দুইটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও ডট গুণন শূন্য হতে পারে- ব্যাখ্যা কর।
উত্তর: মনে করি, [গণিত] ও [গণিত] দুইটি ভেক্টরের মান যথাক্রমে A ও B এবং ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] । তাহলে, ডট গুণনের নিয়ম অনুযায়ী, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলে, [গণিত] অর্থাৎ, দুইটি ভেক্টরের মান অশূন্য হলেও এদের মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন শূন্য হবে। সুতরাং, দুইটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও ডট গুণন শূন্য হতে পারে।
HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল
দুইটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও ডট গুণন শূন্য হতে পারে- ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপক
ভেক্টর
Sylhet · 2024
উত্তর
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে যে ভেক্টর দিয়ে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।
উত্তর
মনে করি, ও দুইটি ভেক্টরের মান যথাক্রমে A ও B এবং ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ।
তাহলে, ডট গুণনের নিয়ম অনুযায়ী,
এখানে, হলে,
অর্থাৎ, দুইটি ভেক্টরের মান অশূন্য হলেও এদের মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন শূন্য হবে।
সুতরাং, দুইটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও ডট গুণন শূন্য হতে পারে।
উত্তর
এখানে,
অবস্থানে এর ডাইভারজেন্স =?
আমরা জানি,
\\ & =\frac{\partial}{\partial x}\left(9 x y^2+5 z\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(4 y^2+2 x z\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(3 x^3+2 y\right) \\ & =\left(9 y^2+0\right)+(8 y+0)+(0+0)=9 y^2+8 y\end{aligned}
অবস্থানে
অতএব, অবস্থানে এর ডাইভারজেন্স 17.
উত্তর
এখানে,
ভেক্টর অঘূর্ণনশীল হবে যদি হয়।
এখন,
\begin{aligned} & \operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{P}})=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\mathrm{i}} & \hat{j} & \hat{\mathrm{k}} \\ \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \left(9 x y^2+5 z\right) & \left(4 y^2+2 x z\right) & \left(3 x^3+2 y\right)\end{aligned}\right| \\ &=\hat{\mathrm{i}}\left\{\frac{\partial}{\partial y}\left(3 \mathrm{x}^3+2 y\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(4 y^2+2 x z\right)\right\} \\ & \hat{j}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(3 x^3+2 y\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(9 x y^2+5 z\right)\right\}+ \\ & \hat{k}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(4 y^2+2 x z\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(9 x y^2+5 z\right)\right\} \\ &=\hat{i}(2-2 x)-\hat{j}\left(9 x^2-5\right)+\hat{k}(2 z-18 x y)\end{aligned}
\end{array}
এখানে, curl . সুতরাং, ভেক্টর অঘূর্ণনশীন নয়।\end{array}