অধ্যায়-৮ : ত্রিকোণমিতি উচ্চতর গণিত

SSC উচ্চতর গণিত এর অধ্যায়-৮ : ত্রিকোণমিতি অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

১৬৮

প্রশ্ন

উচ্চতর গণিত

বিষয়

SSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

মনে কর, P=sin⁡θ−cos⁡θ+1sin⁡θ+cos⁡θ−1\mathrm{P} = \frac{\sin\theta - \cos\theta + 1}{\sin\theta + \cos\theta - 1} এবং Q=sec⁡θ+tan⁡θ\mathrm{Q} = \sec\theta + \tan\theta।

Barisal · 2016

ক
tan⁡10x=cot⁡5x\tan 10\mathrm{x} = \cot 5\mathrm{x} হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, tan⁡10x=cot⁡5x\tan 10\mathrm{x} = \cot 5\mathrm{x} বা, tan⁡10x=tan⁡(90°−5x)\tan 10\mathrm{x} = \tan(90°-5\mathrm{x}) বা, 10x=90°−5x10\mathrm{x} = 90°-5\mathrm{x} বা, 10x+5x=90°10\mathrm{x}+5\mathrm{x} = 90° বা, 15x=90°15\mathrm{x} = 90° ∴x=6°\therefore \mathrm{x} = 6° (Ans.)
খ
দেখাও যে, P = Q.

উত্তর

দেওয়া আছে, P=sin⁡θ−cos⁡θ+1sin⁡θ+cos⁡θ−1\mathrm{P} = \frac{\sin\theta - \cos\theta + 1}{\sin\theta + \cos\theta - 1} =cos⁡θ(sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θcos⁡θ+1cos⁡θ)cos⁡θ(sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θcos⁡θ−1cos⁡θ)= \frac{\cos\theta\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{\cos\theta}\right)}{\cos\theta\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\cos\theta} - \frac{1}{\cos\theta}\right)} =tan⁡θ−1+sec⁡θtan⁡θ+1−sec⁡θ= \frac{\tan\theta - 1 + \sec\theta}{\tan\theta + 1 - \sec\theta} =tan⁡θ+sec⁡θ−(sec⁡2θ−tan⁡2θ)1−sec⁡θ+tan⁡θ= \frac{\tan\theta + \sec\theta - (\sec^2\theta - \tan^2\theta)}{1 - \sec\theta + \tan\theta} =sec⁡θ+tan⁡θ−(sec⁡θ+tan⁡θ)(sec⁡θ−tan⁡θ)1−sec⁡θ+tan⁡θ= \frac{\sec\theta + \tan\theta - (\sec\theta+\tan\theta)(\sec\theta-\tan\theta)}{1-\sec\theta+\tan\theta} =(sec⁡θ+tan⁡θ)(1−sec⁡θ+tan⁡θ)1−sec⁡θ+tan⁡θ= \frac{(\sec\theta+\tan\theta)(1-\sec\theta+\tan\theta)}{1-\sec\theta+\tan\theta} =sec⁡θ+tan⁡θ= \sec\theta + \tan\theta =Q= \mathrm{Q} [দেওয়া আছে, Q=sec⁡θ+tan⁡θ\mathrm{Q} = \sec\theta+\tan\theta] ∴P=Q\therefore \mathrm{P} = \mathrm{Q} (দেখানো হলো)
গ
যদি Q=3\mathrm{Q} = \sqrt{3} এবং 0<θ<2π0 < \theta < 2\pi হয়, তবে θ\theta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, Q=sec⁡θ+tan⁡θ\mathrm{Q} = \sec\theta + \tan\theta শর্তমতে, Q=3\mathrm{Q} = \sqrt{3} বা, sec⁡θ+tan⁡θ=3\sec\theta + \tan\theta = \sqrt{3} বা, sec⁡θ=3−tan⁡θ\sec\theta = \sqrt{3} - \tan\theta বা, sec⁡2θ=(3−tan⁡θ)2\sec^2\theta = (\sqrt{3} - \tan\theta)^2 [বর্গ করে] বা, 1+tan⁡2θ=3−23tan⁡θ+tan⁡2θ1 + \tan^2\theta = 3 - 2\sqrt{3}\tan\theta + \tan^2\theta বা, 23tan⁡θ=3+tan⁡2θ−1−tan⁡2θ2\sqrt{3}\tan\theta = 3 + \tan^2\theta - 1 - \tan^2\theta বা, 23tan⁡θ=22\sqrt{3}\tan\theta = 2 বা, tan⁡θ=223\tan\theta = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} বা, tan⁡θ=13\tan\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} বা, tan⁡θ=tan⁡π6=tan⁡(π+π6)\tan\theta = \tan\dfrac{\pi}{6} = \tan\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) [∵0<θ<2π][\because 0 < \theta < 2\pi] বা, tan⁡θ=tan⁡π6=tan⁡7π6\tan\theta = \tan\dfrac{\pi}{6} = \tan\dfrac{7\pi}{6} ∴θ=π6,7π6\therefore \theta = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6} কিন্তু θ=7π6\theta = \dfrac{7\pi}{6} গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ θ=7π6\theta = \dfrac{7\pi}{6} এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না। ∴\therefore নির্ণেয় মান θ=π6\theta = \dfrac{\pi}{6}

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

P = a cos⁡θ\cos\theta এবং Q = b sin⁡θ\sin\theta।

Jessore · 2016

ক
P2a2+Q2b2\frac{\mathrm{P}^2}{\mathrm{a}^2} + \frac{\mathrm{Q}^2}{\mathrm{b}^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, P = a cos⁡θ\cos\theta এবং Q = b sin⁡θ\sin\theta প্রদত্ত রাশি =P2a2+Q2b2= \frac{\mathrm{P}^2}{\mathrm{a}^2} + \frac{\mathrm{Q}^2}{\mathrm{b}^2} =(acos⁡θ)2a2+(bsin⁡θ)2b2= \frac{(\mathrm{a}\cos\theta)^2}{\mathrm{a}^2} + \frac{(\mathrm{b}\sin\theta)^2}{\mathrm{b}^2} =a2cos⁡2θa2+b2sin⁡2θb2= \frac{\mathrm{a}^2\cos^2\theta}{\mathrm{a}^2} + \frac{\mathrm{b}^2\sin^2\theta}{\mathrm{b}^2} =cos⁡2θ+sin⁡2θ= \cos^2\theta + \sin^2\theta =1= 1 (Ans.)
খ
P−Q=c\mathrm{P} - \mathrm{Q} = \mathrm{c} হলে, প্রমাণ কর যে, asin⁡θ+bcos⁡θ=±a2+b2−c2\mathrm{a}\sin\theta + \mathrm{b}\cos\theta = \pm\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2}.

উত্তর

দেওয়া আছে, P - Q = c বা, a cos⁡θ−bsin⁡θ=c[\cos\theta - b \sin\theta = c [বর্গ করে] বা, (acos⁡θ−bsin⁡θ)2=c2(\mathrm{a}\cos\theta - \mathrm{b}\sin\theta)^2 = \mathrm{c}^2 বা, a2cos⁡2θ−2acos⁡θ.bsin⁡θ+b2sin⁡2θ=c2\mathrm{a}^2\cos^2\theta - 2\mathrm{a}\cos\theta.\mathrm{b}\sin\theta + \mathrm{b}^2\sin^2\theta = \mathrm{c}^2 বা, a2(1−sin⁡2θ)−2abcos⁡θsin⁡θ+b2(1−cos⁡2θ)=c2\mathrm{a}^2(1-\sin^2\theta) - 2\mathrm{ab}\cos\theta\sin\theta + \mathrm{b}^2(1-\cos^2\theta) = \mathrm{c}^2 বা, a2−a2sin⁡2θ−2abcos⁡θsin⁡θ+b2−b2cos⁡2θ=c2\mathrm{a}^2 - \mathrm{a}^2\sin^2\theta - 2\mathrm{ab}\cos\theta\sin\theta + \mathrm{b}^2 - \mathrm{b}^2\cos^2\theta = \mathrm{c}^2 বা, a2+b2−c2=a2sin⁡2θ+2asin⁡θ.bcos⁡θ+b2cos⁡2θ\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2 = \mathrm{a}^2\sin^2\theta + 2\mathrm{a}\sin\theta.\mathrm{b}\cos\theta + \mathrm{b}^2\cos^2\theta বা, a2+b2−c2=(asin⁡θ+bcos⁡θ)2\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2 = (\mathrm{a}\sin\theta+\mathrm{b}\cos\theta)^2 বা, (asin⁡θ+bcos⁡θ)2=a2+b2−c2(\mathrm{a}\sin\theta+\mathrm{b}\cos\theta)^2 = \mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2 ∴asin⁡θ+bcos⁡θ=±a2+b2−c2\therefore \mathrm{a}\sin\theta + \mathrm{b}\cos\theta = \pm\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2} (প্রমাণিত)
গ
a2=3\mathrm{a}^2 = 3, b2=7\mathrm{b}^2 = 7 এবং Q2+P2=4\mathrm{Q}^2 + \mathrm{P}^2 = 4 হলে, প্রমাণ কর যে, tan⁡θ=±13\tan\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}.

উত্তর

দেওয়া আছে, a2=3\mathrm{a}^2 = 3, b2=7\mathrm{b}^2 = 7 এবং Q2+P2=4\mathrm{Q}^2 + \mathrm{P}^2 = 4 এখন, Q2+P2=4\mathrm{Q}^2 + \mathrm{P}^2 = 4 বা, b2sin⁡2θ+a2cos⁡2θ=4\mathrm{b}^2\sin^2\theta + \mathrm{a}^2\cos^2\theta = 4 [দেওয়া আছে] বা, 7sin⁡2θ+3cos⁡2θ=47\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 4 [a2\mathrm{a}^2 ও b2\mathrm{b}^2 এর মান বসিয়ে] বা, 7(1−cos⁡2θ)+3cos⁡2θ=47(1-\cos^2\theta) + 3\cos^2\theta = 4, 7−7cos⁡2θ+3cos⁡2θ=47 - 7\cos^2\theta + 3\cos^2\theta = 4 বা, 4cos⁡2θ=34\cos^2\theta = 3 বা, cos⁡2θ=34\cos^2\theta = \frac{3}{4} বা, 1sec⁡2θ=34\frac{1}{\sec^2\theta} = \frac{3}{4} বা, sec⁡2θ=43\sec^2\theta = \frac{4}{3} বা, 1+tan⁡2θ=431+\tan^2\theta = \frac{4}{3} বা, tan⁡2θ=43−1\tan^2\theta = \frac{4}{3}-1 বা, tan⁡2θ=4−33\tan^2\theta = \frac{4-3}{3} বা, tan⁡2θ=13\tan^2\theta = \frac{1}{3} ∴tan⁡θ=±13\therefore \tan\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো
SSC উচ্চতর গণিত — অধ্যায়-৮ : ত্রিকোণমিতি MCQ | Prosthuti