Chapter 10 : দূরত্ব ও উচ্চতা (Full Syllabus) গণিত

উদ্দীপক

Dinajpur · 2024

ক

$\sec \theta=\frac{13}{12}$ হলে, $\sin \theta+\cos \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\begin{aligned} \sec \theta & =\frac{13}{12} \\ \therefore \quad \cos \theta & =\frac{13}{12} \\ \therefore \quad \sin \theta & =\sqrt{1-\cos^2 \theta} \\ & =\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} \\ & =\frac{5}{13} \\ \therefore \quad \sin \theta & +\cos \theta=\frac{5}{13}+\frac{12}{13}=\frac{17}{13}\end{aligned}$

খ

চিত্র-১ হতে $BD$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

চিত্র হতে, AD অংশ ভূমিতে C বিন্দুতে স্পর্শ করে। অর্থাৎ, $\mathrm{AB}=72 \mathrm{~m}$ এবং $\mathrm{BD}=\mathrm{h}$ হলে, AD = DC = (72 - h) মিটার । এখন, $\triangle \mathrm{BCD}$ এ, $\tan \angle \mathrm{BDC}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ বা, $\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{BC}}$ বা, $\mathrm{BC}=\frac{\frac{\mathrm{h}}{1}}{\sqrt{3}}=\mathrm{h} \sqrt{3}$ মিটার আবার, $\triangle \mathrm{BCD}$ এ- $\sin \angle \mathrm{BDC}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}$ বা, $\sin 30^{\circ}=\frac{\mathrm{h} \sqrt{3}}{72-\mathrm{h}}$ বা, $\frac{1}{2}(72-\mathrm{h})=\mathrm{h} \sqrt{3}$ বা, $72-\mathrm{h}=2 \mathrm{~h} \sqrt{3}$ বা, $h(2 \sqrt{3}+1)=72$ বা, $h=\frac{72}{2 \sqrt{3}+1}$ $=16.12866 \mathrm{~m} .$ $\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{h}=16.12866 \mathrm{~m}$ (প্রায়) (Ans.)

গ

চিত্র-২ এর আলোকে $\Delta P Q S$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

উত্তর

চিত্র হতে, $\triangle \mathrm{PRQ}$ এ- $\tan \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RQ}}$ বা, $\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}$ বা, $\mathrm{h}=\mathrm{x} \sqrt{3}$ আবার, $\triangle \mathrm{PQS}$ এ- $\tan \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QS}}$ বা, $\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{54+\mathrm{x}}$ বা, $\mathrm{h}=54+\mathrm{x}$ বা, $x \sqrt{3}=54+x$ বা, $x(\sqrt{3}-1)=54$ বা, $x=\frac{54}{\sqrt{3}-1}=73.5653 \mathrm{~m}$ (প্রায়) $\therefore \mathrm{h}=\mathrm{x} \sqrt{3}$ $=\sqrt{3}$ $=73.7653 \mathrm{~m}$ $=127.75653 \mathrm{~m}$ (প্রায়) আবার, $\triangle \mathrm{PQS}$ এ- $\sin \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PS}}$ বা, $\sin 45^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{PS}}$ বা, $\mathrm{PS}=\frac{127.7653}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=180.6874 \mathrm{~m}$ (প্রায়) $\therefore$ ত্রিভুজটির পরিসীমা $=(\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}+\mathrm{PS}) \mathrm{m}$ $\therefore =(\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}+\mathrm{PS}) \mathrm{m}$ $=(127.7653+54+73.7653+180.6874) \mathrm{m}$ $=436.2180 \mathrm{~m}$ (প্রায়)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

Jessore · 2025

ক

$\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)=\frac{13}{5}$ হলে, $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)=\frac{13}{5}$ বা, $\operatorname{\cosec} \theta=\frac{13}{5} \quad\left[\because \sec \left(90^{\circ}-\theta\right)=\operatorname{\cosec} \theta\right]$ বা, $\frac{1}{\sin \theta}=\frac{13}{5} \quad\left[\because \operatorname{cosce} \theta=\frac{1}{\sin \theta}\right]$ $\therefore \sin \theta=\frac{5}{13} \quad$ |Ans.]

খ

চিত্র-১ হতে $\triangle \mathrm{PST}$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, $\mathrm{ST}=9$ মিটার সমকোণী ত্রিভুজ PST হতে পাই, $\sin \angle \mathrm{SPT}=\frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{PT}}$ বা, $\sin 30^{\circ}=\frac{9}{\mathrm{PT}}$ বা, $\frac{1}{2}=\frac{9}{\mathrm{PT}} \quad\left[\because \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\right]$ $\therefore \mathrm{PT}=18$ মিটার আবার, সমকোণী ত্রিভুজ PST হতে পাই, $\tan \angle \mathrm{SPT}=\frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{PS}}$ বা, $\tan 30^{\circ}=\frac{9}{\mathrm{PS}}$ বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\mathrm{PS}} \quad\left[\because \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\right]$. $\therefore \mathrm{PS}=9 \sqrt{3}$ মিটার এখন, $\Delta \mathrm{PST}$ এর পরিসীমা $=\mathrm{PS}+\mathrm{PT}+\mathrm{ST}$ $=9 \sqrt{3}+18+9$ $=9 \sqrt{3}+27$ $=42.59$ মিটার (প্রায়) [Ans.]

গ

চিত্র-২ হতে MN এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, GH = 1 কি.মি. = 1000 মি.। M বিন্দুতে G ও H এর অবনতি কোণ যথাক্রমে $\angle \mathrm{GMK}=60^{\circ}$ এবং $\angle \mathrm{HML}=45^{\circ}$ ধরি, $\mathrm{MN}=\mathrm{h}$ মি. এবং $\mathrm{GN}=\mathrm{x}$ মি. $\therefore \mathrm{NH}=\mathrm{GH}-\mathrm{GN}=(1000-\mathrm{x})$ মি. এখানে, $\mathrm{KM} \| \mathrm{GN}$ এবং GM তাদের ছেদক। $[\because \mathrm{KL} \| \mathrm{GH}]$ $\therefore \angle \mathrm{GMK}=\angle \mathrm{MGN}=60^{\circ}$ [একান্তর কোণ] আবার, $\mathrm{ML} \| \mathrm{NH}$ এবং MH তাদের ছেদক । $[\because \mathrm{KL} \| \mathrm{GH}]$ $\therefore \angle \mathrm{HML}=\angle \mathrm{MHN}=45^{\circ}$ [একান্তর কোণ] এখন, সমকোণী $\triangle \mathrm{MGN}$ হতে পাই, $\tan \angle \mathrm{MGN}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{GN}}$ বা, $\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}$ বা, $\sqrt{3}=\frac{h}{x}\left[\because \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\right]$ $\therefore x=\frac{h}{\sqrt{3}}$ . . . . . . . (1) আবার, সমকোণী $\triangle \mathrm{MHN}$ হতে পাই, $\tan \angle \mathrm{MHN}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{NH}}$ বা, $\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{1000-\mathrm{x}}$ বা, $l=\frac{h}{1000-x} \quad\left[\because \tan 45^{\circ}=1\right]$ বা, $\mathrm{h}=1000-\mathrm{x}$ বা, $\mathrm{h}+\mathrm{x}=1000$ বা, $h+\frac{h}{\sqrt{3}}=1000$ [(1)নং হতে] বা, $\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \mathrm{h}=1000$ বা, $\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right) \mathrm{h}=1000$ বা, $\mathrm{h}=\frac{1000 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ বা, $\mathrm{h}=633.97$ মি. (প্রায়) বা, $\mathrm{h}=\frac{633.97}{1000}$ কি.মি. $\therefore \mathrm{h}=0.634$ কি.মি. (প্রায়) ∴ $\mathrm{MN}=0.634$ কি, মি. (প্রায়) [Ans.]

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

(i) একটি গাছ ঝড়ে ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ ভূমির সাথে $30^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করে গাছের গোড়া থেকে $10 \sqrt{3}$ মিটার দূরে ভূমিকে স্পর্শ করে। (ii) P এবং Q দুইটি স্থানের মধ্যবর্তী কোনো স্থানে একটি উড়োজাহাজ উড়ছে। উড়োজাহাজের অবস্থানে P ও Q এর অবনতি কোণ যথাক্রমে $60^{\circ}$ ও $45^{\circ}$ ।

Rajshahi · 2025

ক

$\mathrm{A}=60^{\circ}$ হলে, $3 \sin \mathrm{~A}-4 \sin^3 \mathrm{~A}$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

$\begin{aligned} & \text{ দেওয়া আছে, } \mathrm{A}=60^{\circ} \\ & \text{ প্রদত্ত রাশি }=3 \sin \mathrm{~A}-4 \sin^3 \mathrm{~A} \\ &=3 \sin 60^{\circ}-4 \times\left(\sin 60^{\circ}\right)^3 \\ &=3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}-4 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\left[\because \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\ &=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \\ &=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2} \\ &=0 \text{ |Ans.| }\end{aligned}$

খ

সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, $A B$ গাছটি $O$ বিন্দুতে ডেঙে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ ভূমি BD এর সাথে $\angle \mathrm{BDO}=30^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করে। এখানে, গাছটির ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য, AO = DO এবং $\mathrm{BD}=10 \sqrt{3}$ মিটার সমকোণী $\triangle \mathrm{BOD}$ থেকে পাই, $\tan \angle \mathrm{BDO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{BD}}$ বা, $\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{BO}}{10 \sqrt{3}}[\because \mathrm{BD}=10 \sqrt{3}$ মি. $]$ বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{BO}}{10 \sqrt{3}}\left[\because \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\right]$ বা, $\mathrm{BO} \times \sqrt{3}=10 \sqrt{3}$ $\mathrm{BO}=10$ মিটার আবার, $\sin \angle \mathrm{BDO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}$ বা, $\sin 30^{\circ}=\frac{10}{\mathrm{DO}}[\because \mathrm{BO}=10$ মি. $]$ বা, $\frac{1}{2}=\frac{10}{\mathrm{DO}}\left[\because \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\right]$ বা, $\mathrm{DO}=10 \times 2$ $\therefore \mathrm{DO}=20$ মিটার ∴ সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য $\mathrm{AB}=(\mathrm{BO}+\mathrm{AO})$ $=(B O+D O) \quad[\because A O=D O]$ $=(10+20)$ মিটার $=30$ মিটার |Ans.|

গ

$\mathrm{PQ}=1200$ মিটার হলে, ভূমি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, $P$ ও $Q$ দুইটি স্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব $P Q=1200$ মি. চিত্রে উড়োজাহাজের অবস্থান S বিন্দুতে। $\therefore \mathrm{S}$ বিন্দুতে P ও Q এর অবনতি কোণ যথাক্রমে $\angle \mathrm{PSR}=60^{\circ}$ এবং $\angle \mathrm{QST}=45^{\circ}$ মনে করি, উড়োজাহাজের উচ্চতা, $\mathrm{OS}=\mathrm{h}$ মি. এবং $\mathrm{OP}=\mathrm{x}$ মি. $\therefore O Q=P Q-O P=(1200-x)$ মি. এখানে, RS || PO এবং PS তাদের ছেদক। $\therefore \angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{SPO}=60^{\circ}$ [একান্তর কোণ] আবার, ST || OQ; SQ তাদের ছেদক । $\therefore \angle \mathrm{QST}=\angle \mathrm{SQO}=45^{\circ}$ [একান্তর কোণ] এখন, সমকোণী $\triangle \mathrm{SPO}$ হতে পাই, $\tan \angle \mathrm{SPO}=\frac{\mathrm{SO}}{\mathrm{OP}}$ বা, $\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}$ বা, $\sqrt{3}=\frac{h}{x}\left[\because \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\right]$ $\therefore x=\frac{h}{\sqrt{3}}$ . . . . . . . . (1) আবার, সমকোণী $\triangle \mathrm{SQO}$ হতে পাই, $\tan \angle \mathrm{SQO}=\frac{\mathrm{SO}}{\mathrm{OQ}}$ বা, $\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{h}}{1200-\mathrm{x}}$ বা, $1=\frac{\mathrm{h}}{1200-\mathrm{x}}\left[\because \tan 45^{\circ}=1\right]$ বা, $\mathrm{h}=1200-\mathrm{x}$ বা, $\mathrm{h}+\mathrm{x}=1200$ বা, $h+\frac{h}{\sqrt{3}}=1200$ [(1)নং হতে] বা, $\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \mathrm{h}=1200$ বা, $\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right) h=1200$ বা, $h=\frac{1200 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ $\therefore \mathrm{h}=760.77$ মি. (প্রায়) সুতরাং, ভূমি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা 760.77 মি. (প্রায়)। |Ans.|

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশের সাথে $30^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 18 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করে। দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm{M}=\sec \theta$ এবং $\mathrm{N}=\tan \theta$.

Dhaka · 2025

ক

$\tan 7 \mathrm{x}=\cot 8 \mathrm{x}$ হলে, x এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\tan 7 \mathrm{x}=\cot 8 \mathrm{x}$ বা, $\tan 7 x=\tan \left(90^{\circ}-8 x\right)\left[\because \tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta\right]$ বা, $7 x=90^{\circ}-8 x$ বা, $7 x+8 x=90^{\circ}$ বা, $15 x=90^{\circ}$ $\therefore \quad \mathrm{x}=6^{\circ}$ নির্ণেয় মান : $\mathrm{x}=6^{\circ}$.

খ

$\mathrm{MN}=2 \sqrt{3}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{M}=\sec \theta$ এবং $\mathrm{N}=\tan \theta$ $\mathrm{MN}=2 \sqrt{3}$ হলে, $\sec \theta \cdot \tan \theta=2 \sqrt{3}$ বা, $\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=2 \sqrt{3}$ বা, $\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}=2 \sqrt{3}$ বা, $\sin \theta=2 \sqrt{3} \cos^2 \theta$ বা, $\sin \theta=2 \sqrt{3}\left(1-\sin^2 \theta\right)\left[\because \cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\right]$ বা, $\sin \theta=2 \sqrt{3}-2 \sqrt{3} \sin^2 \theta$ বা, $2 \sqrt{3} \sin^2 \theta+\sin \theta-2 \sqrt{3}=0$ বা, $2 \sqrt{3} \sin^2 \theta-3 \sin \theta+4 \sin \theta-2 \sqrt{3}=0$ বা, $\sqrt{3} \sin \theta(2 \sin \theta-\sqrt{3})+2(2 \sin \theta-\sqrt{3})=0$ বা, $(2 \sin \theta-\sqrt{3})(\sqrt{3} \sin \theta+2)=0$ হয়, $2 \sin \theta-\sqrt{3}=0$ বা, $2 \sin \theta=\sqrt{3}$ বা, $\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ বা, $\sin \theta=\sin 60^{\circ}$ $\therefore \theta=60^{\circ}$ অথবা, $\sqrt{3} \sin \theta+2=0$ বা, $\sqrt{3} \sin \theta=-2$ বা, $\sin \theta=\frac{-2}{\sqrt{3}}$ কিন্তু ইহা গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $-1 \leq \sin \theta \leq 1$

গ

সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর

মনে করি, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য $\mathrm{AB}=\mathrm{h}$ মিটার। খুঁটিটি $\mathrm{BC}=\mathrm{x}$ মিটার উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশের সাথে $\angle \mathrm{BCD}=30^{\circ}$ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে $\mathrm{BD}=18$ মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করে। এখানে, $\mathrm{CD}=\mathrm{AC}=\mathrm{AB}-\mathrm{BC}=(\mathrm{h}-\mathrm{x})$ মিটার এখন, BCD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, $\tan \angle \mathrm{BCD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ বা, $\quad \tan 30^{\circ}=\frac{18}{x}$ বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{18}{x}$ $\therefore \quad x=18 \sqrt{3}$ আবার, $\mathrm{BCD}$ সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, $\sin \angle B C D=\frac{B D}{C D}$ বা, $\quad \sin 30^{\circ}=\frac{18}{\mathrm{~h}-\mathrm{x}}$ বা, $\frac{1}{2}=\frac{18}{h-x}$ বা, $\mathrm{h}-\mathrm{x}=36$ বা, $h=36+x$ বা, $\mathrm{h}=36+18 \sqrt{3}$ $[ x$ এর মান বসিয়ে$]$ $\therefore \quad \mathrm{h}=67.177$(প্রায়) $∴$ সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $\mathrm{67.177}$ মিটার (প্রায়)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো