Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি প্রদত্ত ত্রিভুজে [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, [গণিত] -এ [গণিত] ও CO মধ্যমা তিনটি পরস্পর [গণিত] বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করেছে এবং [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: মনে করি, [গণিত] এবং [গণিত] . [গণিত] এর AM একটি মধ্যমা [গণিত] [এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (i) অনুরূপভাবে, [গণিত] এবং, [গণিত] . (iii) (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] .. (iv) আবার, যেহেতু [গণিত] এক সমকোণ এবং অতিভুজ [গণিত] .. (v) এখন, (iv) ও (v) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

যদি প্রদত্ত ত্রিভুজে হয়, তবে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M,N\mathrm{M}, \mathrm{N} এবং O .

Barisal · 2023

উত্তর

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, বাহুর দৈর্ঘ্য =3×=\sqrt{3} \times পরিবত্তের ব্যাসার্ধ =3×4=\sqrt{3} \times 4 সে.মি. =43=4 \sqrt{3} সে.মি. (Ans.)

উত্তর

question image মনে করি, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BN মধ্যমা AC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2+BC2=2(AN2+BN2)\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2=2\left(\mathrm{AN}^2+\mathrm{BN}^2\right). অঙ্কন : B বিন্দু হতে BE⊥AC\mathrm{BE} \perp \mathrm{AC} আঁকি। প্রমাণ : △BNC\triangle \mathrm{BNC} এর ∠BNC\angle \mathrm{BNC} স্থূলকোণ এবং CN রেখার উপর BN এর লম্ব অভিক্ষেপ EN। ∴ স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, BC2=BN2+CN2+2CN⋅EN\mathrm{BC}^2=\mathrm{BN}^2+\mathrm{CN}^2+2 \mathrm{CN} \cdot \mathrm{EN} আবার, △BAN\triangle \mathrm{BAN} এর ∠BNA\angle \mathrm{BNA} সূক্ষ্মকোণ এবং AN রেখার উপর BN এর লম্ব অভিক্ষেপ EN। ∴ সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, AB2=AN2+BN2−2AN⋅EN\mathrm{AB}^2=\mathrm{AN}^2+\mathrm{BN}^2-2 \mathrm{AN} \cdot \mathrm{EN} এখন, (i) ও (ii) নং যোগ করে পাই, AB2+BC2=BN2+CN2+2CN⋅EN+BN2+AN2−2AN⋅EN\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2 =\mathrm{BN}^2+\mathrm{CN}^2+2 \mathrm{CN} \cdot \mathrm{EN}+\mathrm{BN}^2+\mathrm{AN}^2-2 \mathrm{AN} \cdot \mathrm{EN} =2BN2+AN2+2AN⋅EN+AN2−2AN⋅EN=2 \mathrm{BN}^2+\mathrm{AN}^2+2 \mathrm{AN} \cdot \mathrm{EN}+\mathrm{AN}^2-2 \mathrm{AN} \cdot \mathrm{EN} [∵AN=CN][\because \mathrm{AN}=\mathrm{CN}] =2BN2+2AN2=2 \mathrm{BN}^2+2 \mathrm{AN}^2 ∴AB2+BC2=2(AN2+BN2)\therefore \mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2=2\left(\mathrm{AN}^2+\mathrm{BN}^2\right). (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এ AM,BN\mathrm{AM}, \mathrm{BN} ও CO মধ্যমা তিনটি পরস্পর MM বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করেছে এবং ∠ABC=90∘\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ} । প্রমাণ করতে হবে যে, AC2=23(AM2+BN2+CO2)\mathrm{AC}^2 =\frac{2}{3}\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2+\mathrm{CO}^2\right) প্রমাণ: মনে করি, BC=a,AC=b,AB=c\mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{AC}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c} এবং AM=d,BN=e,CO=f\mathrm{AM}=\mathrm{d}, \mathrm{BN}=\mathrm{e}, \mathrm{CO}=\mathrm{f}. △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AM একটি মধ্যমা ∴AC2+AB2=2(AM2+BM2)\therefore \mathrm{AC}^2+\mathrm{AB}^2=2\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2\right) [এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে] বা, b2+c2=2{d2+(12a)2}b^2+c^2 =2\left\{d^2+\left(\frac{1}{2} a\right)^2\right\} [∵BM=12BC=12a]\left[\because B M=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} a\right] =2d2+2×14a2=2d2+12a2=2 d^2+2 \times \frac{1}{4} a^2=2 d^2+\frac{1}{2} a^2 বা, 2( b2+c2)=4 d2+a22\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)=4 \mathrm{~d}^2+\mathrm{a}^2 বা, 4 d2=2( b2+c2)−a24 \mathrm{~d}^2=2\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)-\mathrm{a}^2 ∴d2=2( b2+c2)−a24\therefore \mathrm{d}^2=\frac{2\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)-\mathrm{a}^2}{4} …….(i)\ldots\ldots. (i) অনুরূপভাবে, e2=2(c2+a2)−b24…(ii)\mathrm{e}^2=\frac{2\left(\mathrm{c}^2+\mathrm{a}^2\right)-\mathrm{b}^2}{4} \ldots (ii) এবং, f2=2(a2+b2)−c24\mathrm{f}^2=\frac{2\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2\right)-\mathrm{c}^2}{4}
…….(iii)(i),(ii)\ldots\ldots. (iii) (i), (ii)
ও (iii) নং যোগ করে পাই, d2+e2+f2=2( b2+c2)−a24+2(c2+a2)−b24+2(a2+b2)−c24\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2=\frac{2\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)-\mathrm{a}^2}{4}+\frac{2\left(\mathrm{c}^2+\mathrm{a}^2\right)-\mathrm{b}^2}{4}+\frac{2\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2\right)-\mathrm{c}^2}{4} বা, 4( d2+e2+f2)=2 b2+2c2+2a2−a2+2c2−b2+2a2+2 b2−c24\left(\mathrm{~d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2\right)=2 \mathrm{~b}^2+2 \mathrm{c}^2+2 \mathrm{a}^2-\mathrm{a}^2+2 \mathrm{c}^2-\mathrm{b}^2+2 \mathrm{a}^2+2 \mathrm{~b}^2-\mathrm{c}^2 বা, 4( d2+e2+f2)=3(a2+b2+c2)4\left(\mathrm{~d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2\right)=3\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2\right) বা, 4(AM2+BN2+CO2)=3(AC2+AB2+BC2)4\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2+\mathrm{CO}^2\right)=3\left(\mathrm{AC}^2+\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2\right) ……..(iv)\ldots\ldots.. (iv) আবার, যেহেতু ∠ABC=\angle \mathrm{ABC}= এক সমকোণ এবং অতিভুজ =AC=\mathrm{AC} ∴AC2=AB2+BC2\therefore \mathrm{AC}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2 ……..(v)\ldots\ldots.. (v) এখন, (iv) ও (v) নং হতে পাই, 4(AM2+BN2+CO2)=3(AC2+AC2)4\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2+\mathrm{CO}^2\right)=3\left(\mathrm{AC}^2+\mathrm{AC}^2\right) বা, 4(AM2+BN2+CO2)=3×2AC24\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2+\mathrm{CO}^2\right)=3 \times 2 \mathrm{AC}^2 বা, 4(AM2+BN2+CO2)=6AC24\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2+\mathrm{CO}^2\right)=6 \mathrm{AC}^2 ∴AC2=23(AM2+BN2+CO2)\therefore \mathrm{AC}^2=\frac{2}{3}\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2+\mathrm{CO}^2\right) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন