Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

একটি ভেক্টর রাশিকে কীরূপে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করবে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: ভেক্টর অপারেটর [গণিত] এর সাথে কোনো একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডট গুণন বা স্কেলার গুণনকে ঐ ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স বলে। মনে করি, [গণিত] একটি ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কে ভেক্টর ক্ষেত্র। একে ক্ষেত্রের প্রত্যেক বিন্দুতে অন্তরীকরণ বা ডিফারেনসিয়েট 'করা সম্ভব। তাহলে, [গণিত] বা, [গণিত] এবং ভেক্টর অপারেটর [গণিত] উপরোক্ত ডেক্টর অপারেটর [গণিত] এবং ভেক্টর পয়েন্ট ফাংশন [গণিত] স্কেলার বা ডট গুণফলকে ভেক্টর ক্ষেত্র [গণিত] ডাইভারজেন্স বলে। অর্থাৎ, [গণিত] । অতএব; [গণিত] এবং [গণিত] একটি স্কেলার রাশি। অর্থাৎ, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স নির্ণয়ের মাধ্যমে একটি ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করা যাবে।

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

একটি ভেক্টর রাশিকে কীরূপে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করবে? ব্যাখ্যা কর।

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি পড় ও সংশ্লিষ্ট প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও: question image

Jessore · 2024

উত্তর

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক তিনটি অক্ষের দিকে ব্যবহৃত একক ভেক্টরগুলো হচ্ছে আয়ত একক ভেক্টর।

উত্তর

ভেক্টর অপারেটর ∇⃗\vec{\nabla} এর সাথে কোনো একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডট গুণন বা স্কেলার গুণনকে ঐ ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স বলে। মনে করি, V⃗(x,y,z)\vec{V}(x, y, z) একটি ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কে ভেক্টর ক্ষেত্র। একে ক্ষেত্রের প্রত্যেক বিন্দুতে অন্তরীকরণ বা ডিফারেনসিয়েট 'করা সম্ভব। তাহলে, V→(x,y,z)=i^Vx(x,y,z)+j^Vy(x,y,z)+k^Vz(x,y,z)\overrightarrow{\mathrm{V}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\hat{\mathrm{i}} \mathrm{V}_{\mathrm{x}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})+\hat{\mathrm{j}} \mathrm{V}_{\mathrm{y}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})+\hat{\mathrm{k}} \mathrm{V}_{\mathrm{z}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) বা, V⃗=i^Vx+j^Vy+k^Vz\vec{V}=\hat{i} V_x+\hat{j} V_y+\hat{k} V_z এবং ভেক্টর অপারেটর ∇⃗=i^∂∂x+j^∂∂y+k^∂∂z\vec{\nabla}=\hat{i} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{j} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z} উপরোক্ত ডেক্টর অপারেটর ∇⃗\vec{\nabla} এবং ভেক্টর পয়েন্ট ফাংশন v⃗\vec{v} স্কেলার বা ডট গুণফলকে ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗\vec{V} ডাইভারজেন্স বলে। অর্থাৎ, div⁡\operatorname{div}V⃗\vec{V}==∇⃗\vec{\nabla}⋅V⃗\cdot \vec{V} । অতএব; div⁡V→=\operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{V}}=∇⃗\vec{\nabla}⋅V→\cdot \overrightarrow{\mathrm{V}} =(i^∂∂x+j^∂∂y+k^∂∂z)⋅(i^Vx+j^Vy+k^Vz)=\left(\hat{i} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{j} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot\left(\hat{i} V_x+\hat{j} V_y+\hat{k} V_z\right) =i^⋅i^∂Vx∂x+i^⋅j^∂Vy∂x+i^⋅k^∂Vz∂x+j^⋅i^∂Vx∂y+j^⋅j^∂Vy∂y=\hat{i} \cdot \hat{i} \frac{\partial V_x}{\partial x}+\hat{i} \cdot \hat{j} \frac{\partial V_y}{\partial x}+\hat{i} \cdot \hat{k} \frac{\partial V_z}{\partial x}+\hat{j} \cdot \hat{i} \frac{\partial V_x}{\partial y}+\hat{j} \cdot \hat{j} \frac{\partial V_y}{\partial y} +j^⋅k^∂ Vz∂y+k^⋅i^∂ Vx∂z+k^⋅j^∂ Vy∂z+k^⋅k^∂ Vz∂z+\hat{\mathrm{j}} \cdot \hat{\mathrm{k}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{y}}+\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{i}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{z}}+\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{j}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{z}}+\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{k}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{z}} ∴\therefore∇⃗\vec{\nabla}⋅ V→=∂Vx∂x+∂Vv∂y+∂Vz∂z\cdot \overrightarrow{\mathrm{~V}}=\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{v}}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{z}} [i^⋅i^=j^⋅j^=k^⋅k^=1[\hat{\mathrm{i}} \cdot \hat{\mathrm{i}}=\hat{\mathrm{j}} \cdot \hat{\mathrm{j}}=\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{k}}=1 এবং i⋅j=j⋅i=j⋅k=k⋅j=k⋅i=i⋅k=0]\mathrm{i} \cdot \mathrm{j}=\mathrm{j} \cdot \mathrm{i}=\mathrm{j} \cdot \mathrm{k}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{j}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{i}=\mathrm{i} \cdot \mathrm{k}=0] ∇⃗⋅V→\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathrm{V}} একটি স্কেলার রাশি। অর্থাৎ, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স নির্ণয়ের মাধ্যমে একটি ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করা যাবে।

উত্তর

এখানে, \left|F⃗\vec{F}_1\right|=15 \mathrm{~N} X অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \left|F⃗\vec{F}_1\right| এর উৎপন্ন কোণ, θ1=180∘−30∘=150∘\theta_1=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ} তাহলে, \vec{F}_1=\left|F⃗\vec{F}_1\right| \cos \theta_1 \hat{i}+\left|F⃗\vec{F}_1\right| \sin \theta_1 \hat{j} =(15cos⁡150∘i^+15sin⁡150∘j)N=\left(15 \cos 150^{\circ} \hat{\mathrm{i}}+15 \sin 150^{\circ} \mathrm{j}\right) \mathrm{N} =(−13i^+7.5j)N=(-13 \hat{\mathrm{i}}+7.5 \mathrm{j}) \mathrm{N} সুতরাং, F1F_1 এর ভেক্টর রূপ (−13i+7.5j)N(-13 \mathrm{i}+7.5 \mathrm{j}) \mathrm{N}.

উত্তর

"গ" হতে পাই, \vec{F}_1=-13 \hat{i}+7.5 \hat{j} ;\left|F⃗\vec{F}_2\right|=10 \mathrm{~N} X অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \left|F⃗\vec{F}_2\right| এর উৎপন্ন কোণ, θ2=30∘\theta_2=30^{\circ} F→2=∣F→2∣cos⁡θ2i^+∣F→2∣sin⁡θ2j^\overrightarrow{\mathrm{F}}_2 =\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right| \cos \theta_2 \hat{\mathrm{i}}+\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right| \sin \theta_2 \hat{\mathrm{j}} =10cos⁡30∘i+10sin⁡30∘j^=53i^+5j^=10 \cos 30^{\circ} \mathrm{i}+10 \sin 30^{\circ} \hat{\mathrm{j}}=5 \sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}} এখন, F→1+F→2=−13i^+7.5j^+53i^+5j^=−4.34i^+12.5j^\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\overrightarrow{\mathrm{F}}_2=-13 \hat{\mathrm{i}}+7.5 \hat{\mathrm{j}}+5 \sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}=-4.34 \hat{\mathrm{i}}+12.5 \hat{\mathrm{j}}  F→1−F→2=−13i^+7.5j^−53i^−5j^=−21.66i^+2.5j^\overrightarrow{\mathrm{~F}}_1-\overrightarrow{\mathrm{F}}_2=-13 \hat{\mathrm{i}}+7.5 \hat{\mathrm{j}}-5 \sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}=-21.66 \hat{\mathrm{i}}+2.5 \hat{\mathrm{j}} এখন, (F→1+F→2)⋅(F→1−F→2)\left(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right) \cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1-\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right) =(−4.34i^+12.5jj)⋅(−21.66i^+2.5j^)=(-4.34 \hat{\mathrm{i}}+12.5 \mathrm{jj}) \cdot(-21.66 \hat{\mathrm{i}}+2.5 \hat{\mathrm{j}}) =(−4.34)×(−21.66)+(12.5×2.5)=(-4.34) \times(-21.66)+(12.5 \times 2.5) =94.0044+31.25=125.2544=94.0044+31.25=125.2544 অর্থাৎ, \left(F⃗\vec{F}1+_1+F⃗\vec{F}_2\right) \cdot\left(F⃗\vec{F}1−_1-F⃗\vec{F}_2\right) \neq 0 সুতরাং, উদ্দীপকে F→1+F→2\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\overrightarrow{\mathrm{F}}_2 এবং F→1−F→2\overrightarrow{\mathrm{F}}_1-\overrightarrow{\mathrm{F}}_2 পরস্পর লম্ব হবে না।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টরJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

Comilla · 2024

  • ক
    সমরেখ ভেক্টর
  • খ
    স্বাধীন ভেক্টর
  • গ
    নাল ভেক্টর
  • ঘ
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} ভেক্টর নিচের কোনটি?

Dinajpur · 2024

  • ক
    2i^+2j^2 \hat{i}+2 \hat{j}
  • খ
    2j^+2k^2 \hat{j}+2 \hat{k}
  • গ
    2i^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{k}
  • ঘ
    2i^+2j^+2k^2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে-
i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের মান কত হবে?

Rajshahi · 2025

  • ক
    27kmh−127kmh^{-1}
  • খ
    18kmh−118kmh^{-1}
  • গ
    15.59kmh−115.59kmh^{-1}
  • ঘ
    9kmh−19kmh^{-1}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∇→.\overrightarrow{∇}.v→\overrightarrow{v}=0=0 হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না। নিচের কোনটি সঠিক?

Rajshahi · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.কেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. F→=−mw2r→\overrightarrow{F}=-mw^{2}\overrightarrow{r} $ ii. F=−F=-m→\overrightarrow{m}\left(w→\overrightarrow{w}××w→\overrightarrow{w}\right)\overrightarrow{r} iii. F→=mv2r2r→\overrightarrow{F}=\frac{mv^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{r} নিচের কোনটি সঠিক?

Sylhet · 2025

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

Sylhet · 2025

  • ক
    ৫
  • খ
    ৪
  • গ
    ৩
  • ঘ
    ২

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.n এর মান কত হলে P→=2i^+nj^−5k^\overrightarrow{P}=2\hat{i}+n\hat{j}-5\hat{k} এবং Q→=10i^−5j^−25k^\overrightarrow{Q}=10\hat{i}-5\hat{j}-25\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হবে?

Sylhet · 2025

  • ক
    1
  • খ
    -1
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    −12-\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

Sylhet · 2025

  • ক
    অবস্থান
  • খ
    সঠিক
  • গ
    সমপ্রারম্ভিক
  • ঘ
    সমতলীয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.r→=3×i^−2yj^+4zk^\overrightarrow{r}=3×\hat{i}-2y\hat{j}+4z\hat{k} হলে ∇.→r→\overrightarrow{∇.}\overrightarrow{r} =?

Chittagong · 2025

  • ক
    3
  • খ
    5
  • গ
    9
  • ঘ
    12

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অন্যটির মান-

Chittagong · 2025

  • ক
    2R\sqrt{2R}
  • খ
    R2R^{2}
  • গ
    2R\sqrt{2R}
  • ঘ
    12R\frac{1}{\sqrt{2}}R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নের উত্তর দাও। [গণিত] ভেক্টর নিচের কোনটি?[গণিত] হলে-i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদাউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও উদ্দীপক অনুসারে- i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও স্রোতের বেগ P কে নাকচ করার জন্য Q এর উপাংশের [গণিত] হলে- i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয় iii. কোনো পদকেন্দ্রমুখী বলকে ভেক্টররূপে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে- i. [গণিত] $ ii. [গণিত] iii. [গজ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?n এর মান কত হলে [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হবে?যে সব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?[গণিত] হলে [গণিত] =?চিত্রে, দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R একটি ভেক্টরের মানের সমান এবং তার সাথে লম্ব; অ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন