Chapter 3: গাণিতিক প্রত্যাশা Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 3: গাণিতিক প্রত্যাশা অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২০৮

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx-এর সম্ভাবনা অপেক্ষক নিম্নরূপ: P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6P(x)=\frac{3-|4-x|}{9} ; x=2,3,4,5,6.

Jessore · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
দৈব চলকের ভেদাঙ্ক সর্বদাই ধনাত্মক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: কোনো দৈব চলকের মানসমূহ হতে এর প্রত্যাশিত মানের ব্যবধানের বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশাকে ঐ দৈব চলকের ভেদাঙ্ক বলে। অর্থাৎ, কোনো দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা E(x)E(x) হলে, xx এর -ভেদাঙ্ক হবে, V(x)=E{x−E(x)}2V(x)=E\{x-E(x)\}^2 আমরা জানি, বর্গ সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং, E{x−E(x)}2>0\mathrm{E}\{\mathrm{x}-\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2>0 ∴ V(x)>0\therefore \mathrm{~V}(\mathrm{x})>0 অতএব, দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপক হতে P(3<x≤5)P(3<x \leq 5) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা আপেক্ষক, P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{3-|4-\mathrm{x}|}{9} ; \mathrm{x}=2,3,4,5,6. ∴\therefore দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image ∴P(3<x≤5)\therefore \mathrm{P}(3<\mathrm{x} \leq 5) =P(x=4)+P(x=5)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5) =39+29=3+29=59=\frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{3+2}{9}=\frac{5}{9} সুতরাং, P(3<x≤5)=59P(3<x \leq 5)=\frac{5}{9}
ঘ
যদি y=(3x+5)y = (3x + 5) হয়, তবে V(x)V(x) এবং V(y)V(y) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা সারণি ব্যবহার করে, আমরা জানি, V(x)=E(x2)−{E(x)}2\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2 এখন, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(2×19)+(3×29)+(4×39)+=\left(2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4 \times \frac{3}{9}\right)+ (5×29)+(6×19)\left(5 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6 \times \frac{1}{9}\right) =29+69+129+109+69=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}+\frac{12}{9}+\frac{10}{9}+\frac{6}{9} =2+6+12+10+69=369=4=\frac{2+6+12+10+6}{9}=\frac{36}{9}=4 এবং E(x2)=Σx2⋅P(x)E\left(x^2\right) =\Sigma x^2 \cdot P(x) =(22×19)+(32×29)+(42×39)=\left(2^2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4^2 \times \frac{3}{9}\right) +(52×29)+(62×19)+\left(5^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6^2 \times \frac{1}{9}\right) =49+189+489+509+369=\frac{4}{9}+\frac{18}{9}+\frac{48}{9}+\frac{50}{9}+\frac{36}{9} =4+18+48+50+369=1569=17.33=\frac{4+18+48+50+36}{9}=\frac{156}{9}=17.33 সুতরাৎ, V(x)=E(x2)−{E(x)}2V(x) =E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =17.33−(4)2=17.33-(4)^2 =17.33−16=1.33=17.33-16=1.33 দেওয়া আছে, y=3x+5\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+5 ∴V(y)=V(3x+5)\therefore V(y) =V(3 x+5) =V(3x)+V(5)=V(3 x)+V(5) =32V(x)+0=3^2 V(x)+0 =9V(x)=9×1.33=11.97=9 V(x)=9 \times 1.33=11.97 ∵V(a)=0\because V(a)=0 বা, V(ax)=a2V(x)V(a x)=a^2 V(x) এবং V(x)=1.33V(x)=1.33 এখানে, V(x)=1.33V(x)=1.33 এবং V(y)=11.97V(y)=11.97 সুতরাং, V(x)<V(y)V(x)<V(y).

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx-এর সম্ভাবনা অপেক্ষক নিম্নরূপ: P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6P(x)=\frac{3-|4-x|}{9} ; x=2,3,4,5,6.

Jessore · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
দৈব চলকের ভেদাঙ্ক সর্বদাই ধনাত্মক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: কোনো দৈব চলকের মানসমূহ হতে এর প্রত্যাশিত মানের ব্যবধানের বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশাকে ঐ দৈব চলকের ভেদাঙ্ক বলে। অর্থাৎ, কোনো দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা E(x)E(x) হলে, xx এর -ভেদাঙ্ক হবে, V(x)=E{x−E(x)}2V(x)=E\{x-E(x)\}^2 আমরা জানি, বর্গ সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং, E{x−E(x)}2>0\mathrm{E}\{\mathrm{x}-\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2>0 ∴ V(x)>0\therefore \mathrm{~V}(\mathrm{x})>0 অতএব, দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপক হতে P(3<x≤5)P(3<x \leq 5) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা আপেক্ষক, P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{3-|4-\mathrm{x}|}{9} ; \mathrm{x}=2,3,4,5,6. ∴\therefore দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image ∴P(3<x≤5)\therefore \mathrm{P}(3<\mathrm{x} \leq 5) =P(x=4)+P(x=5)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5) =39+29=3+29=59=\frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{3+2}{9}=\frac{5}{9} সুতরাং, P(3<x≤5)=59P(3<x \leq 5)=\frac{5}{9}
ঘ
যদি y=(3x+5)y = (3x + 5) হয়, তবে V(x)V(x) এবং V(y)V(y) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা সারণি ব্যবহার করে, আমরা জানি, V(x)=E(x2)−{E(x)}2\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2 এখন, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(2×19)+(3×29)+(4×39)+=\left(2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4 \times \frac{3}{9}\right)+ (5×29)+(6×19)\left(5 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6 \times \frac{1}{9}\right) =29+69+129+109+69=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}+\frac{12}{9}+\frac{10}{9}+\frac{6}{9} =2+6+12+10+69=369=4=\frac{2+6+12+10+6}{9}=\frac{36}{9}=4 এবং E(x2)=Σx2⋅P(x)E\left(x^2\right) =\Sigma x^2 \cdot P(x) =(22×19)+(32×29)+(42×39)=\left(2^2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4^2 \times \frac{3}{9}\right) +(52×29)+(62×19)+\left(5^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6^2 \times \frac{1}{9}\right) =49+189+489+509+369=\frac{4}{9}+\frac{18}{9}+\frac{48}{9}+\frac{50}{9}+\frac{36}{9} =4+18+48+50+369=1569=17.33=\frac{4+18+48+50+36}{9}=\frac{156}{9}=17.33 সুতরাৎ, V(x)=E(x2)−{E(x)}2V(x) =E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =17.33−(4)2=17.33-(4)^2 =17.33−16=1.33=17.33-16=1.33 দেওয়া আছে, y=3x+5\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+5 ∴V(y)=V(3x+5)\therefore V(y) =V(3 x+5) =V(3x)+V(5)=V(3 x)+V(5) =32V(x)+0=3^2 V(x)+0 =9V(x)=9×1.33=11.97=9 V(x)=9 \times 1.33=11.97 ∵V(a)=0\because V(a)=0 বা, V(ax)=a2V(x)V(a x)=a^2 V(x) এবং V(x)=1.33V(x)=1.33 এখানে, V(x)=1.33V(x)=1.33 এবং V(y)=11.97V(y)=11.97 সুতরাং, V(x)<V(y)V(x)<V(y).

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ঔষধ কোম্পানির মার্কেট এনালিস্ট ফিল্ড পর্যবেক্ষণ করে নিম্নোক্ত তথ্য সংগ্রহ করেন: question image

Dhaka · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
E(x2)E\left(x^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক-- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)=\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) যেহেতু বর্গসংখ্যা এবং সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে. না। সুতরাং, x2x^2 এবং P(x)P(x) এর মান ঋণাত্মক হয় না। অতএব, Σx2P(x)\Sigma \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ঋণাত্মক হয় না। অর্থাৎ, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) ঋণাত্মক হয় না। অতএব, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপকের তথ্যের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে দেওয়া আছে, question image আমরা জানি, ∑x=−34P(x)=1\sum_{x=-3}^4 P(x)=1 বা, 0.05+0.10+0.20+K+0.30=10.05+0.10+0.20+K+0.30=1 বা, 0.65+K=10.65+K=1 বা, K=1−0.65K=1-0.65 ∴K=0.35\therefore K=0.35 এখন, KK এর মান প্রদত্ত সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, question image. আমরা জানি, গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =(−3×0.05)+(−2×0.10)+(1×0.20)+=(-3 \times 0.05)+(-2 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+ (3×0.35)+(4×0.30)(3 \times 0.35)+(4 \times 0.30) =−0.15−0.20+0.20+1.05+1.20=-0.15-0.20+0.20+1.05+1.20 =−0.35+2.45=2.10=-0.35+2.45=2.10
ঘ
E(5x3+10)E(5x^ 3 + 10) এবং V(5x+10)V(5x + 10) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, E(x)=2.10\mathrm{E}(\mathrm{x})=2.10 এখন, E(x2)=∑x2.P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)= \sum \mathrm{x}^2 . \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)2×0.05}+{(−2)2×10.10}+{(1)2= \left\{(-3)^2 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^2 \times 10.10\right\}+\left\{(1)^2\right. ×0.20}+{(3)2×0.35}+{(4)2×0.30}\times 0.20\}+\left\{(3)^2 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^2 \times 0.30\right\} =(9×0.05)+(4×0.10)+1×0.20)+(9×0.35)+(16×0.30)= (9 \times 0.05)+(4 \times 0.10)+1 \times 0.20)+(9 \times 0.35)+(16 \times 0.30) =0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9= 0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9 E(x3)=∑x3⋅P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)= \sum \mathrm{x}^3 \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)3×0.05}+{(−2)3×0.10}+{(1)3×0.20}= \left\{(-3)^3 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^3 \times 0.10\right\}+\left\{(1)^3 \times 0.20\right\} +{(3)3×0.35}+{(4)3×0.30}+\left\{(3)^3 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^3 \times 0.30\right\} =(−27×0.05)+(−8×0.10)+(1×0.20)+(27×0.35)+(64×0.30)= (-27 \times 0.05)+(-8 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+(27 \times 0.35)+(64 \times 0.30) =−1.35−0.80+0.20+9.45+19.2=26.7= -1.35-0.80+0.20+9.45+19.2=26.7 আমরা জানি, V(x)\mathrm{V}(\mathrm{x}) =E(x2)−{E(x)}2=E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =9−(2.10)2=9-(2.10)^2 =9−4.41=4.59=9-4.41=4.59 এখন, E(5x3+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right) =E(5x3)+E(10)!=\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3\right)+\mathrm{E}(10)^{!} =5E(x3)+10=5 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)+10 =5×26.7+10=5 \times 26.7+10 =133.5+10=143.5=133.5+10=143.5 এবং V(5x+10)\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10) =V(5x)+V(10)=V(5 x)+V(10) =52V(x)+0[∵V(x)=4.59=5^2 V(x)+0[\because V(x)=4.59 এবং V(a)=0]V(a)=0] =25×4.59+0=114.75=25 \times 4.59+0=114.75 সুতরাং, E(5x3+10)=143.5E\left(5 x^3+10\right)=143.5 এবং V(5x+1)=114.75V(5 x+1)=114.75 অতএব, E(5x3+10)>V(5x+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right)>\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ঔষধ কোম্পানির মার্কেট এনালিস্ট ফিল্ড পর্যবেক্ষণ করে নিম্নোক্ত তথ্য সংগ্রহ করেন: question image

Dhaka · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
E(x2)E\left(x^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক-- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)=\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) যেহেতু বর্গসংখ্যা এবং সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে. না। সুতরাং, x2x^2 এবং P(x)P(x) এর মান ঋণাত্মক হয় না। অতএব, Σx2P(x)\Sigma \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ঋণাত্মক হয় না। অর্থাৎ, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) ঋণাত্মক হয় না। অতএব, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপকের তথ্যের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে দেওয়া আছে, question image আমরা জানি, ∑x=−34P(x)=1\sum_{x=-3}^4 P(x)=1 বা, 0.05+0.10+0.20+K+0.30=10.05+0.10+0.20+K+0.30=1 বা, 0.65+K=10.65+K=1 বা, K=1−0.65K=1-0.65 ∴K=0.35\therefore K=0.35 এখন, KK এর মান প্রদত্ত সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, question image. আমরা জানি, গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =(−3×0.05)+(−2×0.10)+(1×0.20)+=(-3 \times 0.05)+(-2 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+ (3×0.35)+(4×0.30)(3 \times 0.35)+(4 \times 0.30) =−0.15−0.20+0.20+1.05+1.20=-0.15-0.20+0.20+1.05+1.20 =−0.35+2.45=2.10=-0.35+2.45=2.10
ঘ
E(5x3+10)E(5x^ 3 + 10) এবং V(5x+10)V(5x + 10) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, E(x)=2.10\mathrm{E}(\mathrm{x})=2.10 এখন, E(x2)=∑x2.P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)= \sum \mathrm{x}^2 . \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)2×0.05}+{(−2)2×10.10}+{(1)2= \left\{(-3)^2 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^2 \times 10.10\right\}+\left\{(1)^2\right. ×0.20}+{(3)2×0.35}+{(4)2×0.30}\times 0.20\}+\left\{(3)^2 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^2 \times 0.30\right\} =(9×0.05)+(4×0.10)+1×0.20)+(9×0.35)+(16×0.30)= (9 \times 0.05)+(4 \times 0.10)+1 \times 0.20)+(9 \times 0.35)+(16 \times 0.30) =0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9= 0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9 E(x3)=∑x3⋅P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)= \sum \mathrm{x}^3 \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)3×0.05}+{(−2)3×0.10}+{(1)3×0.20}= \left\{(-3)^3 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^3 \times 0.10\right\}+\left\{(1)^3 \times 0.20\right\} +{(3)3×0.35}+{(4)3×0.30}+\left\{(3)^3 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^3 \times 0.30\right\} =(−27×0.05)+(−8×0.10)+(1×0.20)+(27×0.35)+(64×0.30)= (-27 \times 0.05)+(-8 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+(27 \times 0.35)+(64 \times 0.30) =−1.35−0.80+0.20+9.45+19.2=26.7= -1.35-0.80+0.20+9.45+19.2=26.7 আমরা জানি, V(x)\mathrm{V}(\mathrm{x}) =E(x2)−{E(x)}2=E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =9−(2.10)2=9-(2.10)^2 =9−4.41=4.59=9-4.41=4.59 এখন, E(5x3+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right) =E(5x3)+E(10)!=\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3\right)+\mathrm{E}(10)^{!} =5E(x3)+10=5 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)+10 =5×26.7+10=5 \times 26.7+10 =133.5+10=143.5=133.5+10=143.5 এবং V(5x+10)\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10) =V(5x)+V(10)=V(5 x)+V(10) =52V(x)+0[∵V(x)=4.59=5^2 V(x)+0[\because V(x)=4.59 এবং V(a)=0]V(a)=0] =25×4.59+0=114.75=25 \times 4.59+0=114.75 সুতরাং, E(5x3+10)=143.5E\left(5 x^3+10\right)=143.5 এবং V(5x+1)=114.75V(5 x+1)=114.75 অতএব, E(5x3+10)>V(5x+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right)>\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx-এর সম্ভাবনা অপেক্ষক নিম্নরূপ: P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6P(x)=\frac{3-|4-x|}{9} ; x=2,3,4,5,6.

Jessore · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
দৈব চলকের ভেদাঙ্ক সর্বদাই ধনাত্মক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: কোনো দৈব চলকের মানসমূহ হতে এর প্রত্যাশিত মানের ব্যবধানের বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশাকে ঐ দৈব চলকের ভেদাঙ্ক বলে। অর্থাৎ, কোনো দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা E(x)E(x) হলে, xx এর -ভেদাঙ্ক হবে, V(x)=E{x−E(x)}2V(x)=E\{x-E(x)\}^2 আমরা জানি, বর্গ সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং, E{x−E(x)}2>0\mathrm{E}\{\mathrm{x}-\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2>0 ∴ V(x)>0\therefore \mathrm{~V}(\mathrm{x})>0 অতএব, দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপক হতে P(3<x≤5)P(3<x \leq 5) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা আপেক্ষক, P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{3-|4-\mathrm{x}|}{9} ; \mathrm{x}=2,3,4,5,6. ∴\therefore দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image ∴P(3<x≤5)\therefore \mathrm{P}(3<\mathrm{x} \leq 5) =P(x=4)+P(x=5)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5) =39+29=3+29=59=\frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{3+2}{9}=\frac{5}{9} সুতরাং, P(3<x≤5)=59P(3<x \leq 5)=\frac{5}{9}
ঘ
যদি y=(3x+5)y = (3x + 5) হয়, তবে V(x)V(x) এবং V(y)V(y) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা সারণি ব্যবহার করে, আমরা জানি, V(x)=E(x2)−{E(x)}2\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2 এখন, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(2×19)+(3×29)+(4×39)+=\left(2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4 \times \frac{3}{9}\right)+ (5×29)+(6×19)\left(5 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6 \times \frac{1}{9}\right) =29+69+129+109+69=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}+\frac{12}{9}+\frac{10}{9}+\frac{6}{9} =2+6+12+10+69=369=4=\frac{2+6+12+10+6}{9}=\frac{36}{9}=4 এবং E(x2)=Σx2⋅P(x)E\left(x^2\right) =\Sigma x^2 \cdot P(x) =(22×19)+(32×29)+(42×39)=\left(2^2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4^2 \times \frac{3}{9}\right) +(52×29)+(62×19)+\left(5^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6^2 \times \frac{1}{9}\right) =49+189+489+509+369=\frac{4}{9}+\frac{18}{9}+\frac{48}{9}+\frac{50}{9}+\frac{36}{9} =4+18+48+50+369=1569=17.33=\frac{4+18+48+50+36}{9}=\frac{156}{9}=17.33 সুতরাৎ, V(x)=E(x2)−{E(x)}2V(x) =E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =17.33−(4)2=17.33-(4)^2 =17.33−16=1.33=17.33-16=1.33 দেওয়া আছে, y=3x+5\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+5 ∴V(y)=V(3x+5)\therefore V(y) =V(3 x+5) =V(3x)+V(5)=V(3 x)+V(5) =32V(x)+0=3^2 V(x)+0 =9V(x)=9×1.33=11.97=9 V(x)=9 \times 1.33=11.97 ∵V(a)=0\because V(a)=0 বা, V(ax)=a2V(x)V(a x)=a^2 V(x) এবং V(x)=1.33V(x)=1.33 এখানে, V(x)=1.33V(x)=1.33 এবং V(y)=11.97V(y)=11.97 সুতরাং, V(x)<V(y)V(x)<V(y).

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx-এর সম্ভাবনা অপেক্ষক নিম্নরূপ: P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6P(x)=\frac{3-|4-x|}{9} ; x=2,3,4,5,6.

Jessore · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
দৈব চলকের ভেদাঙ্ক সর্বদাই ধনাত্মক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: কোনো দৈব চলকের মানসমূহ হতে এর প্রত্যাশিত মানের ব্যবধানের বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশাকে ঐ দৈব চলকের ভেদাঙ্ক বলে। অর্থাৎ, কোনো দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা E(x)E(x) হলে, xx এর -ভেদাঙ্ক হবে, V(x)=E{x−E(x)}2V(x)=E\{x-E(x)\}^2 আমরা জানি, বর্গ সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং, E{x−E(x)}2>0\mathrm{E}\{\mathrm{x}-\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2>0 ∴ V(x)>0\therefore \mathrm{~V}(\mathrm{x})>0 অতএব, দৈব চলকের ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপক হতে P(3<x≤5)P(3<x \leq 5) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা আপেক্ষক, P(x)=3−∣4−x∣9;x=2,3,4,5,6\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{3-|4-\mathrm{x}|}{9} ; \mathrm{x}=2,3,4,5,6. ∴\therefore দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image ∴P(3<x≤5)\therefore \mathrm{P}(3<\mathrm{x} \leq 5) =P(x=4)+P(x=5)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5) =39+29=3+29=59=\frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{3+2}{9}=\frac{5}{9} সুতরাং, P(3<x≤5)=59P(3<x \leq 5)=\frac{5}{9}
ঘ
যদি y=(3x+5)y = (3x + 5) হয়, তবে V(x)V(x) এবং V(y)V(y) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা সারণি ব্যবহার করে, আমরা জানি, V(x)=E(x2)−{E(x)}2\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2 এখন, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(2×19)+(3×29)+(4×39)+=\left(2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4 \times \frac{3}{9}\right)+ (5×29)+(6×19)\left(5 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6 \times \frac{1}{9}\right) =29+69+129+109+69=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}+\frac{12}{9}+\frac{10}{9}+\frac{6}{9} =2+6+12+10+69=369=4=\frac{2+6+12+10+6}{9}=\frac{36}{9}=4 এবং E(x2)=Σx2⋅P(x)E\left(x^2\right) =\Sigma x^2 \cdot P(x) =(22×19)+(32×29)+(42×39)=\left(2^2 \times \frac{1}{9}\right)+\left(3^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(4^2 \times \frac{3}{9}\right) +(52×29)+(62×19)+\left(5^2 \times \frac{2}{9}\right)+\left(6^2 \times \frac{1}{9}\right) =49+189+489+509+369=\frac{4}{9}+\frac{18}{9}+\frac{48}{9}+\frac{50}{9}+\frac{36}{9} =4+18+48+50+369=1569=17.33=\frac{4+18+48+50+36}{9}=\frac{156}{9}=17.33 সুতরাৎ, V(x)=E(x2)−{E(x)}2V(x) =E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =17.33−(4)2=17.33-(4)^2 =17.33−16=1.33=17.33-16=1.33 দেওয়া আছে, y=3x+5\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+5 ∴V(y)=V(3x+5)\therefore V(y) =V(3 x+5) =V(3x)+V(5)=V(3 x)+V(5) =32V(x)+0=3^2 V(x)+0 =9V(x)=9×1.33=11.97=9 V(x)=9 \times 1.33=11.97 ∵V(a)=0\because V(a)=0 বা, V(ax)=a2V(x)V(a x)=a^2 V(x) এবং V(x)=1.33V(x)=1.33 এখানে, V(x)=1.33V(x)=1.33 এবং V(y)=11.97V(y)=11.97 সুতরাং, V(x)<V(y)V(x)<V(y).

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ঔষধ কোম্পানির মার্কেট এনালিস্ট ফিল্ড পর্যবেক্ষণ করে নিম্নোক্ত তথ্য সংগ্রহ করেন: question image

Dhaka · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
E(x2)E\left(x^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক-- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)=\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) যেহেতু বর্গসংখ্যা এবং সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে. না। সুতরাং, x2x^2 এবং P(x)P(x) এর মান ঋণাত্মক হয় না। অতএব, Σx2P(x)\Sigma \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ঋণাত্মক হয় না। অর্থাৎ, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) ঋণাত্মক হয় না। অতএব, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপকের তথ্যের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে দেওয়া আছে, question image আমরা জানি, ∑x=−34P(x)=1\sum_{x=-3}^4 P(x)=1 বা, 0.05+0.10+0.20+K+0.30=10.05+0.10+0.20+K+0.30=1 বা, 0.65+K=10.65+K=1 বা, K=1−0.65K=1-0.65 ∴K=0.35\therefore K=0.35 এখন, KK এর মান প্রদত্ত সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, question image. আমরা জানি, গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =(−3×0.05)+(−2×0.10)+(1×0.20)+=(-3 \times 0.05)+(-2 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+ (3×0.35)+(4×0.30)(3 \times 0.35)+(4 \times 0.30) =−0.15−0.20+0.20+1.05+1.20=-0.15-0.20+0.20+1.05+1.20 =−0.35+2.45=2.10=-0.35+2.45=2.10
ঘ
E(5x3+10)E(5x^ 3 + 10) এবং V(5x+10)V(5x + 10) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, E(x)=2.10\mathrm{E}(\mathrm{x})=2.10 এখন, E(x2)=∑x2.P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)= \sum \mathrm{x}^2 . \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)2×0.05}+{(−2)2×10.10}+{(1)2= \left\{(-3)^2 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^2 \times 10.10\right\}+\left\{(1)^2\right. ×0.20}+{(3)2×0.35}+{(4)2×0.30}\times 0.20\}+\left\{(3)^2 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^2 \times 0.30\right\} =(9×0.05)+(4×0.10)+1×0.20)+(9×0.35)+(16×0.30)= (9 \times 0.05)+(4 \times 0.10)+1 \times 0.20)+(9 \times 0.35)+(16 \times 0.30) =0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9= 0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9 E(x3)=∑x3⋅P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)= \sum \mathrm{x}^3 \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)3×0.05}+{(−2)3×0.10}+{(1)3×0.20}= \left\{(-3)^3 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^3 \times 0.10\right\}+\left\{(1)^3 \times 0.20\right\} +{(3)3×0.35}+{(4)3×0.30}+\left\{(3)^3 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^3 \times 0.30\right\} =(−27×0.05)+(−8×0.10)+(1×0.20)+(27×0.35)+(64×0.30)= (-27 \times 0.05)+(-8 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+(27 \times 0.35)+(64 \times 0.30) =−1.35−0.80+0.20+9.45+19.2=26.7= -1.35-0.80+0.20+9.45+19.2=26.7 আমরা জানি, V(x)\mathrm{V}(\mathrm{x}) =E(x2)−{E(x)}2=E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =9−(2.10)2=9-(2.10)^2 =9−4.41=4.59=9-4.41=4.59 এখন, E(5x3+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right) =E(5x3)+E(10)!=\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3\right)+\mathrm{E}(10)^{!} =5E(x3)+10=5 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)+10 =5×26.7+10=5 \times 26.7+10 =133.5+10=143.5=133.5+10=143.5 এবং V(5x+10)\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10) =V(5x)+V(10)=V(5 x)+V(10) =52V(x)+0[∵V(x)=4.59=5^2 V(x)+0[\because V(x)=4.59 এবং V(a)=0]V(a)=0] =25×4.59+0=114.75=25 \times 4.59+0=114.75 সুতরাং, E(5x3+10)=143.5E\left(5 x^3+10\right)=143.5 এবং V(5x+1)=114.75V(5 x+1)=114.75 অতএব, E(5x3+10)>V(5x+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right)>\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ঔষধ কোম্পানির মার্কেট এনালিস্ট ফিল্ড পর্যবেক্ষণ করে নিম্নোক্ত তথ্য সংগ্রহ করেন: question image

Dhaka · 2025

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
খ
E(x2)E\left(x^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক-- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)=\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) যেহেতু বর্গসংখ্যা এবং সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে. না। সুতরাং, x2x^2 এবং P(x)P(x) এর মান ঋণাত্মক হয় না। অতএব, Σx2P(x)\Sigma \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ঋণাত্মক হয় না। অর্থাৎ, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) ঋণাত্মক হয় না। অতএব, E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। E(x2)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
গ
উদ্দীপকের তথ্যের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে দেওয়া আছে, question image আমরা জানি, ∑x=−34P(x)=1\sum_{x=-3}^4 P(x)=1 বা, 0.05+0.10+0.20+K+0.30=10.05+0.10+0.20+K+0.30=1 বা, 0.65+K=10.65+K=1 বা, K=1−0.65K=1-0.65 ∴K=0.35\therefore K=0.35 এখন, KK এর মান প্রদত্ত সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, question image. আমরা জানি, গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =(−3×0.05)+(−2×0.10)+(1×0.20)+=(-3 \times 0.05)+(-2 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+ (3×0.35)+(4×0.30)(3 \times 0.35)+(4 \times 0.30) =−0.15−0.20+0.20+1.05+1.20=-0.15-0.20+0.20+1.05+1.20 =−0.35+2.45=2.10=-0.35+2.45=2.10
ঘ
E(5x3+10)E(5x^ 3 + 10) এবং V(5x+10)V(5x + 10) এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, E(x)=2.10\mathrm{E}(\mathrm{x})=2.10 এখন, E(x2)=∑x2.P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)= \sum \mathrm{x}^2 . \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)2×0.05}+{(−2)2×10.10}+{(1)2= \left\{(-3)^2 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^2 \times 10.10\right\}+\left\{(1)^2\right. ×0.20}+{(3)2×0.35}+{(4)2×0.30}\times 0.20\}+\left\{(3)^2 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^2 \times 0.30\right\} =(9×0.05)+(4×0.10)+1×0.20)+(9×0.35)+(16×0.30)= (9 \times 0.05)+(4 \times 0.10)+1 \times 0.20)+(9 \times 0.35)+(16 \times 0.30) =0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9= 0.45+0.40+0.20+3.15+4.8=9 E(x3)=∑x3⋅P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)= \sum \mathrm{x}^3 \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−3)3×0.05}+{(−2)3×0.10}+{(1)3×0.20}= \left\{(-3)^3 \times 0.05\right\}+\left\{(-2)^3 \times 0.10\right\}+\left\{(1)^3 \times 0.20\right\} +{(3)3×0.35}+{(4)3×0.30}+\left\{(3)^3 \times 0.35\right\}+\left\{(4)^3 \times 0.30\right\} =(−27×0.05)+(−8×0.10)+(1×0.20)+(27×0.35)+(64×0.30)= (-27 \times 0.05)+(-8 \times 0.10)+(1 \times 0.20)+(27 \times 0.35)+(64 \times 0.30) =−1.35−0.80+0.20+9.45+19.2=26.7= -1.35-0.80+0.20+9.45+19.2=26.7 আমরা জানি, V(x)\mathrm{V}(\mathrm{x}) =E(x2)−{E(x)}2=E\left(x^2\right)-\{E(x)\}^2 =9−(2.10)2=9-(2.10)^2 =9−4.41=4.59=9-4.41=4.59 এখন, E(5x3+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right) =E(5x3)+E(10)!=\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3\right)+\mathrm{E}(10)^{!} =5E(x3)+10=5 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^3\right)+10 =5×26.7+10=5 \times 26.7+10 =133.5+10=143.5=133.5+10=143.5 এবং V(5x+10)\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10) =V(5x)+V(10)=V(5 x)+V(10) =52V(x)+0[∵V(x)=4.59=5^2 V(x)+0[\because V(x)=4.59 এবং V(a)=0]V(a)=0] =25×4.59+0=114.75=25 \times 4.59+0=114.75 সুতরাং, E(5x3+10)=143.5E\left(5 x^3+10\right)=143.5 এবং V(5x+1)=114.75V(5 x+1)=114.75 অতএব, E(5x3+10)>V(5x+10)\mathrm{E}\left(5 \mathrm{x}^3+10\right)>\mathrm{V}(5 \mathrm{x}+10)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি দোকানে নকিয়া ও সিম্ফোনি কোম্পানি দুটির মোবাইল সেটের চাহিদা সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ : নকিয়া চাহিদা 0 1 2 3 4 সম্ভাবনা 0.1 0.4 C 0.15 0.1 সিম্ফোনি চাহিদা 0 1 2 3 4 সম্ভাবনা 0.9 0.45 0.32 0.11 0.03

Dhaka · 2017

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কী?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মানের সাথে নিজ নিজ সম্ভাবনা গুণ করে গুণফলের সমষ্টি নির্ণয় করলে প্রাপ্ত মানই ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা।
খ
দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না। কোনো দৈব চলকের মানগুলো হতে তার গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানের বর্গমূলকে ঐ দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান বলে। অর্থাৎ, দৈব চলক x এর পরিমিত ব্যবধান, σ=V(x)=E{x−E(x)}2\sigma=\sqrt{V(x)}=\sqrt{E\{x-E(x)\}^2} যেহেতু বর্গসংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না কাজেই, σ≥0\sigma \geq 0 সুতরাং দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না।
গ
নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

আমরা জানি, সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল এক। ধরি, নকিয়া কোম্পানির বিন্যাসটি একটি সম্ভাবনা বিন্যাস। ∴∑P(x)=1\therefore \quad \sum \mathrm{P}(\mathrm{x})=1 বা, 0.1+0.4+C+0.15+0.1=10.1+0.4+C+0.15+0.1=1 বা, C=1−0.1−0.4−0.15−0.1\mathrm{C}=1-0.1-0.4-0.15-0.1 ∴C=0.25\therefore \quad \mathrm{C}=0.25 ∴\therefore নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান 0.25।
ঘ
প্রয়োজনীয় পরিমাপ নির্ণয়পূর্বক কোন কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি তোমার মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, দৈব চলক x : নকিয়া মোবাইলের চাহিদা এবং দৈব চলক y : সিম্ফোনি মোবাইলের চাহিদা । নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =0×0.1+1×0.4+2×0.25+3×0.15+4×0.1=2.39=0 \times 0.1+1 \times 0.4+2 \times 0.25+3 \times 0.15+4 \times 0.1=2.39 সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(y)=∑yP(y)\mathrm{E}(\mathrm{y}) =\sum \mathrm{y} P(\mathrm{y}) =0×0.09+1×0.45+2×0.32+3×0.11+4×0.03=0 \times 0.09+1 \times 0.45+2 \times 0.32+3 \times 0.11+4 \times 0.03 = 1.54 যেহেতু নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা অপেক্ষা বেশি। সুতরাং নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি 1

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি দোকানে নকিয়া ও সিম্ফোনি কোম্পানি দুটির মোবাইল সেটের চাহিদা সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ : নকিয়া চাহিদা 0 1 2 3 4 সম্ভাবনা 0.1 0.4 C 0.15 0.1 সিম্ফোনি চাহিদা 0 1 2 3 4 সম্ভাবনা 0.9 0.45 0.32 0.11 0.03

Dhaka · 2017

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কী?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মানের সাথে নিজ নিজ সম্ভাবনা গুণ করে গুণফলের সমষ্টি নির্ণয় করলে প্রাপ্ত মানই ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা।
খ
দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না। কোনো দৈব চলকের মানগুলো হতে তার গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানের বর্গমূলকে ঐ দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান বলে। অর্থাৎ, দৈব চলক x এর পরিমিত ব্যবধান, σ=V(x)=E{x−E(x)}2\sigma=\sqrt{V(x)}=\sqrt{E\{x-E(x)\}^2} যেহেতু বর্গসংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না কাজেই, σ≥0\sigma \geq 0 সুতরাং দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না।
গ
নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

আমরা জানি, সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল এক। ধরি, নকিয়া কোম্পানির বিন্যাসটি একটি সম্ভাবনা বিন্যাস। ∴∑P(x)=1\therefore \quad \sum \mathrm{P}(\mathrm{x})=1 বা, 0.1+0.4+C+0.15+0.1=10.1+0.4+C+0.15+0.1=1 বা, C=1−0.1−0.4−0.15−0.1\mathrm{C}=1-0.1-0.4-0.15-0.1 ∴C=0.25\therefore \quad \mathrm{C}=0.25 ∴\therefore নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান 0.25।
ঘ
প্রয়োজনীয় পরিমাপ নির্ণয়পূর্বক কোন কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি তোমার মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, দৈব চলক x : নকিয়া মোবাইলের চাহিদা এবং দৈব চলক y : সিম্ফোনি মোবাইলের চাহিদা । নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =0×0.1+1×0.4+2×0.25+3×0.15+4×0.1=2.39=0 \times 0.1+1 \times 0.4+2 \times 0.25+3 \times 0.15+4 \times 0.1=2.39 সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(y)=∑yP(y)\mathrm{E}(\mathrm{y}) =\sum \mathrm{y} P(\mathrm{y}) =0×0.09+1×0.45+2×0.32+3×0.11+4×0.03=0 \times 0.09+1 \times 0.45+2 \times 0.32+3 \times 0.11+4 \times 0.03 = 1.54 যেহেতু নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা অপেক্ষা বেশি। সুতরাং নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি 1

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x-এর সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নে দেওয়া হলো : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

Rajshahi · 2018

ক
দৈবচলকের ভেদাঙ্ক কী?

উত্তর

একটি দৈব চলকের মান ও এর গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানই হলো এর ভেদাঙ্ক।
খ
দৈবচলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই— ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা দৈব চলকের গাণিতিক গড় পরিমাপ করা হয়। অর্থাৎ E(x)=xˉE(x)=\bar{x} মনে করি, x বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের x1,x2,……,xn\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}} মানগুলোর গণসংখ্যা যথাক্রমে f1,f2,….,fnf_1, f_2, \ldots ., f_n যেখানে f1+f2+……+fN=Nf_1+f_2+\ldots \ldots+f_{\mathrm{N}}=\mathrm{N} এখন, x চলকের গাণিতিক গড়, x‾=∑i=1nfixiN\overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_i \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}} আবার, x চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা যথাক্রমে, P(x1)=f1 N,P(x2)=f2 N,…………,P(xn)=fnN\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)=\frac{f_1}{\mathrm{~N}}, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)=\frac{f_2}{\mathrm{~N}}, \ldots \ldots \ldots \ldots, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}} অতএব, x চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=x1P(x1)+x2P(x2)+x3P(x3)+……+xnP(xn)=x1f1 N+x2f2 N+x3f3 N+…+xnfnN=1 N[f1x1+f2x2+….+fnxn]∑i=1nfixi=1 N=x‾\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{x})= & \mathrm{x}_1 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)+\mathrm{x}_2 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)+\mathrm{x}_3 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_3\right)+\ldots \ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \\ = & \mathrm{x}_1 \frac{f_1}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_2 \frac{f_2}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_3 \frac{f_3}{\mathrm{~N}}+\ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}=\frac{1}{\mathrm{~N}}\left[f_1 \mathrm{x}_1+f_2 \mathrm{x}_2+\ldots .+f_{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right] \\ & \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~N}}=\overline{\mathrm{x}}\end{aligned} সুতরাং দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি।
গ
দৈবচলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, দৈব চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাস : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 আমরা জানি, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(−4×0.1)+(−2×0.2)+(0×0.4)+(2×0.2)+(4×0.1)=(-4 \times 0.1)+(-2 \times 0.2)+(0 \times 0.4) +(2 \times 0.2)+(4 \times 0.1) =−0.4−0.4+0+0.4+0.4=0=-0.4-0.4+0+0.4+0.4=0 সুতরাং, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=0\mathrm{E}(\mathrm{x})=0 ।
ঘ
যদি y = 2x + 3 এবং z = 2x + 5 হয় তবে V(y) এবং V(z) এর মান সমান কি-না- বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 ∴E(y)=E(2x)+E(3)\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{y}) =\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(3) =2E(x)+3=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+3 =2×0+3=2 \times 0+3['ক' হতে পাই, E(x)=0]\mathrm{E}(\mathrm{x})=0] = 3 আবার, y=2x+3y=2 x+3 ∴y2=(2x+3)2\therefore \quad y^2=(2 x+3)^2 বা, y2=(2x)2+2⋅2x⋅3+(3)2y^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 3+(3)^2 বা, y2=4x2+12x+9y^2=4 x^2+12 x+9 বা, E(y2)=E(4x2)+E(12x)+E(9)\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(12 \mathrm{x})+\mathrm{E}(9) =4E(x2)+12E(x)+9=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+12 \mathrm{E}(\mathrm{x})+9 =(4×4.8)+(12×0)+9=(4 \times 4.8)+(12 \times 0)+9 =19.2+0+9=19.2+0+9 ∴E(y2)=28.2\therefore \quad \mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =28.2 আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) =\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−4)2×0.1}+{(−2)2×0.2}=\left\{(-4)^2 \times 0.1\right\}+\left\{(-2)^2 \times 0.2\right\} +(02×0.4)+(22+0.2)+(42×0.1)\quad+\left(0^2 \times 0.4\right)+\left(2^2+0.2\right)+\left(4^2 \times 0.1\right) =(16×0.1)+(4×0.2)+0+(4×0.2)+(16×0.1)=(16 \times 0.1)+(4 \times 0.2)+0+(4 \times 0.2)+(16 \times 0.1) =1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8=1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8 আমরা জানি, V(y)=E(y2)−{E(y)}2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{y})\}^2 =28.2−(3)2=28.2-(3)^2 =28.2−9=28.2-9 =19.2=19.2 আরও দেওয়া আছে, z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 ∴E(z)=E(2x)+E(5)=2E(x)+5=2×0+5=5\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{z})=\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(5)=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+5=2 \times 0+5=5 আবার, z=2x+5z=2 x+5 ∴z2=(2x+5)2\therefore \quad z^2=(2 x+5)^2 বা, zs2=(2x)2+2⋅2x⋅5+(5)2z_s^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 5+(5)^2 বা, z2=4x2+20x+25z^2=4 x^2+20 x+25 বা, E(z2)=E(4x2)+E(20x)+E(25)\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)=\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(20 \mathrm{x})+\mathrm{E}(25) =4E(x2)+20E(x)+25=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+20 \mathrm{E}(\mathrm{x})+25 =(4×4.8)+(20×0)+25=(4 \times 4.8)+(20 \times 0)+25 =19⋅2+0+25=19 \cdot 2+0+25 ∴E(z2)=44.2\therefore \quad E\left(z^2\right)=44.2 আমরা জানি, V(z)=E(z2)−{E(z)}2\mathrm{V}(\mathrm{z}) =\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{z})\}^2 =44.2−(5)2=44.2-(5)^2 =44.2−25=44.2-25 = 19.2 এখানে, V(y)=V(z)=19.2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{V}(\mathrm{z})=19.2 অতএব, যদি y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 এবং z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 হয়, তবে V(y)\mathrm{V}(\mathrm{y}) এবং V(z)\mathrm{V}(\mathrm{z}) এর মান সমান হয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x-এর সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নে দেওয়া হলো : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

Rajshahi · 2018

ক
দৈবচলকের ভেদাঙ্ক কী?

উত্তর

একটি দৈব চলকের মান ও এর গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানই হলো এর ভেদাঙ্ক।
খ
দৈবচলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই— ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা দৈব চলকের গাণিতিক গড় পরিমাপ করা হয়। অর্থাৎ E(x)=xˉE(x)=\bar{x} মনে করি, x বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের x1,x2,……,xn\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}} মানগুলোর গণসংখ্যা যথাক্রমে f1,f2,….,fnf_1, f_2, \ldots ., f_n যেখানে f1+f2+……+fN=Nf_1+f_2+\ldots \ldots+f_{\mathrm{N}}=\mathrm{N} এখন, x চলকের গাণিতিক গড়, x‾=∑i=1nfixiN\overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_i \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}} আবার, x চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা যথাক্রমে, P(x1)=f1 N,P(x2)=f2 N,…………,P(xn)=fnN\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)=\frac{f_1}{\mathrm{~N}}, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)=\frac{f_2}{\mathrm{~N}}, \ldots \ldots \ldots \ldots, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}} অতএব, x চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=x1P(x1)+x2P(x2)+x3P(x3)+……+xnP(xn)=x1f1 N+x2f2 N+x3f3 N+…+xnfnN=1 N[f1x1+f2x2+….+fnxn]∑i=1nfixi=1 N=x‾\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{x})= & \mathrm{x}_1 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)+\mathrm{x}_2 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)+\mathrm{x}_3 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_3\right)+\ldots \ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \\ = & \mathrm{x}_1 \frac{f_1}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_2 \frac{f_2}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_3 \frac{f_3}{\mathrm{~N}}+\ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}=\frac{1}{\mathrm{~N}}\left[f_1 \mathrm{x}_1+f_2 \mathrm{x}_2+\ldots .+f_{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right] \\ & \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~N}}=\overline{\mathrm{x}}\end{aligned} সুতরাং দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি।
গ
দৈবচলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, দৈব চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাস : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 আমরা জানি, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(−4×0.1)+(−2×0.2)+(0×0.4)+(2×0.2)+(4×0.1)=(-4 \times 0.1)+(-2 \times 0.2)+(0 \times 0.4) +(2 \times 0.2)+(4 \times 0.1) =−0.4−0.4+0+0.4+0.4=0=-0.4-0.4+0+0.4+0.4=0 সুতরাং, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=0\mathrm{E}(\mathrm{x})=0 ।
ঘ
যদি y = 2x + 3 এবং z = 2x + 5 হয় তবে V(y) এবং V(z) এর মান সমান কি-না- বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 ∴E(y)=E(2x)+E(3)\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{y}) =\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(3) =2E(x)+3=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+3 =2×0+3=2 \times 0+3['ক' হতে পাই, E(x)=0]\mathrm{E}(\mathrm{x})=0] = 3 আবার, y=2x+3y=2 x+3 ∴y2=(2x+3)2\therefore \quad y^2=(2 x+3)^2 বা, y2=(2x)2+2⋅2x⋅3+(3)2y^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 3+(3)^2 বা, y2=4x2+12x+9y^2=4 x^2+12 x+9 বা, E(y2)=E(4x2)+E(12x)+E(9)\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(12 \mathrm{x})+\mathrm{E}(9) =4E(x2)+12E(x)+9=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+12 \mathrm{E}(\mathrm{x})+9 =(4×4.8)+(12×0)+9=(4 \times 4.8)+(12 \times 0)+9 =19.2+0+9=19.2+0+9 ∴E(y2)=28.2\therefore \quad \mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =28.2 আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) =\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−4)2×0.1}+{(−2)2×0.2}=\left\{(-4)^2 \times 0.1\right\}+\left\{(-2)^2 \times 0.2\right\} +(02×0.4)+(22+0.2)+(42×0.1)\quad+\left(0^2 \times 0.4\right)+\left(2^2+0.2\right)+\left(4^2 \times 0.1\right) =(16×0.1)+(4×0.2)+0+(4×0.2)+(16×0.1)=(16 \times 0.1)+(4 \times 0.2)+0+(4 \times 0.2)+(16 \times 0.1) =1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8=1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8 আমরা জানি, V(y)=E(y2)−{E(y)}2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{y})\}^2 =28.2−(3)2=28.2-(3)^2 =28.2−9=28.2-9 =19.2=19.2 আরও দেওয়া আছে, z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 ∴E(z)=E(2x)+E(5)=2E(x)+5=2×0+5=5\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{z})=\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(5)=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+5=2 \times 0+5=5 আবার, z=2x+5z=2 x+5 ∴z2=(2x+5)2\therefore \quad z^2=(2 x+5)^2 বা, zs2=(2x)2+2⋅2x⋅5+(5)2z_s^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 5+(5)^2 বা, z2=4x2+20x+25z^2=4 x^2+20 x+25 বা, E(z2)=E(4x2)+E(20x)+E(25)\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)=\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(20 \mathrm{x})+\mathrm{E}(25) =4E(x2)+20E(x)+25=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+20 \mathrm{E}(\mathrm{x})+25 =(4×4.8)+(20×0)+25=(4 \times 4.8)+(20 \times 0)+25 =19⋅2+0+25=19 \cdot 2+0+25 ∴E(z2)=44.2\therefore \quad E\left(z^2\right)=44.2 আমরা জানি, V(z)=E(z2)−{E(z)}2\mathrm{V}(\mathrm{z}) =\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{z})\}^2 =44.2−(5)2=44.2-(5)^2 =44.2−25=44.2-25 = 19.2 এখানে, V(y)=V(z)=19.2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{V}(\mathrm{z})=19.2 অতএব, যদি y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 এবং z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 হয়, তবে V(y)\mathrm{V}(\mathrm{y}) এবং V(z)\mathrm{V}(\mathrm{z}) এর মান সমান হয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো