Chapter 3: গাণিতিক প্রত্যাশা Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 3: গাণিতিক প্রত্যাশা অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২৪১

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি দোকানে নকিয়া ও সিম্ফোনি কোম্পানি দুটির মোবাইল সেটের চাহিদা সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ : question image

Dhaka · 2017

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কী?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মানের সাথে নিজ নিজ সম্ভাবনা গুণ করে গুণফলের সমষ্টি নির্ণয় করলে প্রাপ্ত মানই ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা।
খ
দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না। কোনো দৈব চলকের মানগুলো হতে তার গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানের বর্গমূলকে ঐ দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান বলে। অর্থাৎ, দৈব চলক x এর পরিমিত ব্যবধান, σ=V(x)=E{x−E(x)}2\sigma=\sqrt{V(x)}=\sqrt{E\{x-E(x)\}^2} যেহেতু বর্গসংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না কাজেই, σ≥0\sigma \geq 0 সুতরাং দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না।
গ
নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

আমরা জানি, সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল এক। ধরি, নকিয়া কোম্পানির বিন্যাসটি একটি সম্ভাবনা বিন্যাস। ∴∑P(x)=1\therefore \quad \sum \mathrm{P}(\mathrm{x})=1 বা, 0.1+0.4+C+0.15+0.1=10.1+0.4+C+0.15+0.1=1 বা, C=1−0.1−0.4−0.15−0.1\mathrm{C}=1-0.1-0.4-0.15-0.1 ∴C=0.25\therefore \quad \mathrm{C}=0.25 ∴\therefore নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান 0.25।
ঘ
প্রয়োজনীয় পরিমাপ নির্ণয়পূর্বক কোন কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি তোমার মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, দৈব চলক x : নকিয়া মোবাইলের চাহিদা এবং দৈব চলক y : সিম্ফোনি মোবাইলের চাহিদা । নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =0×0.1+1×0.4+2×0.25+3×0.15+4×0.1=2.39=0 \times 0.1+1 \times 0.4+2 \times 0.25+3 \times 0.15+4 \times 0.1=2.39 সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(y)=∑yP(y)\mathrm{E}(\mathrm{y}) =\sum \mathrm{y} P(\mathrm{y}) =0×0.09+1×0.45+2×0.32+3×0.11+4×0.03=0 \times 0.09+1 \times 0.45+2 \times 0.32+3 \times 0.11+4 \times 0.03 = 1.54 যেহেতু নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা অপেক্ষা বেশি। সুতরাং নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি 1

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি দোকানে নকিয়া ও সিম্ফোনি কোম্পানি দুটির মোবাইল সেটের চাহিদা সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ : question image

Dhaka · 2017

ক
গাণিতিক প্রত্যাশা কী?

উত্তর

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মানের সাথে নিজ নিজ সম্ভাবনা গুণ করে গুণফলের সমষ্টি নির্ণয় করলে প্রাপ্ত মানই ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা।
খ
দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না। কোনো দৈব চলকের মানগুলো হতে তার গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানের বর্গমূলকে ঐ দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান বলে। অর্থাৎ, দৈব চলক x এর পরিমিত ব্যবধান, σ=V(x)=E{x−E(x)}2\sigma=\sqrt{V(x)}=\sqrt{E\{x-E(x)\}^2} যেহেতু বর্গসংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না কাজেই, σ≥0\sigma \geq 0 সুতরাং দৈব চলকের পরিমিত ব্যবধান ঋণাত্মক হতে পারে না।
গ
নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

আমরা জানি, সমস্ত সম্ভাবনার যোগফল এক। ধরি, নকিয়া কোম্পানির বিন্যাসটি একটি সম্ভাবনা বিন্যাস। ∴∑P(x)=1\therefore \quad \sum \mathrm{P}(\mathrm{x})=1 বা, 0.1+0.4+C+0.15+0.1=10.1+0.4+C+0.15+0.1=1 বা, C=1−0.1−0.4−0.15−0.1\mathrm{C}=1-0.1-0.4-0.15-0.1 ∴C=0.25\therefore \quad \mathrm{C}=0.25 ∴\therefore নকিয়া মোবাইলের জন্য ধ্রুবক C এর মান 0.25।
ঘ
প্রয়োজনীয় পরিমাপ নির্ণয়পূর্বক কোন কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি তোমার মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, দৈব চলক x : নকিয়া মোবাইলের চাহিদা এবং দৈব চলক y : সিম্ফোনি মোবাইলের চাহিদা । নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(x)=∑xP(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{xP}(\mathrm{x}) =0×0.1+1×0.4+2×0.25+3×0.15+4×0.1=2.39=0 \times 0.1+1 \times 0.4+2 \times 0.25+3 \times 0.15+4 \times 0.1=2.39 সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা, E(y)=∑yP(y)\mathrm{E}(\mathrm{y}) =\sum \mathrm{y} P(\mathrm{y}) =0×0.09+1×0.45+2×0.32+3×0.11+4×0.03=0 \times 0.09+1 \times 0.45+2 \times 0.32+3 \times 0.11+4 \times 0.03 = 1.54 যেহেতু নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা সিম্ফোনি কোম্পানির মোবাইলের প্রত্যাশিত চাহিদা অপেক্ষা বেশি। সুতরাং নকিয়া কোম্পানির মোবাইলের চাহিদা বেশি 1

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x-এর সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নে দেওয়া হলো : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

Rajshahi · 2018

ক
দৈবচলকের ভেদাঙ্ক কী?

উত্তর

একটি দৈব চলকের মান ও এর গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানই হলো এর ভেদাঙ্ক।
খ
দৈবচলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই— ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা দৈব চলকের গাণিতিক গড় পরিমাপ করা হয়। অর্থাৎ E(x)=xˉE(x)=\bar{x} মনে করি, x বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের x1,x2,……,xn\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}} মানগুলোর গণসংখ্যা যথাক্রমে f1,f2,….,fnf_1, f_2, \ldots ., f_n যেখানে f1+f2+……+fN=Nf_1+f_2+\ldots \ldots+f_{\mathrm{N}}=\mathrm{N} এখন, x চলকের গাণিতিক গড়, x‾=∑i=1nfixiN\overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_i \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}} আবার, x চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা যথাক্রমে, P(x1)=f1 N,P(x2)=f2 N,…………,P(xn)=fnN\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)=\frac{f_1}{\mathrm{~N}}, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)=\frac{f_2}{\mathrm{~N}}, \ldots \ldots \ldots \ldots, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}} অতএব, x চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=x1P(x1)+x2P(x2)+x3P(x3)+……+xnP(xn)=x1f1 N+x2f2 N+x3f3 N+…+xnfnN=1 N[f1x1+f2x2+….+fnxn]∑i=1nfixi=1 N=x‾\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{x})= & \mathrm{x}_1 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)+\mathrm{x}_2 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)+\mathrm{x}_3 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_3\right)+\ldots \ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \\ = & \mathrm{x}_1 \frac{f_1}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_2 \frac{f_2}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_3 \frac{f_3}{\mathrm{~N}}+\ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}=\frac{1}{\mathrm{~N}}\left[f_1 \mathrm{x}_1+f_2 \mathrm{x}_2+\ldots .+f_{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right] \\ & \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~N}}=\overline{\mathrm{x}}\end{aligned} সুতরাং দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি।
গ
দৈবচলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, দৈব চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাস : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 আমরা জানি, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(−4×0.1)+(−2×0.2)+(0×0.4)+(2×0.2)+(4×0.1)=(-4 \times 0.1)+(-2 \times 0.2)+(0 \times 0.4) +(2 \times 0.2)+(4 \times 0.1) =−0.4−0.4+0+0.4+0.4=0=-0.4-0.4+0+0.4+0.4=0 সুতরাং, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=0\mathrm{E}(\mathrm{x})=0 ।
ঘ
যদি y = 2x + 3 এবং z = 2x + 5 হয় তবে V(y) এবং V(z) এর মান সমান কি-না- বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 ∴E(y)=E(2x)+E(3)\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{y}) =\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(3) =2E(x)+3=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+3 =2×0+3=2 \times 0+3['ক' হতে পাই, E(x)=0]\mathrm{E}(\mathrm{x})=0] = 3 আবার, y=2x+3y=2 x+3 ∴y2=(2x+3)2\therefore \quad y^2=(2 x+3)^2 বা, y2=(2x)2+2⋅2x⋅3+(3)2y^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 3+(3)^2 বা, y2=4x2+12x+9y^2=4 x^2+12 x+9 বা, E(y2)=E(4x2)+E(12x)+E(9)\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(12 \mathrm{x})+\mathrm{E}(9) =4E(x2)+12E(x)+9=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+12 \mathrm{E}(\mathrm{x})+9 =(4×4.8)+(12×0)+9=(4 \times 4.8)+(12 \times 0)+9 =19.2+0+9=19.2+0+9 ∴E(y2)=28.2\therefore \quad \mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =28.2 আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) =\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−4)2×0.1}+{(−2)2×0.2}=\left\{(-4)^2 \times 0.1\right\}+\left\{(-2)^2 \times 0.2\right\} +(02×0.4)+(22+0.2)+(42×0.1)\quad+\left(0^2 \times 0.4\right)+\left(2^2+0.2\right)+\left(4^2 \times 0.1\right) =(16×0.1)+(4×0.2)+0+(4×0.2)+(16×0.1)=(16 \times 0.1)+(4 \times 0.2)+0+(4 \times 0.2)+(16 \times 0.1) =1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8=1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8 আমরা জানি, V(y)=E(y2)−{E(y)}2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{y})\}^2 =28.2−(3)2=28.2-(3)^2 =28.2−9=28.2-9 =19.2=19.2 আরও দেওয়া আছে, z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 ∴E(z)=E(2x)+E(5)=2E(x)+5=2×0+5=5\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{z})=\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(5)=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+5=2 \times 0+5=5 আবার, z=2x+5z=2 x+5 ∴z2=(2x+5)2\therefore \quad z^2=(2 x+5)^2 বা, zs2=(2x)2+2⋅2x⋅5+(5)2z_s^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 5+(5)^2 বা, z2=4x2+20x+25z^2=4 x^2+20 x+25 বা, E(z2)=E(4x2)+E(20x)+E(25)\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)=\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(20 \mathrm{x})+\mathrm{E}(25) =4E(x2)+20E(x)+25=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+20 \mathrm{E}(\mathrm{x})+25 =(4×4.8)+(20×0)+25=(4 \times 4.8)+(20 \times 0)+25 =19⋅2+0+25=19 \cdot 2+0+25 ∴E(z2)=44.2\therefore \quad E\left(z^2\right)=44.2 আমরা জানি, V(z)=E(z2)−{E(z)}2\mathrm{V}(\mathrm{z}) =\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{z})\}^2 =44.2−(5)2=44.2-(5)^2 =44.2−25=44.2-25 = 19.2 এখানে, V(y)=V(z)=19.2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{V}(\mathrm{z})=19.2 অতএব, যদি y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 এবং z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 হয়, তবে V(y)\mathrm{V}(\mathrm{y}) এবং V(z)\mathrm{V}(\mathrm{z}) এর মান সমান হয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x-এর সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নে দেওয়া হলো : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

Rajshahi · 2018

ক
দৈবচলকের ভেদাঙ্ক কী?

উত্তর

একটি দৈব চলকের মান ও এর গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানই হলো এর ভেদাঙ্ক।
খ
দৈবচলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই— ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা দৈব চলকের গাণিতিক গড় পরিমাপ করা হয়। অর্থাৎ E(x)=xˉE(x)=\bar{x} মনে করি, x বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের x1,x2,……,xn\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}} মানগুলোর গণসংখ্যা যথাক্রমে f1,f2,….,fnf_1, f_2, \ldots ., f_n যেখানে f1+f2+……+fN=Nf_1+f_2+\ldots \ldots+f_{\mathrm{N}}=\mathrm{N} এখন, x চলকের গাণিতিক গড়, x‾=∑i=1nfixiN\overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_i \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}} আবার, x চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা যথাক্রমে, P(x1)=f1 N,P(x2)=f2 N,…………,P(xn)=fnN\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)=\frac{f_1}{\mathrm{~N}}, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)=\frac{f_2}{\mathrm{~N}}, \ldots \ldots \ldots \ldots, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}} অতএব, x চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=x1P(x1)+x2P(x2)+x3P(x3)+……+xnP(xn)=x1f1 N+x2f2 N+x3f3 N+…+xnfnN=1 N[f1x1+f2x2+….+fnxn]∑i=1nfixi=1 N=x‾\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{x})= & \mathrm{x}_1 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)+\mathrm{x}_2 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)+\mathrm{x}_3 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_3\right)+\ldots \ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \\ = & \mathrm{x}_1 \frac{f_1}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_2 \frac{f_2}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_3 \frac{f_3}{\mathrm{~N}}+\ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}=\frac{1}{\mathrm{~N}}\left[f_1 \mathrm{x}_1+f_2 \mathrm{x}_2+\ldots .+f_{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right] \\ & \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~N}}=\overline{\mathrm{x}}\end{aligned} সুতরাং দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি।
গ
দৈবচলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, দৈব চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাস : x -4 -2 0 2 4 P(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 আমরা জানি, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(−4×0.1)+(−2×0.2)+(0×0.4)+(2×0.2)+(4×0.1)=(-4 \times 0.1)+(-2 \times 0.2)+(0 \times 0.4) +(2 \times 0.2)+(4 \times 0.1) =−0.4−0.4+0+0.4+0.4=0=-0.4-0.4+0+0.4+0.4=0 সুতরাং, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, E(x)=0\mathrm{E}(\mathrm{x})=0 ।
ঘ
যদি y = 2x + 3 এবং z = 2x + 5 হয় তবে V(y) এবং V(z) এর মান সমান কি-না- বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 ∴E(y)=E(2x)+E(3)\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{y}) =\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(3) =2E(x)+3=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+3 =2×0+3=2 \times 0+3['ক' হতে পাই, E(x)=0]\mathrm{E}(\mathrm{x})=0] = 3 আবার, y=2x+3y=2 x+3 ∴y2=(2x+3)2\therefore \quad y^2=(2 x+3)^2 বা, y2=(2x)2+2⋅2x⋅3+(3)2y^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 3+(3)^2 বা, y2=4x2+12x+9y^2=4 x^2+12 x+9 বা, E(y2)=E(4x2)+E(12x)+E(9)\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(12 \mathrm{x})+\mathrm{E}(9) =4E(x2)+12E(x)+9=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+12 \mathrm{E}(\mathrm{x})+9 =(4×4.8)+(12×0)+9=(4 \times 4.8)+(12 \times 0)+9 =19.2+0+9=19.2+0+9 ∴E(y2)=28.2\therefore \quad \mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =28.2 আমরা জানি, E(x2)=∑x2P(x)\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) =\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) ={(−4)2×0.1}+{(−2)2×0.2}=\left\{(-4)^2 \times 0.1\right\}+\left\{(-2)^2 \times 0.2\right\} +(02×0.4)+(22+0.2)+(42×0.1)\quad+\left(0^2 \times 0.4\right)+\left(2^2+0.2\right)+\left(4^2 \times 0.1\right) =(16×0.1)+(4×0.2)+0+(4×0.2)+(16×0.1)=(16 \times 0.1)+(4 \times 0.2)+0+(4 \times 0.2)+(16 \times 0.1) =1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8=1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8 আমরা জানি, V(y)=E(y2)−{E(y)}2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{y})\}^2 =28.2−(3)2=28.2-(3)^2 =28.2−9=28.2-9 =19.2=19.2 আরও দেওয়া আছে, z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 ∴E(z)=E(2x)+E(5)=2E(x)+5=2×0+5=5\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{z})=\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(5)=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+5=2 \times 0+5=5 আবার, z=2x+5z=2 x+5 ∴z2=(2x+5)2\therefore \quad z^2=(2 x+5)^2 বা, zs2=(2x)2+2⋅2x⋅5+(5)2z_s^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 5+(5)^2 বা, z2=4x2+20x+25z^2=4 x^2+20 x+25 বা, E(z2)=E(4x2)+E(20x)+E(25)\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)=\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(20 \mathrm{x})+\mathrm{E}(25) =4E(x2)+20E(x)+25=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+20 \mathrm{E}(\mathrm{x})+25 =(4×4.8)+(20×0)+25=(4 \times 4.8)+(20 \times 0)+25 =19⋅2+0+25=19 \cdot 2+0+25 ∴E(z2)=44.2\therefore \quad E\left(z^2\right)=44.2 আমরা জানি, V(z)=E(z2)−{E(z)}2\mathrm{V}(\mathrm{z}) =\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{z})\}^2 =44.2−(5)2=44.2-(5)^2 =44.2−25=44.2-25 = 19.2 এখানে, V(y)=V(z)=19.2\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{V}(\mathrm{z})=19.2 অতএব, যদি y=2x+3\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3 এবং z=2x+5\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5 হয়, তবে V(y)\mathrm{V}(\mathrm{y}) এবং V(z)\mathrm{V}(\mathrm{z}) এর মান সমান হয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : রাকিব তিনটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করল। সে কমপক্ষে 1টি হেড ফেলতে পারলে 40 পয়েন্ট লাভ করবে কিন্তু বড়জোর 1টি হেড পড়লে 20 পয়েন্ট হারাবে। রাকিব 45 পয়েন্ট প্রত্যাশা করে। উদ্দীপক-২ : বিপিএল ক্রিকেট খেলায় একজন বোলারের উইকেট প্রাপ্তির সম্ভাবনা অপেক্ষক— P(x)=∣2−x∣k;x=3,4,5,6,7P(x)=\frac{|2-x|}{k} ; x=3,4,5,6,7।

Dhaka · 2018

ক
সম্ভাবনা বিন্যাস কী?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের প্রতিটি মানের বিপরীতে তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় সেটিই সম্ভাবনা বিন্যাস।
খ
V(5) = 0 ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, কোনো ধ্রুবকের ভেদাঙ্ক শূন্য। এখানে, 5 একটি ধ্রুবক। সুতরাং, 5 এর ভেদাঙ্ক শূন্য। অর্থাৎ, V(5) = 0।
গ
উদ্দীপক-২ হতে k এবং E(x) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে পাই, P(x)=∣2−x∣k;x=3,4,5,6,7\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{|2-\mathrm{x}|}{\mathrm{k}} ; \mathrm{x}=3,4,5,6,7 ∴\therefore x-এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image আমরা জানি, সকল সম্ভাবনার সমষ্টি এক। অর্থাৎ, ∑x=37P(x)=1\sum_{x=3}^7 P(x)=1 বা, 1k+2k+3k+4k+5k=1\frac{1}{\mathrm{k}}+\frac{2}{\mathrm{k}}+\frac{3}{\mathrm{k}}+\frac{4}{\mathrm{k}}+\frac{5}{\mathrm{k}}=1 বা, 1+2+3+4+5k=1\frac{1+2+3+4+5}{k}=1 বা, 15k=1\frac{15}{\mathrm{k}}=1 ∴k=15\therefore \quad \mathrm{k}=15 এখন, k-এর মান x-এর সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, question image আমরা জানি, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(3×115)+(4×215)+(5×315)+(6×415)+(7×515)=\left(3 \times \frac{1}{15}\right)+\left(4 \times \frac{2}{15}\right)+\left(5 \times \frac{3}{15}\right)+\left(6 \times \frac{4}{15}\right)+\left(7 \times \frac{5}{15}\right) =315+815+1515+2415+3515=\frac{3}{15}+\frac{8}{15}+\frac{15}{15}+\frac{24}{15}+\frac{35}{15} =3+8+15+24+3515=8515=5.67=\frac{3+8+15+24+35}{15}=\frac{85}{15}=5.67 সুতরাং k=15k=15 এবং E(x)=5.67\mathrm{E}(\mathrm{x})=5.67 ।
ঘ
উদ্দীপক-১ হতে রাকিবের প্রত্যাশার যথার্থতা যাচাই কর।

উত্তর

রাকিব তিনটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ : S HH HT TH TT H HHH HHT HTH HTT T THH THT TTH TTT ∴\therefore নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S) = ৪টি। ধরি, A = কমপক্ষে 1 টি হেড পড়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ : {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH} ∴n(A)=7\therefore n(A)=7 ∴P(A)=n(A)n(S)=78\therefore P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{8} অর্থাৎ, রাকিবের 40 পয়েন্ট লাভ করার সম্ভাবনা =78\frac{7}{8}। আবার, ধরি, B = বড়জোর 1 টি হেড পড়ার ঘটনা। B = ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ : {HTT, THT, TTH, TTT} ∴n(B)=4\therefore \quad n(B)=4 ∴P(B)=n(B)n(S)=48\therefore P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{8} অর্থাৎ, রাকিবের 20 পয়েন্ট হারাবার সম্ভাবনা =48=\frac{4}{8}। ধরি, পয়েন্টের পরিমাণের দৈব চলক = x। ∴\therefore x চলকের মানসমূহ হবে : 40, – 20 এখন, দৈব চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image ∴\therefore রাকিবের প্রত্যাশিত পয়েন্টের পরিমাণ, E(x)=∑x⋅P(x)=(40×78)+(−20×48)E(x) =\sum x \cdot P(x)=\left(40 \times \frac{7}{8}\right)+\left(-20 \times \frac{4}{8}\right) =2808−808=\frac{280}{8}-\frac{80}{8} =280−808=\frac{280-80}{8} =2008=\frac{200}{8} = 25 পয়েন্ট। এখানে, রাকিবের প্রত্যাশিত পয়েন্টের পরিমাণ 25 পয়েন্ট। কিন্তু রাকিব 45 পয়েন্ট প্রত্যাশা করে, যা কখনো সম্ভব নয়। অতএব, রাকিবের প্রত্যাশা যথার্থ ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : রাকিব তিনটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করল। সে কমপক্ষে 1টি হেড ফেলতে পারলে 40 পয়েন্ট লাভ করবে কিন্তু বড়জোর 1টি হেড পড়লে 20 পয়েন্ট হারাবে। রাকিব 45 পয়েন্ট প্রত্যাশা করে। উদ্দীপক-২ : বিপিএল ক্রিকেট খেলায় একজন বোলারের উইকেট প্রাপ্তির সম্ভাবনা অপেক্ষক— P(x)=∣2−x∣k;x=3,4,5,6,7P(x)=\frac{|2-x|}{k} ; x=3,4,5,6,7।

Dhaka · 2018

ক
সম্ভাবনা বিন্যাস কী?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের প্রতিটি মানের বিপরীতে তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় সেটিই সম্ভাবনা বিন্যাস।
খ
V(5) = 0 ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, কোনো ধ্রুবকের ভেদাঙ্ক শূন্য। এখানে, 5 একটি ধ্রুবক। সুতরাং, 5 এর ভেদাঙ্ক শূন্য। অর্থাৎ, V(5) = 0।
গ
উদ্দীপক-২ হতে k এবং E(x) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে পাই, P(x)=∣2−x∣k;x=3,4,5,6,7\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{|2-\mathrm{x}|}{\mathrm{k}} ; \mathrm{x}=3,4,5,6,7 ∴\therefore x-এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image আমরা জানি, সকল সম্ভাবনার সমষ্টি এক। অর্থাৎ, ∑x=37P(x)=1\sum_{x=3}^7 P(x)=1 বা, 1k+2k+3k+4k+5k=1\frac{1}{\mathrm{k}}+\frac{2}{\mathrm{k}}+\frac{3}{\mathrm{k}}+\frac{4}{\mathrm{k}}+\frac{5}{\mathrm{k}}=1 বা, 1+2+3+4+5k=1\frac{1+2+3+4+5}{k}=1 বা, 15k=1\frac{15}{\mathrm{k}}=1 ∴k=15\therefore \quad \mathrm{k}=15 এখন, k-এর মান x-এর সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, question image আমরা জানি, E(x)=∑x⋅P(x)\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) =(3×115)+(4×215)+(5×315)+(6×415)+(7×515)=\left(3 \times \frac{1}{15}\right)+\left(4 \times \frac{2}{15}\right)+\left(5 \times \frac{3}{15}\right)+\left(6 \times \frac{4}{15}\right)+\left(7 \times \frac{5}{15}\right) =315+815+1515+2415+3515=\frac{3}{15}+\frac{8}{15}+\frac{15}{15}+\frac{24}{15}+\frac{35}{15} =3+8+15+24+3515=8515=5.67=\frac{3+8+15+24+35}{15}=\frac{85}{15}=5.67 সুতরাং k=15k=15 এবং E(x)=5.67\mathrm{E}(\mathrm{x})=5.67 ।
ঘ
উদ্দীপক-১ হতে রাকিবের প্রত্যাশার যথার্থতা যাচাই কর।

উত্তর

রাকিব তিনটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ : S HH HT TH TT H HHH HHT HTH HTT T THH THT TTH TTT ∴\therefore নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S) = ৪টি। ধরি, A = কমপক্ষে 1 টি হেড পড়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ : {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH} ∴n(A)=7\therefore n(A)=7 ∴P(A)=n(A)n(S)=78\therefore P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{8} অর্থাৎ, রাকিবের 40 পয়েন্ট লাভ করার সম্ভাবনা =78\frac{7}{8}। আবার, ধরি, B = বড়জোর 1 টি হেড পড়ার ঘটনা। B = ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ : {HTT, THT, TTH, TTT} ∴n(B)=4\therefore \quad n(B)=4 ∴P(B)=n(B)n(S)=48\therefore P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{8} অর্থাৎ, রাকিবের 20 পয়েন্ট হারাবার সম্ভাবনা =48=\frac{4}{8}। ধরি, পয়েন্টের পরিমাণের দৈব চলক = x। ∴\therefore x চলকের মানসমূহ হবে : 40, – 20 এখন, দৈব চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ : question image ∴\therefore রাকিবের প্রত্যাশিত পয়েন্টের পরিমাণ, E(x)=∑x⋅P(x)=(40×78)+(−20×48)E(x) =\sum x \cdot P(x)=\left(40 \times \frac{7}{8}\right)+\left(-20 \times \frac{4}{8}\right) =2808−808=\frac{280}{8}-\frac{80}{8} =280−808=\frac{280-80}{8} =2008=\frac{200}{8} = 25 পয়েন্ট। এখানে, রাকিবের প্রত্যাশিত পয়েন্টের পরিমাণ 25 পয়েন্ট। কিন্তু রাকিব 45 পয়েন্ট প্রত্যাশা করে, যা কখনো সম্ভব নয়। অতএব, রাকিবের প্রত্যাশা যথার্থ ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো