Chapter 12 : দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ (Full Syllabus) গণিত

উদ্দীপক

কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 2 হয়। আবার হর হতে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 1 হয়।

ক

ভগ্নাংশটি $\frac{x}{y}$ ধরে সমীকরণজোট গঠন করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, ভগ্নাংশটি $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$; অর্থাৎ ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y তাহলে, ১ম শর্তমতে, $\frac{x+7}{y}=2$ বা, $x+7=2 y$ বা, $x-2 y+7=0$ আবার, ২য় শর্তমতে, $\frac{x}{y-2}=1$ বা, $x=y-2$ বা, $x-y+2=0^{\circ}$ ∴ নির্ণেয় সমীকরণজোট $x-2 y+7=0$ . . . . . . . (i) $x-y+2=0$ . . . . . . . (ii)

খ

সমীকরণজোটটি আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করে (x, y) নির্ণয় করো। ভগ্নাংশটি কত?

উত্তর

`ক' অংশ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণজোট $x-2 y+7=0$ . . . . . . . (i) $x-y+2=0$ . . . . . . . (ii) আড়গুণন সূত্রানুসারে পাই, \frac{x}{(-2} \times 2-(-1) \times 7}=\frac{y}{7 \times 1-2 \times 1}=\frac{-1}{1 \times(-1}-(-2) \times 1} বা, $\frac{x}{-4+7}=\frac{y}{7-2}=\frac{1}{-1+2}$ বা, $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{1}{1}$ $\therefore \frac{x}{3}=1$ বা, $x=3$ আবার, $\frac{y}{5}=1$ বা, $y=5$ সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান, $(x, y)=(3,5)$ এবং ভগ্নাংশটি $\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$ [Ans.]

গ

সমীকরণজোটটির লেখ অঙ্কন করে (x, y) এর প্রাপ্ত মানের সত্যতা যাচাই করো।

উত্তর

`ক' অংশ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণজোট $x-2 y+7=0$ . . . . . . . (i) $x-y+2=0$ . . . . . . . (ii) সমীকরণ (i) থেকে পাই, $-2 y=-7-x$ বা, $2 y=x+7$ বা, $y=\frac{x+7}{2}$ সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি পূরণ করি- সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু ( - 3, 2), (3, 5), (5, 6) আবার সমীকরণ (ii) থেকে পাই, $-\mathrm{y}=-\mathrm{x}-2$ বা, $\mathrm{y}=\mathrm{x}+2$ সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি পূরণ করি- সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (-2, 0), (3, 5), (6, 8) মনে করি, $\mathrm{XOX}^{\prime}$ ও $\mathrm{YOY}^{\prime}$ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন ছক কাগজে সমীকরণ (i) হতে প্রাপ্ত ( $-3,2$ ), $(3,5),(5,6)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও তাদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা। একইভাবে সমীকরণ (ii) থেকে প্রাপ্ত ( $-2,0$ ), $(3,5),(6,8)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও তাদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা। সমীকরণদ্বয় P বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র থেকে দেখা যায় P বিন্দুর ছানাঙ্ক $(3,5)$ নির্ণেয় সমাধান $(x, y)=(3,5)$ [Ans.] 'খ' হতে প্রাণ্ড ( $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ) এর মান এবং 'গ' হতে প্রাপ্ত ( $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ) এর মান সমান। $\therefore(\mathbf{x}, \mathbf{y})=(\mathbf{3}, \mathbf{5})$ মানটি সত্য।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} = 0$ $2\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = -1$

Comilla · 2016

ক

সমীকরণ জোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর নির্ভরশীল কিনা যাচাই কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, সমীকরণ জোট: $3x - 4y = 0$ $2x - 3y = -1$ $x$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{3}{2}$ $y$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$ আমরা পাই, $\frac{3}{2} \neq \frac{4}{3}$ $\therefore$ সমীকরণ জোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল।

খ

সমীকরণ জোটকে প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর।

উত্তর

এখানে, $3x - 4y = 0 \ldots\ldots.(i)$ $2x - 3y = -1 \ldots\ldots.(ii)$ $(i)$ নং সমীকরণ হতে পাই, $3x - 4y = 0$ বা, $3x = 4y$ $\therefore x = \frac{4y}{3} \ldots\ldots.(iii)$ $(iii)$ নং হতে $x = \frac{4y}{3}$, $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $2 \cdot \frac{4y}{3} - 3y = -1$ বা, $\frac{8y - 9y}{3} = -1$ বা, $\frac{-y}{3} = -1$ বা, $-y = -3$ $\therefore y = 3$ $(iii)$ নং এ $y = 3$ বসিয়ে পাই, $x = \frac{4 \times 3}{3} \therefore x = 4$ নির্ণেয় সমাধান: $(x, y) = (4, 3)$ (Ans.)

গ

লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণ জোটকে সমাধান করে দেখাও যে, $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ এর প্রাপ্ত মান (খ)নং এ প্রাপ্ত মানের সমান।

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ জোট $3x - 4y = 0 \ldots\ldots.(i)$ $2x - 3y = -1 \ldots\ldots.(ii)$ $(i)$ নং সমীকরণ হতে পাই, $3x - 4y = 0$ বা, $4y = 3x$ $\therefore y = \frac{3x}{4}$ এখন, সমীকরণটিতে $x$ এর কয়েকটি মান নিয়ে $y$ এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি: আবার, (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই, $2\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = -1$ বা, $3\mathrm{y} = 2\mathrm{x} + 1$ $\therefore y = \frac{2\mathrm{x} + 1}{3}$ সমীকরণটিতে $x$ এর কয়েকটি মান নিয়ে $y$ এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি: এখন, ছক কাগজের $XOX^{\prime}$ বরাবর $x$-অক্ষ এবং $YOY^{\prime}$ বরাবর $y$-অক্ষ এবং $O$ মূলবিন্দু নিই। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি $2$ বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। ছক কাগজে সমীকরণ (i) নং হতে প্রাপ্ত ($-4, -3$), $(4, 3)$ ও $(8, 6)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও পরপর বিন্দুগুলো যোগ করে উভয়দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি হবে একটি সরলরেখা। একইভাবে সমীকরণ (ii) নং হতে প্রাপ্ত ($-5, -3$), $(4, 3)$ ও $(10, 7)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে পরস্পর যোগ করি এবং উভয়দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি হবে একটি সরলরেখা যা পূর্বের সরলরেখাকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে। লেখ থেকে পাই, $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 3)$। $\therefore$ সমাধান : $(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = (4, 3)$ অতএব, 'খ' নং থেকে প্রাপ্ত সমাধান $(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = (4, 3)$ এবং লেখ থেকে প্রাপ্ত সমাধান সমান। (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি সরল সমীকরণ জোট— $7\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 20$ $3\mathrm{x}-4\mathrm{y} = -6$

Dhaka · 2016

ক

সমীকরণ জোটের সমাধান সংখ্যা নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ জোট: $7\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 20$ $3\mathrm{x}-4\mathrm{y} = -6$ x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{7}{3}$ y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ আমরা পাই, $\frac{7}{3} \neq -\frac{1}{2}$ $\therefore$ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল এবং একটি মাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

খ

আড়গুণন পদ্ধতিতে জোটটির সমাধান করে $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ নির্ণয় কর।

উত্তর

$7\mathrm{x}+2\mathrm{y}-20 = 0$ $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i)$ $3\mathrm{x}-4\mathrm{y}+6 = 0$ $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.. (ii)$ সমীকরণ (i) ও (ii) কে আড়গুণন করে পাই, \frac{\mathrm{x}}{2.6-(-4).(-20)} = \frac{\mathrm{y}}{3.(-20)-7.6} = \frac{1}{7.(-4}-3.2} বা, $\frac{\mathrm{x}}{12-80} = \frac{\mathrm{y}}{-60-42} = \frac{1}{-28-6}$ বা, $\frac{\mathrm{x}}{-68} = \frac{\mathrm{y}}{-102} = \frac{1}{-34}$ বা, $\frac{\mathrm{x}}{68} = \frac{\mathrm{y}}{102} = \frac{1}{34}$ $\therefore \frac{\mathrm{x}}{68} = \frac{1}{34}$ এবং $\frac{\mathrm{y}}{102} = \frac{1}{34}$ বা, $\mathrm{x} = \frac{68}{34}$ $\therefore \mathrm{x}=2$ বা, $\mathrm{y} = \frac{102}{34}$ $\therefore \mathrm{y}=3$ $\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = (2, 3)$

গ

লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণ জোটটির সমাধান কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়: $7\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 20$ $\ldots\ldots\ldots\ldots. (i)$ $3\mathrm{x}-4\mathrm{y}=-6$ $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.. (ii)$ সমীকরণ (i) নং থেকে পাই, $2\mathrm{y} = 20-7\mathrm{x}$ $\therefore \mathrm{y} = \frac{20-7\mathrm{x}}{2}$ সমীকরণটিতে $\mathrm{x}$ এর কয়েকটি মান নিয়ে $\mathrm{y}$ এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি: $\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু যথাক্রমে $(2, 3), (0, 10), (4, -4)$ আবার, সমীকরণ (ii) নং হতে পাই, $4\mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 6$ $\therefore \mathrm{y} = \frac{3\mathrm{x}+6}{4}$ সমীকরণটিতে $\mathrm{x}$ এর কয়েকটি মান নিয়ে $\mathrm{y}$ এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছক তৈরি করি: $\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু যথাক্রমে $(2, 3)$, $(-2, 0)$ ও $(6, 6)$। এখন, ছক কাগজের $XOX^{\prime}$ বরাবর $x$-অক্ষ এবং $YOY^{\prime}$ বরাবর $y$-অক্ষ এবং $O$ মূলবিন্দু নিই। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে, ছক কাগজে সমীকরণ $(i)$ নং থেকে প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু $(2, 3)$, $(0, 10)$, $(4, -4)$ স্থাপন করি ও বিন্দুগুলি পরস্পর সংযুক্ত করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি হবে সরলরেখা। একইভাবে, সমীকরণ $(ii)$ নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু তিনটি $(2, 3)$, $(-2, 0)$ ও $(6, 6)$ স্থাপন করি ও বিন্দুগুলি পরস্পর সংযুক্ত করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি হবে একটি সরলরেখা। মনে করি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। লেখচিত্রে দেখা যায় $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 3)$। $\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $(x, y) = (2, 3)$

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 11. অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 27 বেশি।

Jessore · 2017

ক

$\mathrm{a} : \mathrm{b} = \mathrm{c} : \mathrm{d}$ হলে দেখাও যে, $\frac{\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2 - \mathrm{b}^2} = \frac{\mathrm{c}^2 + \mathrm{d}^2}{\mathrm{c}^2 - \mathrm{d}^2}$.

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{a}:\mathrm{b}=\mathrm{c}:\mathrm{d}$ বা, $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} = \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ ধরি, $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} = \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}} = \mathrm{k}$ $\therefore \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} = \mathrm{k}$ এবং $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}} = \mathrm{k}$ $\therefore \mathrm{a} = \mathrm{bk} \quad \therefore \mathrm{c} = \mathrm{dk}$. বামপক্ষ $= \frac{\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2 - \mathrm{b}^2} = \frac{\mathrm{b}^2\mathrm{k}^2 + \mathrm{b}^2}{\mathrm{b}^2\mathrm{k}^2 - \mathrm{b}^2} = \frac{\mathrm{b}^2(\mathrm{k}^2 + 1)}{\mathrm{b}^2(\mathrm{k}^2 - 1)} = \frac{\mathrm{k}^2 + 1}{\mathrm{k}^2 - 1}$ ডানপক্ষ $= \frac{\mathrm{c}^2 + \mathrm{d}^2}{\mathrm{c}^2 - \mathrm{d}^2} = \frac{\mathrm{d}^2\mathrm{k}^2 + \mathrm{d}^2}{\mathrm{d}^2\mathrm{k}^2 - \mathrm{d}^2} = \frac{\mathrm{d}^2(\mathrm{k}^2 + 1)}{\mathrm{d}^2(\mathrm{k}^2 - 1)} = \frac{\mathrm{k}^2 + 1}{\mathrm{k}^2 - 1}$ $\therefore \frac{\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2 - \mathrm{b}^2} = \frac{\mathrm{c}^2 + \mathrm{d}^2}{\mathrm{c}^2 - \mathrm{d}^2}$ (দেখানো হলো)

খ

উদ্দীপকের সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

উত্তর

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্কটি = $\mathrm{x}$ $\therefore$ দশক স্থানীয় অঙ্কটি = $11 - \mathrm{x}$ $\therefore$ সংখ্যাটি = $10 \times (11 - \mathrm{x}) + \mathrm{x}$ প্রশ্নমতে, $10\mathrm{x} + (11 - \mathrm{x}) = 10 \times (11 - \mathrm{x}) + \mathrm{x} + 27$ বা, $10\mathrm{x} + 11 - \mathrm{x} = 110 - 10\mathrm{x} + \mathrm{x} + 27$ বা, $9\mathrm{x} + 9\mathrm{x} = 137 - 11$ বা, $18\mathrm{x} = 126$ বা, $\mathrm{x} = \frac{126}{18} \quad \therefore \mathrm{x} = 7$ $\therefore$ সংখ্যাটি $= 10 \times (11 - 7) + 7 = 10 \times 4 + 7 = 47$ (Ans.)

গ

প্রদত্ত সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় যদি মিটারে কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্দেশ করে এবং আয়তক্ষেত্রের কর্ণ যদি কোনো বর্গের বাহুর সমান হয় তবে বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর

'খ' থেকে পাই, সংখ্যাটি = 47 প্রশ্নানুসারে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 7 মিটার এবং প্রস্থ = 4 মিটার $= \sqrt{7^2 + 4^2}$ মিটার $= \sqrt{65}$ মিটার শর্তমতে, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{65}$ মিটার $\therefore$ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{2}$ বাহুর দৈর্ঘ্য) $= \sqrt{2} \times \sqrt{65}$ মিটার $= 11.402$ মিটার (প্রায়) (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো