Chapter 4: বিস্তার পরিমাপ Statistics 1st Paper

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

স্কুল ক্রিকেট দলের দুজন খেলোয়ার রমিজ ও প্রান্ত। বিগত ছয় মাচে তাদের রানের তথ্য নিম্নরূপ : [যশোর শিক্ষা বোর্ড সরকারি মডেল স্কুল এন্ড কলেজ, যশোর]

ক

ভেদাঙ্ক কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারির গড় থেকে সংখ্যাগুলোর ব্যবধানের বর্গের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করে যে মান পাওয়া যায় তাকে ভেদাঙ্ক বলে।

খ

ভেদাঙ্কের সর্বনিম্ন মান কত হয়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ভেদাঙ্কের সর্বনিম্ন মান শূন্য। আমরা জানি, ভেদাঙ্ক, $\sigma^2=\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2}{n}$ যেহেতু ভেদাঙ্ক ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং ভেদাঙ্কের সর্বনিম্ন মান হবে শূন্য। অর্থাৎ $\sigma^2=0$ বা, $\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2}{n}=0$ বা, $\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2=0$ বা, $x_i-\bar{x}=0$ বা, $x_i=\bar{x}$ অর্থাৎ, $x_1=\bar{x}, x_2=\bar{x}, \ldots \ldots . ., x_n=\bar{x}$ । $\therefore \quad \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=\ldots \ldots \ldots=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{x}} \text{ । }$ সুতরাং কোনো তথ্যসারির মানগুলো পরস্পর সমান হলে ভেদাঙ্ক সর্বনিম্ন মান (বা শূন্য) হয়।

গ

রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, রমিজের রানের চলক, x₁ = {60, 15, 75, 10, 10, 100} ∴ রমিজের রানের গড়, $\begin{aligned} \overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum \mathrm{x}_i}{\mathrm{n}} & =\frac{60+15+75+10+10+100}{6} \\ & =\frac{270}{6} \\ & =45\end{aligned}$ এবং রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান, $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n}}$ $\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{(60-45)^2+(15-45)^2+(75-45)^2+(10-45)^2+(10-45)^2+(100-45)^2}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{225+900+900+1225+1225+3025}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{7500}{6}}=\sqrt{1250}=35.36\end{aligned}$ সুতরাং রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান 35,36।

ঘ

জাতীয় স্কুল ক্রিকেটে দল নির্বাচনের সময় ২ জনের মধ্যে 1 জন নির্বাচন করতে হলে নির্বাচক কাকে চূড়ান্ত দলে স্থান দিবেন? মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, রমিজের রানের গড় $\bar{x}$ = 45 এবং রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = 35.36$ রমিজের রানের বিভেদাঙ্ক, C.V(R) $=\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ $\begin{aligned} & =\frac{35.36}{45} \times 100 \\ & =78.58 \%\end{aligned}$ ধরি, প্রান্তের রানের চলক, y₁ = 55, 50, 40, 35, 40, 45 ∴ প্রান্তের রানের গড়, $\begin{aligned} \bar{y} & =\frac{\sum y_i}{n}=\frac{55+50+40+35+40+45}{6} \\ & \doteq \frac{265}{6} \\ & =44.17\end{aligned}$ এবং প্রান্তের রানের পরিমিত ব্যবধান, $\sigma =$ $\sqrt{\frac{\Sigma\left(y_i-\bar{y}\right)^2}{n}}$ $\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{(35-44.17)^2+(50-44.17)^2+(40-44.17)^2+(35-44.17)^2+(40-44.17)^2+(45-44.17)^2}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{117.29+33.99+17.39+84.09+17.39+0.69}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{270.84}{6}}=\sqrt{45.14}=6.72\end{aligned}$ ∴ প্রান্তের রানের বিভেদাঙ্ক, C.V(P) $\operatorname{C.V}(\mathrm{P})=\frac{\sigma}{\mathbf{y}} \times 100$ $\begin{aligned} & =\frac{6.72}{44.17} \times 100 \\ & =15.21 \%\end{aligned}$ মন্তব্য: যেহেতু C.V(P) < C.V(R) সুতরাং নির্বাচক প্রান্তকে চূড়ান্ত দলে স্থান দিবেন।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

স্কুল ক্রিকেট দলের দুজন খেলোয়ার রমিজ ও প্রান্ত। বিগত ছয় মাচে তাদের রানের তথ্য নিম্নরূপ : [যশোর শিক্ষা বোর্ড সরকারি মডেল স্কুল এন্ড কলেজ, যশোর]

ক

ভেদাঙ্ক কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারির গড় থেকে সংখ্যাগুলোর ব্যবধানের বর্গের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করে যে মান পাওয়া যায় তাকে ভেদাঙ্ক বলে।

খ

ভেদাঙ্কের সর্বনিম্ন মান কত হয়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ভেদাঙ্কের সর্বনিম্ন মান শূন্য। আমরা জানি, ভেদাঙ্ক, $\sigma^2=\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2}{n}$ যেহেতু ভেদাঙ্ক ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং ভেদাঙ্কের সর্বনিম্ন মান হবে শূন্য। অর্থাৎ $\sigma^2=0$ বা, $\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2}{n}=0$ বা, $\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2=0$ বা, $x_i-\bar{x}=0$ বা, $x_i=\bar{x}$ অর্থাৎ, $x_1=\bar{x}, x_2=\bar{x}, \ldots \ldots . ., x_n=\bar{x}$ । $\therefore \quad \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=\ldots \ldots \ldots=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{x}} \text{ । }$ সুতরাং কোনো তথ্যসারির মানগুলো পরস্পর সমান হলে ভেদাঙ্ক সর্বনিম্ন মান (বা শূন্য) হয়।

গ

রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, রমিজের রানের চলক, x₁ = {60, 15, 75, 10, 10, 100} ∴ রমিজের রানের গড়, $\begin{aligned} \overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum \mathrm{x}_i}{\mathrm{n}} & =\frac{60+15+75+10+10+100}{6} \\ & =\frac{270}{6} \\ & =45\end{aligned}$ এবং রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান, $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n}}$ $\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{(60-45)^2+(15-45)^2+(75-45)^2+(10-45)^2+(10-45)^2+(100-45)^2}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{225+900+900+1225+1225+3025}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{7500}{6}}=\sqrt{1250}=35.36\end{aligned}$ সুতরাং রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান 35,36।

ঘ

জাতীয় স্কুল ক্রিকেটে দল নির্বাচনের সময় ২ জনের মধ্যে 1 জন নির্বাচন করতে হলে নির্বাচক কাকে চূড়ান্ত দলে স্থান দিবেন? মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, রমিজের রানের গড় $\bar{x}$ = 45 এবং রমিজের রানের পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = 35.36$ রমিজের রানের বিভেদাঙ্ক, C.V(R) $=\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ $\begin{aligned} & =\frac{35.36}{45} \times 100 \\ & =78.58 \%\end{aligned}$ ধরি, প্রান্তের রানের চলক, y₁ = 55, 50, 40, 35, 40, 45 ∴ প্রান্তের রানের গড়, $\begin{aligned} \bar{y} & =\frac{\sum y_i}{n}=\frac{55+50+40+35+40+45}{6} \\ & \doteq \frac{265}{6} \\ & =44.17\end{aligned}$ এবং প্রান্তের রানের পরিমিত ব্যবধান, $\sigma =$ $\sqrt{\frac{\Sigma\left(y_i-\bar{y}\right)^2}{n}}$ $\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{(35-44.17)^2+(50-44.17)^2+(40-44.17)^2+(35-44.17)^2+(40-44.17)^2+(45-44.17)^2}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{117.29+33.99+17.39+84.09+17.39+0.69}{6}} \\ & =\sqrt{\frac{270.84}{6}}=\sqrt{45.14}=6.72\end{aligned}$ ∴ প্রান্তের রানের বিভেদাঙ্ক, C.V(P) $\operatorname{C.V}(\mathrm{P})=\frac{\sigma}{\mathbf{y}} \times 100$ $\begin{aligned} & =\frac{6.72}{44.17} \times 100 \\ & =15.21 \%\end{aligned}$ মন্তব্য: যেহেতু C.V(P) < C.V(R) সুতরাং নির্বাচক প্রান্তকে চূড়ান্ত দলে স্থান দিবেন।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

কোনো টিউটোরিয়াল পরীক্ষায় ৭ জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর হলো: 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7 [সরকারি মজিদ মেমোরিয়াল সিটি কলেজ, খুলনা]

ক

পরিসর কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারির সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের ব্যবধানকে পরিসর বলে।

খ

বিস্তার পরিমাপের পরম পরিমাপগুলো উল্লেখ কর।

উত্তর

বিস্তার পরিমাপের পরম পরিমাপ চারটি। যথা- ১. পরিসর, ২. গড় ব্যবধান; ৩. চতুর্থক ব্যবধান; ৪. পরিমিত ব্যবধান।

গ

প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকের প্রদত্ত নম্বর গুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 4, 7, 7, 7, 9, 9, 10, 12, 15 এখানে n = 9 যা একটি বিজোড় সংখ্যা। মধ্যমা $=\frac{n+1}{2}$ তম রাশি $=\frac{9+1}{2}$ তম রাশি = 5 তম রাশি = 9 সুতরাং, প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা 9।

ঘ

প্রাপ্ত নম্বরের ক্ষেত্রে দেখাও যে, মধ্যমা হতে নির্ণীত গড় ব্যবধান, গড় থেকে নির্ণীত গড় ব্যবধানের চেয়ে ছোট।

উত্তর

ধরি, প্রাপ্ত নম্বরের চলক, x₁ = 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7 ∴ গড়, $\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}}$ $=\frac{7+4+10+9+15+12+7+9+7}{9}=\frac{80}{9}=8.89$ আবার, 'গ' হতে পাই, প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা Me = 9। এখন, গড় হতে গড় ব্যবধান এবং মধ্যমা হতে গড় ব্যবধান নির্ণয়ের সারণি: আমরা জানি, গড় হতে গড় ব্যবধান, M.D $(\overline{\mathrm{x}})$ $=\frac{\Sigma\left|x_i-\bar{x}\right|}{n}$ $=\frac{21.11}{9}=2.35$ এবং মধ্যমা গড় ব্যবধান M.D(Mc) $=\frac{\Sigma\left|\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\mathrm{M}_{\mathrm{e}}\right|}{\mathrm{n}}$ $=\frac{21}{9}=2.33$ এখানে, M.D(Mc) সুতরাং মধ্যমা হতে নির্ণীত গড় ব্যবধান গড় হতে নির্ণীত গড় ব্যবধানের চেয়ে ছোট। (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

কোনো টিউটোরিয়াল পরীক্ষায় ৭ জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর হলো: 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7 [সরকারি মজিদ মেমোরিয়াল সিটি কলেজ, খুলনা]

ক

পরিসর কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারির সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের ব্যবধানকে পরিসর বলে।

খ

বিস্তার পরিমাপের পরম পরিমাপগুলো উল্লেখ কর।

উত্তর

বিস্তার পরিমাপের পরম পরিমাপ চারটি। যথা- ১. পরিসর, ২. গড় ব্যবধান; ৩. চতুর্থক ব্যবধান; ৪. পরিমিত ব্যবধান।

গ

প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকের প্রদত্ত নম্বর গুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 4, 7, 7, 7, 9, 9, 10, 12, 15 এখানে n = 9 যা একটি বিজোড় সংখ্যা। মধ্যমা $=\frac{n+1}{2}$ তম রাশি $=\frac{9+1}{2}$ তম রাশি = 5 তম রাশি = 9 সুতরাং, প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা 9।

ঘ

প্রাপ্ত নম্বরের ক্ষেত্রে দেখাও যে, মধ্যমা হতে নির্ণীত গড় ব্যবধান, গড় থেকে নির্ণীত গড় ব্যবধানের চেয়ে ছোট।

উত্তর

ধরি, প্রাপ্ত নম্বরের চলক, x₁ = 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7 ∴ গড়, $\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}}$ $=\frac{7+4+10+9+15+12+7+9+7}{9}=\frac{80}{9}=8.89$ আবার, 'গ' হতে পাই, প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা Me = 9। এখন, গড় হতে গড় ব্যবধান এবং মধ্যমা হতে গড় ব্যবধান নির্ণয়ের সারণি: আমরা জানি, গড় হতে গড় ব্যবধান, M.D $(\overline{\mathrm{x}})$ $=\frac{\Sigma\left|x_i-\bar{x}\right|}{n}$ $=\frac{21.11}{9}=2.35$ এবং মধ্যমা গড় ব্যবধান M.D(Mc) $=\frac{\Sigma\left|\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\mathrm{M}_{\mathrm{e}}\right|}{\mathrm{n}}$ $=\frac{21}{9}=2.33$ এখানে, M.D(Mc) সুতরাং মধ্যমা হতে নির্ণীত গড় ব্যবধান গড় হতে নির্ণীত গড় ব্যবধানের চেয়ে ছোট। (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো