hat{i}-m \hat{j}+4 \hat{k} \\ &\end{aligned}B⃗\vec{B}=4i^+4j^−k^=4 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k} এবং A⃗×\vec{A} \timesB⃗\vec{B}=\left|\[\begin{array}{rrr}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -m & 4 \\ 4 & 4 & -1\end{array}\]\right| =i^(m−16)−j^(−3−16)+k^(12+4 m)=(m−16i^+19j^+(4 m+12k^∴∣A→×B→∣=(m−16)2+192+(4 m+12)2=m2−32 m+256+361+16 m2+96m+144=17 m2+64 m+761\begin{aligned} & =\hat{\mathrm{i}}(\mathrm{m}-16)-\hat{\mathrm{j}}(-3-16)+\hat{\mathrm{k}}(12+4 \mathrm{~m}) \\ & =(\mathrm{m}-16 \hat{\mathrm{i}}+19 \hat{\mathrm{j}}+(4 \mathrm{~m}+12 \hat{\mathrm{k}} \\ \therefore \quad|\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}| & =\sqrt{(\mathrm{m}-16)^2+19^2+(4 \mathrm{~m}+12)^2} \\ & =\sqrt{\mathrm{m}^2-32 \mathrm{~m}+256+361+16 \mathrm{~m}^2+96 m+144} \\ & =\sqrt{17 \mathrm{~m}^2+64 \mathrm{~m}+761}\end{aligned} এখন, A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} কোনো চতুর্ভুজের দুই বাহু হলে তার ক্ষেত্রফল হবে ∣A→×B→∣|\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}| বর্গ একক। অতএব, ১ম জোড়া ভেক্টর দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 17m2+64m+761\sqrt{17 m^2+64 m+761} বর্গ একক।

উত্তর

১ম জোড়ার ক্ষেত্রে, \begin{aligned} & \end{aligned}A⃗\vec{A}=3i^−mj^+4k^\begin{aligned}=3 \hat{i}-m \hat{j}+4 \hat{k} \\ &\end{aligned}B⃗\vec{B}=4i^+4j^−k^=4 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k} A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} লম্ব হলে, A→⋅\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdotB⃗\vec{B}=0=0 বা, (3i^−mj+4k^)⋅(4i^+4j^−k^)=0(3 \hat{\mathrm{i}}-\mathrm{mj}+4 \hat{\mathrm{k}}) \cdot(4 \hat{\mathrm{i}}+4 \hat{j}-\hat{\mathrm{k}})=0 বা, 12−4 m−4=012-4 \mathrm{~m}-4=0 বা, 4 m=84 \mathrm{~m}=8 ∴ m=2\therefore \quad \mathrm{~m}=2 P⃗\vec{P} ও Q⃗\vec{Q} লম্ব হলে, \quadP⃗\vec{P}⋅\cdotQ⃗\vec{Q}=0=0 বা, (7i^+2j^+2k^)⋅(ni^−10j^+3k^)=0(7 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) \cdot(n \hat{i}-10 \hat{j}+3 \hat{k})=0 বা, 7n−20+6=07 n-20+6=0 বা, 7n=147 n=14 ∴n=2\therefore n=2 যেহেতু m='n, অতএব A⃗\vec{A} , B⃗\vec{B} এর উপর এবং P⃗\vec{P} , Q⃗\vec{Q} এর উপর লম্ব হলে উদ্দীপকের m ও n এর মান সমান হবে।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টররাজশাহী ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন