Chapter 3: কেন্দ্রিয় প্রবণতা Statistics 1st Paper

উদ্দীপক

একজন চিংড়ি খামারি তার খামারে উৎপাদিত চিংড়ির ওজন নিম্নরূপ প্রদর্শন করলেন : চিংড়ির ওজন (গ্রাম) 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 চিংড়ির সংখ্যা 7 10 18 6 5

Dhaka · 2017

ক

কেন্দ্রিয় প্রবণতা কী?

উত্তর

তথ্যসারির কেন্দ্রিয় মান বা মধ্যক মানের দিকে তথ্যসারির অন্যান্য মানগুলোর একত্রিত বা ঘনীভূত বা পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাই হলো কেন্দ্রিয় প্রবণতা।

খ

গাণিতিক গড় প্রান্তীয় মান দ্বারা প্রভাবিত হয়- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

গাণিতিক গড় এমনই একটি গড় যা তথ্যসারির ছোট বড় মাঝারি সকল মানের উপর ভিত্তি করে নির্ণীত হয়। এটি নির্ণয় করতে হলে তথ্যসারির মানগুলোর যোগফলকে তথ্যসংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হয়। তথ্যসংখ্যা অপরিবর্তনীয় থাকলে, যোগফলের ওপর গাণিতিক গড় নির্ণয় করে । যদি নিবেশনে খুব বড় বা খুব ছোট মান অর্থাৎ চরম মান থাকে তবে যোগফল স্বাভাবিকের তুলনায় অনেক বড় বা অনেক ছোট হয়। ফলে গাণিতিক গড় খুব বড় বা ছোট হয়। এ ধরনের মান তথ্যসারির বেশির ভাগ ক্ষেত্রে উপরে বা নিচে অবস্থান করে। এক্ষেত্রে গাণিতিক গড় কেন্দ্রিয় প্রবণতার যথাযথ পরিমাপ দেয় না, উদাহরণস্বরূপ, ধরি, বিক্রমপুর আদর্শ ডিগ্রি কলেজের পাঁচজন ছাত্র নির্বাচনী পরীক্ষায় গণিত বিষয়ে যথাক্রমে 50, 49, 48, 40, 97 নম্বর পেয়েছে। এক্ষেত্রে তাদের গড় প্রাপ্ত নম্বর 58 যা কারও নম্বরের কাছাকাছি নয়। ফলে কারও নম্বরকেই যথাযথভাবে প্রতিনিধিত্ব করতে পারছে না। অর্থাৎ প্রতিটি মানই মধ্যক মানের প্রতিনিধিত্বমূলক পরিমাপ দিতে ব্যর্থ হচ্ছে। কারণ এখানে একটি প্রান্তিক মান 97 রয়েছে। আবার, ঢাকা কলেজের পাঁচজন ছাত্র কোনো পরীক্ষায় গণিতে যথাক্রমে 60, 63, 59, 61, 62 নম্বর পেয়েছে। তাদের গড় প্রাপ্ত নম্বর 61। এখানে কোনো প্রান্তিক মান না থাকায় সবার নম্বরকেই সঠিকভাবে প্রতিনিধিত্ব করে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে মধ্যমা নির্ণয় কর।

উত্তর

মধ্যমা নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : এখানে, $\frac{N}{2}=\frac{46}{2}=23$, যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 35 এর্ন মাবে অবস্থিত। সুতরাং মধ্যমা ল্রেণি হলো $(30-40)$ এখানে, $\mathrm{L}_1=30$ $\mathrm{f}_{\mathrm{m}}=18$ $\mathrm{~F}_{\mathrm{c}}=17$ $\mathrm{C}=10$ $\mathrm{~N}=46$ $\therefore$ মাধ্যমা, $\mathrm{Me} =\mathrm{L}_1+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{F}_{\mathrm{c}}}{f_{\mathrm{m}}} \times \mathrm{c}$ $=30+\frac{\frac{46}{2}-17}{18} \times 10$ $=30+\frac{23-17}{18} \times 10$ $=30+\frac{6 \times 10}{18}$ $=30+\frac{60}{18}$ $=30+3.33$ = 33.33 নির্ণেয় মাধ্যমা 33.33 (প্রায়)।

ঘ

উদ্দীপকের তথ্য হতে A.M এবং H.M এর মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

উদ্দীপকের তথ্য হতে AM এবং HM নির্ণয় সারণি : এখানে, $\mathrm{AM}=\frac{\sum f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}=\frac{1530}{46}=33.26$ এবং $\mathrm{HM}=\frac{\mathrm{N}}{\sum_{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}^{f_{\mathrm{i}}}}=\frac{46}{1.6}=28.75$ ব্যাখ্যা : যেহেতু হিসাব অনুযায়ী $\mathrm{AM}, \mathrm{HM}$ হতে বড় অর্থাৎ $\mathrm{AM}>\mathrm{HM}$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একজন চিংড়ি খামারি তার খামারে উৎপাদিত চিংড়ির ওজন নিম্নরূপ প্রদর্শন করলেন : চিংড়ির ওজন (গ্রাম) 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 চিংড়ির সংখ্যা 7 10 18 6 5

Dhaka · 2017

ক

কেন্দ্রিয় প্রবণতা কী?

উত্তর

তথ্যসারির কেন্দ্রিয় মান বা মধ্যক মানের দিকে তথ্যসারির অন্যান্য মানগুলোর একত্রিত বা ঘনীভূত বা পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাই হলো কেন্দ্রিয় প্রবণতা।

খ

গাণিতিক গড় প্রান্তীয় মান দ্বারা প্রভাবিত হয়- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

গাণিতিক গড় এমনই একটি গড় যা তথ্যসারির ছোট বড় মাঝারি সকল মানের উপর ভিত্তি করে নির্ণীত হয়। এটি নির্ণয় করতে হলে তথ্যসারির মানগুলোর যোগফলকে তথ্যসংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হয়। তথ্যসংখ্যা অপরিবর্তনীয় থাকলে, যোগফলের ওপর গাণিতিক গড় নির্ণয় করে । যদি নিবেশনে খুব বড় বা খুব ছোট মান অর্থাৎ চরম মান থাকে তবে যোগফল স্বাভাবিকের তুলনায় অনেক বড় বা অনেক ছোট হয়। ফলে গাণিতিক গড় খুব বড় বা ছোট হয়। এ ধরনের মান তথ্যসারির বেশির ভাগ ক্ষেত্রে উপরে বা নিচে অবস্থান করে। এক্ষেত্রে গাণিতিক গড় কেন্দ্রিয় প্রবণতার যথাযথ পরিমাপ দেয় না, উদাহরণস্বরূপ, ধরি, বিক্রমপুর আদর্শ ডিগ্রি কলেজের পাঁচজন ছাত্র নির্বাচনী পরীক্ষায় গণিত বিষয়ে যথাক্রমে 50, 49, 48, 40, 97 নম্বর পেয়েছে। এক্ষেত্রে তাদের গড় প্রাপ্ত নম্বর 58 যা কারও নম্বরের কাছাকাছি নয়। ফলে কারও নম্বরকেই যথাযথভাবে প্রতিনিধিত্ব করতে পারছে না। অর্থাৎ প্রতিটি মানই মধ্যক মানের প্রতিনিধিত্বমূলক পরিমাপ দিতে ব্যর্থ হচ্ছে। কারণ এখানে একটি প্রান্তিক মান 97 রয়েছে। আবার, ঢাকা কলেজের পাঁচজন ছাত্র কোনো পরীক্ষায় গণিতে যথাক্রমে 60, 63, 59, 61, 62 নম্বর পেয়েছে। তাদের গড় প্রাপ্ত নম্বর 61। এখানে কোনো প্রান্তিক মান না থাকায় সবার নম্বরকেই সঠিকভাবে প্রতিনিধিত্ব করে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে মধ্যমা নির্ণয় কর।

উত্তর

মধ্যমা নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : এখানে, $\frac{N}{2}=\frac{46}{2}=23$, যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 35 এর্ন মাবে অবস্থিত। সুতরাং মধ্যমা ল্রেণি হলো $(30-40)$ এখানে, $\mathrm{L}_1=30$ $\mathrm{f}_{\mathrm{m}}=18$ $\mathrm{~F}_{\mathrm{c}}=17$ $\mathrm{C}=10$ $\mathrm{~N}=46$ $\therefore$ মাধ্যমা, $\mathrm{Me} =\mathrm{L}_1+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{F}_{\mathrm{c}}}{f_{\mathrm{m}}} \times \mathrm{c}$ $=30+\frac{\frac{46}{2}-17}{18} \times 10$ $=30+\frac{23-17}{18} \times 10$ $=30+\frac{6 \times 10}{18}$ $=30+\frac{60}{18}$ $=30+3.33$ = 33.33 নির্ণেয় মাধ্যমা 33.33 (প্রায়)।

ঘ

উদ্দীপকের তথ্য হতে A.M এবং H.M এর মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

উদ্দীপকের তথ্য হতে AM এবং HM নির্ণয় সারণি : এখানে, $\mathrm{AM}=\frac{\sum f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}=\frac{1530}{46}=33.26$ এবং $\mathrm{HM}=\frac{\mathrm{N}}{\sum_{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}^{f_{\mathrm{i}}}}=\frac{46}{1.6}=28.75$ ব্যাখ্যা : যেহেতু হিসাব অনুযায়ী $\mathrm{AM}, \mathrm{HM}$ হতে বড় অর্থাৎ $\mathrm{AM}>\mathrm{HM}$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি কলেজে মানবিক বিভাগে মাত্র দুজন ছাত্র চতুর্থ বিষয় হিসেবে পরিসংখ্যান নিয়েছে। একাদশ শ্রেণির অর্ধবার্ষিক পরীক্ষায় ঐ দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় 25 এবং জ্যামিতিক গড় 15।

Comilla · 2017

ক

কেন্দ্রিয় প্রবণতা কী?

উত্তর

তথ্যসারির কেন্দ্রিয় মান বা মধ্যক মানের দিকে তথ্যসারির বাকি মানগুলো একত্রিত বা ঘনীভূত বা পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রিয় প্রবণতা বলে।

খ

“মধ্যমা ২য় চতুর্থকের সমান”-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মধ্যমা দ্বিতীয় চতুর্থকের সমান হয় কি-না : কোনো তথ্যসারির বা গণসংখ্যা নিবেশনের মানগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজানোর পর যে তিনটি মান উক্ত তথ্যসারি বা নিবেশনকে সমান চারভাগে বিভক্ত করে তাদেরকে চতুর্থক বলে । কোনো তথ্যসারিকে একটিসরলরেখা কল্পনা করে চতুর্থকসমূহের ব্যাখ্যা প্রদান করা হলো : চিত্রে প্রদর্শিত Q1, Q2 এবং Q3 বিন্দু তিনটি সরলরেখাকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করেছে। যেখানে Q1, Q2 এবং Q3 বিন্দু তিনটি সরলরেখাকে 1:3, 2:2 এবং 3:1 অনুপাতে বিভক্ত করে। এখানে Q1 কে ১ম চতুর্থক, Q2 কে ২য় চতুর্থক = মধ্যমা এবং Q3 কে ৩য় চতুর্থক বলা হয়। যেহেতু Q2 বিন্দুটি সরলরেখাকে 2:2 অনুপাতে অর্থাৎ সমান দুই ভাগে বিভক্ত করেছে তাই $Q^2 =$ ২য় চতুর্থক = মধ্যমা। ২য় চতুর্থক = মধ্যমা। অর্থাৎ কোনো তথ্যসারির মধ্যমা ও ২য় চতুর্থক সমান।

গ

ঐ দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর বের কর।

উত্তর

মনে করি, দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে $\mathrm{x}_1$ ও $\mathrm{x}_2$; যেখানে $\mathrm{x}_1>\mathrm{x}_2$ দেওয়া আছে, গাণিতিক গড়, $\bar{x}=25$ বা, $\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2}=25$ বা, $x_1+x_2=50$. $\qquad$ (i) জ্যামিতিক গড়, G.M. $=15$ বা, $\sqrt{\mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2}=15$ বা, $\left.\left(\sqrt{x_1 x_2}\right)^2(15)\right)^2$ বা, $x_1 x_2=225$ $\qquad$ (ii) আমরা জানি, $\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2\right)^2=\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2\right)^2-4 \mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2$ $=(50)^2-4 \times 225$ $=2500-900=1600$ $\therefore \quad\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2\right)^2=1600$ বা, $x_1-x_2=40$ $\qquad$ (iii) এখন, (ii) নং ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, $2 \mathrm{x}_1=90$ বা, $x_1=45$ $\mathrm{x}_1$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই- $45+\mathrm{x}_2=50$ বা, $x_2=5$ সুতরাং, দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে 45 ও 5।

ঘ

দু'জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের পরিসর, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান বের কর এবং এ পরিমাপগুলোর মধ্যে যে সম্পর্ক পাওয়া যাবে সে সম্বন্ধে মন্তব্য কর।

উত্তর

গ নং হতে পাই, দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে 45 ও 5। মনে করি, $\mathrm{x}_1=45, \mathrm{x}_2=5$, গাণিতিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}=25$ $\therefore$ পরিসর, $\mathrm{R}=\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2=45-5=40$ গড় ব্যবধান, $M.D. =\frac{\sum_{i=1}^2\left|x_i-\bar{x}\right|}{2}$ $=\frac{\left|x_1-\bar{x}\right|+\left|x_2-\bar{x}\right|}{2}$ $=\frac{|45-25|+|5-25|}{2}$ $=\frac{|20|+|-20|}{2}$ $=\frac{20+20}{2}=\frac{40}{2}=20$ পরিমিত ব্যবধান, $=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^2\left(x_1-\bar{x}\right)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{(45-25)^2+(5-25)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{(20)^2+(-20)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{400+400}{2}}=\sqrt{400}=20$ উপরোক্ত ফলাফলে দেখা যায় যে, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান পরিসরের অর্ধেক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি কলেজে মানবিক বিভাগে মাত্র দুজন ছাত্র চতুর্থ বিষয় হিসেবে পরিসংখ্যান নিয়েছে। একাদশ শ্রেণির অর্ধবার্ষিক পরীক্ষায় ঐ দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় 25 এবং জ্যামিতিক গড় 15।

Comilla · 2017

ক

কেন্দ্রিয় প্রবণতা কী?

উত্তর

তথ্যসারির কেন্দ্রিয় মান বা মধ্যক মানের দিকে তথ্যসারির বাকি মানগুলো একত্রিত বা ঘনীভূত বা পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রিয় প্রবণতা বলে।

খ

“মধ্যমা ২য় চতুর্থকের সমান”-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মধ্যমা দ্বিতীয় চতুর্থকের সমান হয় কি-না : কোনো তথ্যসারির বা গণসংখ্যা নিবেশনের মানগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজানোর পর যে তিনটি মান উক্ত তথ্যসারি বা নিবেশনকে সমান চারভাগে বিভক্ত করে তাদেরকে চতুর্থক বলে । কোনো তথ্যসারিকে একটিসরলরেখা কল্পনা করে চতুর্থকসমূহের ব্যাখ্যা প্রদান করা হলো : চিত্রে প্রদর্শিত Q1, Q2 এবং Q3 বিন্দু তিনটি সরলরেখাকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করেছে। যেখানে Q1, Q2 এবং Q3 বিন্দু তিনটি সরলরেখাকে 1:3, 2:2 এবং 3:1 অনুপাতে বিভক্ত করে। এখানে Q1 কে ১ম চতুর্থক, Q2 কে ২য় চতুর্থক = মধ্যমা এবং Q3 কে ৩য় চতুর্থক বলা হয়। যেহেতু Q2 বিন্দুটি সরলরেখাকে 2:2 অনুপাতে অর্থাৎ সমান দুই ভাগে বিভক্ত করেছে তাই $Q^2 =$ ২য় চতুর্থক = মধ্যমা। ২য় চতুর্থক = মধ্যমা। অর্থাৎ কোনো তথ্যসারির মধ্যমা ও ২য় চতুর্থক সমান।

গ

ঐ দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর বের কর।

উত্তর

মনে করি, দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে $\mathrm{x}_1$ ও $\mathrm{x}_2$; যেখানে $\mathrm{x}_1>\mathrm{x}_2$ দেওয়া আছে, গাণিতিক গড়, $\bar{x}=25$ বা, $\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2}=25$ বা, $x_1+x_2=50$. $\qquad$ (i) জ্যামিতিক গড়, G.M. $=15$ বা, $\sqrt{\mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2}=15$ বা, $\left.\left(\sqrt{x_1 x_2}\right)^2(15)\right)^2$ বা, $x_1 x_2=225$ $\qquad$ (ii) আমরা জানি, $\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2\right)^2=\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2\right)^2-4 \mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2$ $=(50)^2-4 \times 225$ $=2500-900=1600$ $\therefore \quad\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2\right)^2=1600$ বা, $x_1-x_2=40$ $\qquad$ (iii) এখন, (ii) নং ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, $2 \mathrm{x}_1=90$ বা, $x_1=45$ $\mathrm{x}_1$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই- $45+\mathrm{x}_2=50$ বা, $x_2=5$ সুতরাং, দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে 45 ও 5।

ঘ

দু'জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের পরিসর, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান বের কর এবং এ পরিমাপগুলোর মধ্যে যে সম্পর্ক পাওয়া যাবে সে সম্বন্ধে মন্তব্য কর।

উত্তর

গ নং হতে পাই, দুজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে 45 ও 5। মনে করি, $\mathrm{x}_1=45, \mathrm{x}_2=5$, গাণিতিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}=25$ $\therefore$ পরিসর, $\mathrm{R}=\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2=45-5=40$ গড় ব্যবধান, $M.D. =\frac{\sum_{i=1}^2\left|x_i-\bar{x}\right|}{2}$ $=\frac{\left|x_1-\bar{x}\right|+\left|x_2-\bar{x}\right|}{2}$ $=\frac{|45-25|+|5-25|}{2}$ $=\frac{|20|+|-20|}{2}$ $=\frac{20+20}{2}=\frac{40}{2}=20$ পরিমিত ব্যবধান, $=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^2\left(x_1-\bar{x}\right)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{(45-25)^2+(5-25)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{(20)^2+(-20)^2}{2}}$ $=\sqrt{\frac{400+400}{2}}=\sqrt{400}=20$ উপরোক্ত ফলাফলে দেখা যায় যে, গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান পরিসরের অর্ধেক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

নিচের সারণিতে রংপুর সরকারি কলেজের দুইটি সেকশনের প্রথম সেমিস্টার পরীক্ষার একটি বিষয়ের নম্বরের বিন্যাস দেওয়া হলো :

Rajshahi · 2018

ক

মধ্যমা কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনের মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্নক্রমে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে ঐ মানটিই হলো উক্ত তথ্যসারির মধ্যমা।

খ

সূচক সংখ্যা নির্ণয়ে কোন গড় উত্তম বলে বিবেচিত হয়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সূচক সংখ্যা নির্ণয়ে জ্যামিতিক গড় উত্তম বলে বিবেচিত হয়। যে সংখ্যার সাহায্যে সময়, স্থান বা অন্য কোনো বৈশিষ্ট্যের সাপেক্ষে কতকগুলো দ্রব্যের মূল্য, উৎপাদন বা মানের আপেক্ষিক পরিবর্তন পরিমাপ করা হয় তাকে সূচক সংখ্যা বলে । জ্যামিতিক গড় খুব ছোট বা বড় মান দ্বারা প্রভাবিত হয় না । জ্যামিতিক গড়ের সাহায্যে নির্ণীত সূচক সংখ্যার ভিত্তি বছর পরিবর্তন সহজ। জ্যামিতিক গড়ের সাহায্যে নির্ণীত সূচক সংখ্যা সময় পাল্টানো এবং উপাদান পাল্টানো উভয় পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়। তাই সূচক সংখ্যা নির্ণয়ে জ্যামিতিক গড় উত্তম বলে বিবেচিত হয়।

গ

সেকশন A-এর গাণিতিক গড় নির্ণয় কর।

উত্তর

সেকশন A এর গাণিতিক গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : আমরা জানি, গাণি তিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}(\mathrm{A}) =\frac{\sum f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}_1}$ $=\frac{3445}{90}=38.28$ সুতরাং সেকশন A এর ছাত্র/ছাত্রিদের নম্বরের গড় 38.28।

ঘ

ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড়, সেকশন B-এর গড় নম্বর অপেক্ষা কি বেশি? মতামত দাও।

উত্তর

সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : আমরা জানি, গাণিতিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}(\mathrm{B})=\frac{\sum f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}_2}$ $=\frac{3237.5}{85}=38.09$ সুতরাং সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীদের নম্বরের গড় 38.09 এখন, 'ক' হতে পাই, সেকশন A-এর ছাত্র/ছাত্রী সংখ্যা, N1 = 90 সেকশন A এর ছাত্র/ছাত্রীদের নম্বরের গড়, $\bar{x}(\mathrm{~A})$ = 38.28 এবং সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা, $N^2 = 85$ সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীদের নম্বরের গড়, $\overline{\mathrm{x}}(\mathrm{B})$ = 38.09 আমরা জানি, ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড়, $\begin{aligned} \bar{x}_{\mathrm{c}} & =\frac{N_1 \bar{x}(A)+N_2 \bar{x}(B)}{N_1+N_2} \\ & =\frac{(90 \times 38.28)+(85 \times 38.09)}{90+85} \\ & =\frac{3445.2+3237.65}{175} \\ & =\frac{6682.85}{175}=38.19\end{aligned}$ সুতরাং, ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড় 38.19 এখন, 38.19 > 38.09 অতএব, ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড়, সেকশন B এর গড় নম্বর অপেক্ষা বেশি।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

নিচের সারণিতে রংপুর সরকারি কলেজের দুইটি সেকশনের প্রথম সেমিস্টার পরীক্ষার একটি বিষয়ের নম্বরের বিন্যাস দেওয়া হলো :

Rajshahi · 2018

ক

মধ্যমা কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনের মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্নক্রমে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে ঐ মানটিই হলো উক্ত তথ্যসারির মধ্যমা।

খ

সূচক সংখ্যা নির্ণয়ে কোন গড় উত্তম বলে বিবেচিত হয়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সূচক সংখ্যা নির্ণয়ে জ্যামিতিক গড় উত্তম বলে বিবেচিত হয়। যে সংখ্যার সাহায্যে সময়, স্থান বা অন্য কোনো বৈশিষ্ট্যের সাপেক্ষে কতকগুলো দ্রব্যের মূল্য, উৎপাদন বা মানের আপেক্ষিক পরিবর্তন পরিমাপ করা হয় তাকে সূচক সংখ্যা বলে । জ্যামিতিক গড় খুব ছোট বা বড় মান দ্বারা প্রভাবিত হয় না । জ্যামিতিক গড়ের সাহায্যে নির্ণীত সূচক সংখ্যার ভিত্তি বছর পরিবর্তন সহজ। জ্যামিতিক গড়ের সাহায্যে নির্ণীত সূচক সংখ্যা সময় পাল্টানো এবং উপাদান পাল্টানো উভয় পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়। তাই সূচক সংখ্যা নির্ণয়ে জ্যামিতিক গড় উত্তম বলে বিবেচিত হয়।

গ

সেকশন A-এর গাণিতিক গড় নির্ণয় কর।

উত্তর

সেকশন A এর গাণিতিক গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : আমরা জানি, গাণি তিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}(\mathrm{A}) =\frac{\sum f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}_1}$ $=\frac{3445}{90}=38.28$ সুতরাং সেকশন A এর ছাত্র/ছাত্রিদের নম্বরের গড় 38.28।

ঘ

ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড়, সেকশন B-এর গড় নম্বর অপেক্ষা কি বেশি? মতামত দাও।

উত্তর

সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : আমরা জানি, গাণিতিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}(\mathrm{B})=\frac{\sum f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}_2}$ $=\frac{3237.5}{85}=38.09$ সুতরাং সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীদের নম্বরের গড় 38.09 এখন, 'ক' হতে পাই, সেকশন A-এর ছাত্র/ছাত্রী সংখ্যা, N1 = 90 সেকশন A এর ছাত্র/ছাত্রীদের নম্বরের গড়, $\bar{x}(\mathrm{~A})$ = 38.28 এবং সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা, $N^2 = 85$ সেকশন B এর ছাত্র/ছাত্রীদের নম্বরের গড়, $\overline{\mathrm{x}}(\mathrm{B})$ = 38.09 আমরা জানি, ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড়, $\begin{aligned} \bar{x}_{\mathrm{c}} & =\frac{N_1 \bar{x}(A)+N_2 \bar{x}(B)}{N_1+N_2} \\ & =\frac{(90 \times 38.28)+(85 \times 38.09)}{90+85} \\ & =\frac{3445.2+3237.65}{175} \\ & =\frac{6682.85}{175}=38.19\end{aligned}$ সুতরাং, ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড় 38.19 এখন, 38.19 > 38.09 অতএব, ছাত্র/ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের সম্মিলিত গড়, সেকশন B এর গড় নম্বর অপেক্ষা বেশি।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

কোনো কলেজের দ্বাদশ শ্রেণির 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যান বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন নিমরূপ :

Dhaka · 2019

ক

প্রচুরক কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনে যে মানটি অধিক সংখ্যকবার থাকে ঐ মানটিই হলো উক্ত তথ্যসারির প্রচুরক।

খ

মধ্যমা সকল মানের উপর নির্ভর করে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মধ্যমা সকল মানের উপর নির্ভর করে না। ব্যাখ্যা : কোনো তথ্যসারির মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্ন ক্রমানুসারে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে ঐ মানটিকে মধ্যমা বলে। অর্থাৎ, মধ্যমা হলো কোনো তথ্যসারির মধ্যবর্তী মান অতএব, মধ্যমা সকল মানের উপর নির্ভর করে না, ইহা কেবলমাত্র মধ্যবর্তী মানের উপর নির্ভর করে।

গ

প্রদত্ত নিবেশনের মধ্যমা নির্ণয় কর।

উত্তর

গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : মধ্যমা $=\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$ তম পদ; যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 70 এর বিপরীত $(60-70)$ শ্রেণিতে অবস্থিত। সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি $(60-70) ।$ এখানে, $\mathrm{L}=$ মধ্যমা শ্রেণির নিম্নমান $=60$ $\mathrm{N}=$ মোট গণসংখ্যা $=100, f_{\mathrm{m}}=$ মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা $=35$ $\mathrm{F}_{\mathrm{C}}=$ মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা = 35 $\mathrm{C}=$ মধ্যমা শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান $=10$ আমরা জানি, মধ্যমা $\mathrm{M}_{\mathrm{e}}=\mathrm{L}+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{F}_{\mathrm{C}}}{f_{\mathrm{m}}} \times \mathrm{C}$ $=60+\frac{50-35}{35} \times 10$ $=60+\frac{15}{35} \times 10$ $=60+\frac{150}{35}$ $=60+4.29$ $=64.29$ সুতরাং, নির্ণেয় মধ্যমা = 64.29।

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে গড়, মধ্যমা ও প্রচুকের সাহায্যে তথ্যের প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

এখানে, $A=$ অনুমিত গড় $=65$ $\mathrm{N}=$ মোট গণসংখ্যা $=100$ $\Sigma f_{i} \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}=10$ $\mathrm{C}=$ শ্রেণি ব্যবধান $=10$ আমরা জানি, গাণিতিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} \mathrm{~d}_{1}}{\mathrm{~N}} \times \mathrm{C}$ $=65+\frac{-10}{100} \times 10$ $=65 i-\frac{100}{100}$ $=65-1$ $=64$ প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশনের $(60-70)$ শ্রেণির গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি শ্রেণি $(60-70)$। এখানে, $\mathrm{L}=$ প্রচুরক শ্রেণির নিম্নমান $=60$ $\Delta_{1}=$ প্রচুরক শ্রেণি ও তার পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য $=35-20=15$ $\Delta_{2}=$ প্রচুরক শ্রেণি ও তার পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য $=35-20=15$ $\mathrm{C}=$ প্রচুরক শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান = 10 আমরা জানি, প্রচুরক, $\mathrm{M}_{\mathrm{O}}=\mathrm{L}+\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \times \mathrm{C}$ $=60+\frac{15}{15+15} \times 10$ $=60+\frac{150}{30}$ $=60+5=65$ 'গ' হতে পাই, মধ্যমা, $\mathrm{M}_{\mathrm{e}}=64.29$। এখানে, গড় $=64$, মধ্যমা $=64.29$ এবং প্রচুরক $=65$। অর্থাৎ, গড় < মধ্যমা < প্রচুরক। মন্তব্য : : যেহেতু প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশনের ক্ষেত্রে, গড় < মধ্যমা < প্রচুরক। সুতরাং, প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশনটি ঋণাত্মক বঙ্কিম।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

কোনো কলেজের দ্বাদশ শ্রেণির 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যান বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন নিমরূপ :

Dhaka · 2019

ক

প্রচুরক কী?

উত্তর

কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনে যে মানটি অধিক সংখ্যকবার থাকে ঐ মানটিই হলো উক্ত তথ্যসারির প্রচুরক।

খ

মধ্যমা সকল মানের উপর নির্ভর করে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মধ্যমা সকল মানের উপর নির্ভর করে না। ব্যাখ্যা : কোনো তথ্যসারির মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্ন ক্রমানুসারে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে ঐ মানটিকে মধ্যমা বলে। অর্থাৎ, মধ্যমা হলো কোনো তথ্যসারির মধ্যবর্তী মান অতএব, মধ্যমা সকল মানের উপর নির্ভর করে না, ইহা কেবলমাত্র মধ্যবর্তী মানের উপর নির্ভর করে।

গ

প্রদত্ত নিবেশনের মধ্যমা নির্ণয় কর।

উত্তর

গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি : মধ্যমা $=\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50$ তম পদ; যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 70 এর বিপরীত $(60-70)$ শ্রেণিতে অবস্থিত। সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি $(60-70) ।$ এখানে, $\mathrm{L}=$ মধ্যমা শ্রেণির নিম্নমান $=60$ $\mathrm{N}=$ মোট গণসংখ্যা $=100, f_{\mathrm{m}}=$ মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা $=35$ $\mathrm{F}_{\mathrm{C}}=$ মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা = 35 $\mathrm{C}=$ মধ্যমা শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান $=10$ আমরা জানি, মধ্যমা $\mathrm{M}_{\mathrm{e}}=\mathrm{L}+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{F}_{\mathrm{C}}}{f_{\mathrm{m}}} \times \mathrm{C}$ $=60+\frac{50-35}{35} \times 10$ $=60+\frac{15}{35} \times 10$ $=60+\frac{150}{35}$ $=60+4.29$ $=64.29$ সুতরাং, নির্ণেয় মধ্যমা = 64.29।

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে গড়, মধ্যমা ও প্রচুকের সাহায্যে তথ্যের প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

এখানে, $A=$ অনুমিত গড় $=65$ $\mathrm{N}=$ মোট গণসংখ্যা $=100$ $\Sigma f_{i} \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}=10$ $\mathrm{C}=$ শ্রেণি ব্যবধান $=10$ আমরা জানি, গাণিতিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} \mathrm{~d}_{1}}{\mathrm{~N}} \times \mathrm{C}$ $=65+\frac{-10}{100} \times 10$ $=65 i-\frac{100}{100}$ $=65-1$ $=64$ প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশনের $(60-70)$ শ্রেণির গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি শ্রেণি $(60-70)$। এখানে, $\mathrm{L}=$ প্রচুরক শ্রেণির নিম্নমান $=60$ $\Delta_{1}=$ প্রচুরক শ্রেণি ও তার পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য $=35-20=15$ $\Delta_{2}=$ প্রচুরক শ্রেণি ও তার পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য $=35-20=15$ $\mathrm{C}=$ প্রচুরক শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান = 10 আমরা জানি, প্রচুরক, $\mathrm{M}_{\mathrm{O}}=\mathrm{L}+\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \times \mathrm{C}$ $=60+\frac{15}{15+15} \times 10$ $=60+\frac{150}{30}$ $=60+5=65$ 'গ' হতে পাই, মধ্যমা, $\mathrm{M}_{\mathrm{e}}=64.29$। এখানে, গড় $=64$, মধ্যমা $=64.29$ এবং প্রচুরক $=65$। অর্থাৎ, গড় < মধ্যমা < প্রচুরক। মন্তব্য : : যেহেতু প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশনের ক্ষেত্রে, গড় < মধ্যমা < প্রচুরক। সুতরাং, প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশনটি ঋণাত্মক বঙ্কিম।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো