Chapter 4 : সূচক ও লগারিদম (Full Syllabus) গণিত

SSC গণিত এর Chapter 4 : সূচক ও লগারিদম (Full Syllabus) অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২৫৬

প্রশ্ন

গণিত

বিষয়

SSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

b=2,c=8,d=3,p=83b=2, c=8, d=3, p=\frac{8}{3}

Dhaka · 2025

ক
log⁡3(x2−7)=2\log_3\left(x^2-7\right)=2 হলে, xx এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, log⁡3(x2−7)=2\log_3\left(x^2-7\right)=2 রা, x2−7=32[∵log⁡aM=xx^2-7=3^2\left[\because \log_a M=x\right. হলে, M=ax]\left.M=a^x\right] বা, x2−7=9x^2-7=9 বা, x2=9+7x^2=9+7 বা, x2=16\mathrm{x}^2=16 বা, x=±16x= \pm \sqrt{16} ∴x=±4\therefore x= \pm 4 ∴ নির্ণেয় x এর মান ± 4 [Ans.]
খ
b12d16÷(pc)16=(2c)x−3\frac{b^{12}}{d^{16}} \div\left(\frac{p}{c}\right)^{16}=(2 c)^{x-3} হলে, xx এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, b=2,c=8, d=3,p=83\mathrm{b}=2, \mathrm{c}=8, \mathrm{~d}=3, \mathrm{p}=\frac{8}{3} এখন, b12d16÷(pc)16=(2c)x−3\frac{b^{12}}{d^{16}} \div\left(\frac{p}{c}\right)^{16}=(2 c)^{x-3} বা, 212316÷(838)16=(2×8)x−3\frac{2^{12}}{3^{16}} \div\left(\frac{\frac{8}{3}}{8}\right)^{16}=(2 \times 8)^{x-3} বা 212316÷(83×18)16=(16)x−3\frac{2^{12}}{3^{16}} \div\left(\frac{8}{3} \times \frac{1}{8}\right)^{16}=(16)^{x-3} বা, 212316÷(13)16=(24)x−3\frac{2^{12}}{3^{16}} \div\left(\frac{1}{3}\right)^{16}=\left(2^4\right)^{x-3} রা, 212316÷1316=24x−12[∵(am)n=amn]\frac{2^{12}}{3^{16}} \div \frac{1}{3^{16}}=2^{4 x-12} \quad\left[\because\left(a^m\right)^n=a^{m n}\right] বা, 212316×3161=24x−12\frac{2^{12}}{3^{16}} \times \frac{3^{16}}{1}=2^{4 x-12} বা, 212=24x−122^{12}=2^{4 x-12} বা, 12=4x−1212=4 x-12 [∵ax=ay\left[\because a^x=a^y\right. হলে, x=y]\left.x=y\right] বা, 4x=12+124 \mathrm{x}=12+12 বা, 4x=244 x=24 ∴x=6\therefore \mathrm{x}=6 ∴ নির্ণেয় x এর মান 6 [Ans.]
গ
প্রমাণ কর যে, log⁡10 b+log⁡10c−log⁡10 dlog⁡10(2c)−log⁡10 d2=2−1\frac{\log_{10} \sqrt{\mathrm{~b}}+\log_{10} \sqrt{\mathrm{c}}-\log_{10} \mathrm{~d}}{\log_{10}(2 \mathrm{c})-\log_{10} \mathrm{~d}^2}=2^{-1}.

উত্তর

দেওয়া আছে, b=2,c=8,d=3b=2, c=8, d=3 বামপক্ষ =log⁡10b+log⁡10c−log⁡10dlog⁡10(2c)−log⁡10d2=\frac{\log_{10} \sqrt{b}+\log_{10} \sqrt{c}-\log_{10} d}{\log_{10}(2 c)-\log_{10} d^2} =log⁡102+log⁡108−log⁡103log⁡10(2×8)−log⁡1032=\frac{\log_{10} \sqrt{2}+\log_{10} \sqrt{8}-\log_{10} 3}{\log_{10}(2 \times 8)-\log_{10} 3^2} =log⁡10212+log⁡1023−log⁡103log⁡1024−2log⁡103= \frac{\log_{10} 2^{\frac{1}{2}}+\log_{10} \sqrt{2^3}-\log_{10} 3}{\log_{10} 2^4-2 \log_{10} 3} =12log⁡102+log⁡10232−log⁡1034log⁡102−2log⁡103= \frac{\frac{1}{2} \log_{10} 2+\log_{10} 2^{\frac{3}{2}}-\log_{10} 3}{4 \log_{10} 2-2 \log_{10} 3} =12log⁡102+32log⁡102−log⁡1034log⁡102−2log⁡103= \frac{\frac{1}{2} \log_{10} 2+\frac{3}{2} \log_{10} 2-\log_{10} 3}{4 \log_{10} 2-2 \log_{10} 3} =(12+32)log⁡102−log⁡1034log⁡102−2log⁡103= \frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right) \log_{10} 2-\log_{10} 3}{4 \log_{10} 2-2 \log_{10} 3} =2log⁡102−log⁡1032(2log⁡102−log⁡103)= \frac{2 \log_{10} 2-\log_{10} 3}{2\left(2 \log_{10} 2-\log_{10} 3\right)} =12=2−1= \frac{1}{2}=2^{-1} =ডানপক্ষ ∴log⁡10b+log⁡10c−log⁡10dlog⁡10(2c)−log⁡10d2=2−1\therefore \frac{\log_{10} \sqrt{b}+\log_{10} \sqrt{c}-\log_{10} d}{\log_{10}(2 c)-\log_{10} d^2}=2^{-1} [প্রমাণিত]

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

X=(2a−1+3b−1)−1\mathrm{X} = (2\mathrm{a}^{-1}+3\mathrm{b}^{-1})^{-1}, Y=xpxqpq×xqxrqr×xrxprp\mathrm{Y} = \sqrt[\mathrm{pq}]{\frac{\mathrm{x}^\mathrm{p}}{\mathrm{x}^\mathrm{q}}} \times \sqrt[\mathrm{qr}]{\frac{\mathrm{x}^\mathrm{q}}{\mathrm{x}^\mathrm{r}}} \times \sqrt[\mathrm{rp}]{\frac{\mathrm{x}^\mathrm{r}}{\mathrm{x}^\mathrm{p}}}, Z=25m+1(5m−1)m+1÷5m+1(5m)m−1+(52)x\mathrm{Z} = \frac{25^{\mathrm{m}+1}}{(5^{\mathrm{m}-1})^{\mathrm{m}+1}} \div \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{(5^\mathrm{m})^{\mathrm{m}-1}} + (5^2)^\mathrm{x}, p,q,r>0\mathrm{p, q, r} > 0
ক
X এর সরলমান নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, X=(2a−1+3b−1)−1\mathrm{X} = (2\mathrm{a}^{-1}+3\mathrm{b}^{-1})^{-1} =1(2a−1+3b−1)= \frac{1}{(2\mathrm{a}^{-1}+3\mathrm{b}^{-1})} =1(2a+3b)= \frac{1}{\left(\frac{2}{\mathrm{a}}+\frac{3}{\mathrm{b}}\right)} [∵a−m=1am]\left[\because \mathrm{a}^{-\mathrm{m}} = \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{m}}\right] =12b+3aab= \frac{1}{\frac{2\mathrm{b}+3\mathrm{a}}{\mathrm{ab}}} =ab3a+2b= \frac{\mathrm{ab}}{3\mathrm{a}+2\mathrm{b}} ∴\therefore নির্ণেয় সরলমান X=ab3a+2b\mathrm{X} = \frac{\mathrm{ab}}{3\mathrm{a}+2\mathrm{b}} [Ans.]
খ
দেখাও যে, Y = 1

উত্তর

দেওয়া আছে, Y=xpxqpq×xqxrqr×xrxprp\mathrm{Y} = \sqrt[\mathrm{pq}]{\frac{\mathrm{x}^\mathrm{p}}{\mathrm{x}^\mathrm{q}}} \times \sqrt[\mathrm{qr}]{\frac{\mathrm{x}^\mathrm{q}}{\mathrm{x}^\mathrm{r}}} \times \sqrt[\mathrm{rp}]{\frac{\mathrm{x}^\mathrm{r}}{\mathrm{x}^\mathrm{p}}} =(xpxq)1pq×(xqxr)1qr×(xrxp)1rp= \left(\frac{\mathrm{x}^\mathrm{p}}{\mathrm{x}^\mathrm{q}}\right)^{\frac{1}{\mathrm{pq}}} \times \left(\frac{\mathrm{x}^\mathrm{q}}{\mathrm{x}^\mathrm{r}}\right)^{\frac{1}{\mathrm{qr}}} \times \left(\frac{\mathrm{x}^\mathrm{r}}{\mathrm{x}^\mathrm{p}}\right)^{\frac{1}{\mathrm{rp}}} =x1qx1p×x1rx1q×x1px1r= \frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{q}}}}{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}} \times \frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}}{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{q}}}} \times \frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}}{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}} =x1q+1r+1px1p+1q+1r= \frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{q}}+\frac{1}{\mathrm{r}}+\frac{1}{\mathrm{p}}}}{\mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{p}}+\frac{1}{\mathrm{q}}+\frac{1}{\mathrm{r}}}} [∵am⋅an=am+n][\because \mathrm{a}^\mathrm{m} \cdot \mathrm{a}^\mathrm{n} = \mathrm{a}^{\mathrm{m+n}}] =x1q+1r+1p−1p−1q−1r= \mathrm{x}^{\frac{1}{\mathrm{q}}+\frac{1}{\mathrm{r}}+\frac{1}{\mathrm{p}}-\frac{1}{\mathrm{p}}-\frac{1}{\mathrm{q}}-\frac{1}{\mathrm{r}}} [∵xmxn=xm−n]\left[\because \frac{\mathrm{x}^\mathrm{m}}{\mathrm{x}^\mathrm{n}} = \mathrm{x}^{\mathrm{m-n}}\right] =x0= \mathrm{x}^0 =1= 1 ∴Y=1\therefore \mathrm{Y} = 1 [দেখানো হলো]
গ
Z = 30 হলে, x-এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, Z=25m+1(5m−1)m+1÷5m+1(5m)m−1+(52)x\mathrm{Z} = \frac{25^{\mathrm{m}+1}}{(5^{\mathrm{m}-1})^{\mathrm{m}+1}} \div \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{(5^\mathrm{m})^{\mathrm{m}-1}} + (5^2)^\mathrm{x} =(52)m+15m2−1÷5m+15m2−m+(52)x= \frac{(5^2)^{\mathrm{m}+1}}{5^{\mathrm{m}^2-1}} \div \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{5^{\mathrm{m}^2-\mathrm{m}}} + (5^2)^\mathrm{x} [∵(am)n=amn][\because (\mathrm{a}^\mathrm{m})^\mathrm{n} = \mathrm{a}^{\mathrm{mn}}] =52m+25m2−1÷5m+15m2−m+52x= \frac{5^{2\mathrm{m}+2}}{5^{\mathrm{m}^2-1}} \div \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{5^{\mathrm{m}^2-\mathrm{m}}} + 5^{2\mathrm{x}} =52m+2−m2+1÷5m+1−m2+m+52x= 5^{2\mathrm{m}+2-\mathrm{m}^2+1} \div 5^{\mathrm{m}+1-\mathrm{m}^2+\mathrm{m}} + 5^{2\mathrm{x}} [∵aman=am−n]\left[\because \frac{\mathrm{a}^\mathrm{m}}{\mathrm{a}^\mathrm{n}} = \mathrm{a}^{\mathrm{m-n}}\right] =52m−m2+3÷52m−m2+1+52x= 5^{2\mathrm{m}-\mathrm{m}^2+3} \div 5^{2\mathrm{m}-\mathrm{m}^2+1} + 5^{2\mathrm{x}} =52m−m2+3−2m+m2−1+52x= 5^{2\mathrm{m}-\mathrm{m}^2+3-2\mathrm{m}+\mathrm{m}^2-1} + 5^{2\mathrm{x}} =52+52x= 5^2 + 5^{2\mathrm{x}} =52x+25= 5^{2\mathrm{x}} + 25 প্রশ্নমতে, Z=30\mathrm{Z} = 30 বা, 52x+25=305^{2\mathrm{x}} + 25 = 30 [∵Z=52x+25][\because \mathrm{Z} = 5^{2\mathrm{x}}+25] বা, 52x=30−255^{2\mathrm{x}} = 30-25 বা, 52x=55^{2\mathrm{x}} = 5 বা, 52x=515^{2\mathrm{x}} = 5^1 বা, 2x=12\mathrm{x} = 1 [∵ax=ay[\because \mathrm{a}^\mathrm{x} = \mathrm{a}^\mathrm{y} হলে, x=y]\mathrm{x} = \mathrm{y}] ∴x=12\therefore \mathrm{x} = \frac{1}{2} ∴\therefore নির্ণেয় মান x=12\mathrm{x} = \frac{1}{2} [Ans.]

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

A=42p+1,B=5m+1(5m)m−1,C=25m+1(5m−1)m+1,D=3x+31−x\mathrm{A}=4^{2\mathrm{p}+1}, \mathrm{B} = \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{ (5^{\mathrm{m}})^{\mathrm{m}-1} }, \mathrm{C} = \frac{25^{\mathrm{m}+1}}{ (5^{\mathrm{m}-1})^{\mathrm{m}+1} }, \mathrm{D} = 3^{\mathrm{x}} + 3^{1-\mathrm{x}}।

Barisal · 2016

ক
A=128\mathrm{A} = 128 হলে P\mathrm{P} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, A=42p+1\mathrm{A} = 4^{2\mathrm{p}+1} ∴A=128\therefore \mathrm{A} = 128 হলে, 128=42p+1128 = 4^{2\mathrm{p}+1} বা, 27=(22)2p+12^7 = (2^2)^{2\mathrm{p}+1} বা, 27=24p+22^7 = 2^{4\mathrm{p}+2} বা, 7=4p+27 = 4\mathrm{p} + 2 বা, 4p=7−24\mathrm{p} = 7 - 2 বা, 4p=54\mathrm{p} = 5 ∴p=54\therefore \mathrm{p} = \frac{5}{4} (Ans.)
খ
প্রমাণ কর যে, B÷C=125\mathrm{B} \div \mathrm{C} = \frac{1}{25}।

উত্তর

দেওয়া আছে, B=5m+1(5m)m−1\mathrm{B} = \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{(5^{\mathrm{m}})^{\mathrm{m}-1}} এবং C=25m+1(5m−1)m+1\mathrm{C} = \frac{25^{\mathrm{m}+1}}{(5^{\mathrm{m}-1})^{\mathrm{m}+1}} এখন, B÷C=5m+1(5m)m−1÷25m+1(5m−1)m+1\mathrm{B} \div \mathrm{C} = \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{(5^{\mathrm{m}})^{\mathrm{m}-1}} \div \frac{25^{\mathrm{m}+1}}{(5^{\mathrm{m}-1})^{\mathrm{m}+1}} =5m+15m2−m÷(52)m+15m2−1= \frac{5^{\mathrm{m}+1}}{5^{\mathrm{m}^2-\mathrm{m}}} \div \frac{(5^2)^{\mathrm{m}+1}}{5^{\mathrm{m}^2-1}} =5m+1−m2+m÷52m+2−(m2−1)= 5^{\mathrm{m}+1-\mathrm{m}^2+\mathrm{m}} \div 5^{2\mathrm{m}+2-(\mathrm{m}^2-1)} =52m+1−m2÷52m+2−m2+1= 5^{2\mathrm{m}+1-\mathrm{m}^2} \div 5^{2\mathrm{m}+2-\mathrm{m}^2+1} =52m+1−m2−2m−2+m2−1= 5^{2\mathrm{m}+1-\mathrm{m}^2-2\mathrm{m}-2+\mathrm{m}^2-1} =5−2= 5^{-2} =152= \frac{1}{5^2} ∴B÷C=125\therefore \mathrm{B} \div \mathrm{C} = \frac{1}{25} (প্রমাণিত)
গ
D=4\mathrm{D} = 4 হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, D=3x+31−x\mathrm{D} = 3^{\mathrm{x}} + 3^{1-\mathrm{x}} D=4\mathrm{D} = 4 হলে, 4=3x+31−x4 = 3^{\mathrm{x}} + 3^{1-\mathrm{x}} বা, 3x+33x=43^{\mathrm{x}} + \frac{3}{3^{\mathrm{x}}} = 4 বা, a+3a=4\mathrm{a} + \frac{3}{\mathrm{a}} = 4 [3x=a3^{\mathrm{x}} = \mathrm{a} ধরে] বা, a2+3=4a\mathrm{a}^2 + 3 = 4\mathrm{a} [a\mathrm{a} দ্বারা গুণ করে] বা, a2−4a+3=0\mathrm{a}^2 - 4\mathrm{a} + 3 = 0 বা, a2−3a−a+3=0\mathrm{a}^2 - 3\mathrm{a} - \mathrm{a} + 3 = 0 বা, a(a−3)−1(a−3)=0\mathrm{a}(\mathrm{a}-3) - 1 (\mathrm{a}-3) = 0 বা, (a−3)(a−1)=0(\mathrm{a}-3) (\mathrm{a}-1) = 0 হয় a−3=0\mathrm{a}-3=0 বা, a=3\mathrm{a} = 3 বা, 3x=313^{\mathrm{x}} = 3^1 ∴x=1\therefore \mathrm{x} = 1 অথবা a−1=0\mathrm{a}-1=0 বা, a=1\mathrm{a} = 1 বা, 3x=303^{\mathrm{x}} = 3^0 [a\mathrm{a} এর মান বসিয়ে] ∴x=0\therefore \mathrm{x} = 0 [a>0,a≠1\mathrm{a} > 0, \mathrm{a} \neq 1 শর্তে ax=ay\mathrm{a}^{\mathrm{x}} = \mathrm{a}^{\mathrm{y}} হলে x=y\mathrm{x} = \mathrm{y}] ∴\therefore নির্ণেয় মান, x=0,1\mathrm{x} = 0, 1

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

A=xp;B=xq;C=xr\mathrm{A}=\mathrm{x}^{\mathrm{p}} ; \mathrm{B}=\mathrm{x}^{\mathrm{q}} ; \mathrm{C}=\mathrm{x}^{\mathrm{r}} এবং M=22x+1\mathrm{M}=2^{2 \mathrm{x}+1} কয়েকটি রাশি।

Dinajpur · 2017

ক
M=512\mathrm{M}=512 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, M=22x+1M=2^{2 x+1} M=512\mathrm{M}=512 হলে, 22x+1=5122^{2 \mathrm{x}+1}=512 বা, 22x+1≐292^{2 x+1} \doteq 2^9 বা, 2x+1=92 \mathrm{x}+1=9 বা, 2x=9−12 x=9-1 বা, 2x=82 x=8 ∴x=4\therefore x=4 (Ans.)
খ
(AB)p2+pq+q2×(BC)q2+qr+r2×(CA)r2+rp+p2\left(\frac{A}{B}\right)^{p^2+p q+q^2} \times\left(\frac{B}{C}\right)^{q^2+q r+r^2} \times\left(\frac{C}{A}\right)^{r^2+r p+p^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, A=xp,B=xq ও C=xrA=x^p, B=x^q \text{ ও } C=x^r প্রদত্ত রাশি =(AB)p2+pq+q2×(BC)q2+qr+r2×(CA)r2+rp+p2=\left(\frac{A}{B}\right)^{p^2+p q+q^2} \times\left(\frac{B}{C}\right)^{q^2+q r+r^2} \times\left(\frac{C}{A}\right)^{r^2+r p+p^2} =(xpxq)p2+pq+q2×(xqxr)q2+qr+r2×(xrxp)r2+rp+p2=\left(\frac{x^p}{x^q}\right)^{p^2+p q+q^2} \times\left(\frac{x^q}{x^r}\right)^{q^2+q r+r^2} \times\left(\frac{x^r}{x^p}\right)^{r^2+r p+p^2} [A, B ও C এর মান বসিয়ে] =(xp−q)p2+pq+q2×(xq−r)q2+qr+r2×(xr−p)r2+rp+p2=\left(x^{p-q}\right)^{p^2+p q+q^2} \times\left(x^{q-r}\right)^{q^2+q r+r^2} \times\left(x^{r-p}\right)^{r^2+r p+p^2} =x(p−q)(p2+pq+q2)×x(q−r)(q2+qr+r2)×x(r−p)(r2+rp+p2)=x^{(p-q)\left(p^2+p q+q^2\right)} \times x^{(q-r)\left(q^2+q r+r^2\right)} \times x^{(r-p)\left(r^2+r p+p^2\right)} =xp3−q3×xq3−r3×xr3−p3=x^{p^3-q^3} \times x^{q^3-r^3} \times x^{r^3-p^3} =xp3−q3+q3−r3+r3−p3=x^{p^3-q^3+q^3-r^3+r^3-p^3} =x0=1 (Ans.) =x^0=1 \text{ (Ans.) }
গ
প্রমাণ কর যে, log⁡x(ABC)=log⁡xA+log⁡xB+log⁡xC\log_{\mathrm{x}}(\mathrm{ABC})=\log_{\mathrm{x}} \mathrm{A}+\log_{\mathrm{x}} \mathrm{B}+\log_{\mathrm{x}} \mathrm{C}

উত্তর

দেওয়া আছে, A=xp,B=xqA=x^p, B=x^q এবং C=xrC=x^r ∴log⁡xA=p,log⁡xB=q\therefore \log_x A=p, \log_x B=q এবং log⁡xC=r\log_x C=r এখন, ABC=xp.xq.xr\mathrm{ABC}=\mathrm{x}^{\mathrm{p}} . \mathrm{x}^{\mathrm{q}} . \mathrm{x}^{\mathrm{r}} বা, ABC=xp+q+rA B C=x^{p+q+r} বা, log⁡x(ABC)=p+q+r\log_x(A B C)=p+q+r বা, log⁡x(ABC)=log⁡xA+log⁡xB+log⁡xC[p,q\log_x(A B C)=\log_x A+\log_x B+\log_x C[p, q ও rr এর মান বসিয়ে] ∴log⁡x(ABC)=log⁡xA+log⁡xB+log⁡xC\therefore \log_x(A B C)=\log_x A+\log_x B+\log_x C (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো