Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের PR ও QS দুইটি কর্ণ। PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। প্রমাণ করতে হবে যে, PR. [গণিত] | অঙ্কন : [গণিত] কে [গণিত] থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে [গণিত] এর সমান করে [গণিত] আঁকি যেন PT রেখা QS কর্ণকে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] যোগ করে] [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান [গণিত] এবং অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী। [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] . (i) আবার, [গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] [অঙ্কন অনুসারে] [গণিত] একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান] এবং অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী। [গণিত] বা, [গণিত] . (ii) (i) ও (ii) যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত।

Dinajpur · 2023

উত্তর

question image PE⊥QS\mathrm{PE} \perp \mathrm{QS} হলে, PS\mathrm{PS} এর লম্ব অভিক্ষেপ ES\mathrm{ES} .

উত্তর

question image এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS একটি চতুর্ভুজ । প্রমাণ করতে হবে যে, PQ2+QR2=2(OQ2+OP2)\mathrm{PQ}^2+\mathrm{QR}^2=2 \left(\mathrm{OQ}^2+\mathrm{OP}^2\right) অঙ্কন : PR এর উপর QL লম্ব অঙ্কন করি। প্রমাণ : △POQ\triangle \mathrm{POQ} এ OP = OQ [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] △POQ\triangle \mathrm{POQ} এ ∠POQ\angle \mathrm{POQ} স্থূলকোণ এবং PO রেখার বর্ধিতাংশের উপর OQ রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OL. স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, PQ2=OP2+OQ2+2⋅OP⋅OL\mathrm{PQ}^2=\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2+2 \cdot \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OL}………(i)\ldots\ldots\ldots (i) আবার, △QOR\triangle \mathrm{QOR} এ ∠QOR\angle \mathrm{QOR} সূক্ষ্মকোণ এবং OR রেখার উপর OQ রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OL। সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, QR2=OQ2+OR2−2⋅OR⋅OL\mathrm{QR}^2=\mathrm{OQ}^2+\mathrm{OR}^2-2 \cdot \mathrm{OR} \cdot \mathrm{OL} ………(ii)\ldots\ldots\ldots (ii) এখন (i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, PQ2+QR2=OP2+OQ2+2⋅OP⋅OL+OQ2+OR2−2⋅OR⋅OL\mathrm{PQ}^2+\mathrm{QR}^2=\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2+2 \cdot \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OL}+\mathrm{OQ}^2+\mathrm{OR}^2-2 \cdot \mathrm{OR} \cdot \mathrm{OL} =2OQ2+OP2+OR2+2⋅OP⋅OL−2⋅OR⋅OL=2 \mathrm{OQ}^2+\mathrm{OP}^2+\mathrm{OR}^2+2 \cdot \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OL}-2 \cdot \mathrm{OR} \cdot \mathrm{OL} =2OQ2+OP2+OP2+2⋅OP⋅OL−2⋅OP⋅OL[∵OP=OR]=2 \mathrm{OQ}^2+\mathrm{OP}^2+\mathrm{OP}^2+2 \cdot \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OL}-2 \cdot \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OL} \quad[\because \mathrm{OP}=\mathrm{OR}] =2OQ2+2OP2=2(OQ2+OP2)=2 \mathrm{OQ}^2+2 \mathrm{OP}^2=2\left(\mathrm{OQ}^2+\mathrm{OP}^2\right) ∴QP2+QR2=2(OQ2+OP2)⋅\therefore \mathrm{QP}^2+\mathrm{QR}^2=2\left(\mathrm{OQ}^2+\mathrm{OP}^2\right) \cdot (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের PR ও QS দুইটি কর্ণ। PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। প্রমাণ করতে হবে যে, PR. QS=PQ.RS+QR.PSQS = PQ. RS + QR. PS | অঙ্কন : ∠QPR\angle \mathrm{QPR} কে ∠SPR\angle \mathrm{SPR} থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR\angle Q P R এর সমান করে ∠SPT\angle \mathrm{SPT} আঁকি যেন PT রেখা QS কর্ণকে T\mathrm{T} বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, ∠QPR=∠SPT\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPT} বা, ∠QPR+∠RPT=∠SPT+∠RPT[∠RPT\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{RPT}=\angle \mathrm{SPT}+\angle \mathrm{RPT}[\angle \mathrm{RPT} যোগ করে] ∴∠QPT=∠RPS\therefore \angle \mathrm{QPT}=\angle \mathrm{RPS} এখন, △PQT\triangle \mathrm{PQT} ও △PRS\triangle \mathrm{PRS} এর মধ্যে ∠QPT=∠RPS,∠PQS=∠PRS[∵\angle \mathrm{QPT}=\angle \mathrm{RPS}, \angle \mathrm{PQS}=\angle \mathrm{PRS} \quad[\because একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান ]] এবং অবশিষ্ট ∠PTQ=\angle \mathrm{PTQ}= অবশিষ্ট ∠PSR\angle \mathrm{PSR} ∴△PQT\therefore \triangle \mathrm{PQT} ও △PRS\triangle \mathrm{PRS} সদৃশকোণী। ∴QTRS=PQPR\therefore \frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}} অর্থাৎ PR⋅QT=PQ⋅RS\mathrm{PR} \cdot \mathrm{QT}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{RS} …….(i)\ldots\ldots. (i) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR} ও △PTS\triangle \mathrm{PTS} এর মধ্যে ∠QPR=∠SPT\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPT} [অঙ্কন অনুসারে] ∠PRQ=∠PST[∵\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{PST}[\because একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান] এবং অবশিষ্ট ∠PQR=\angle \mathrm{PQR}= অবশিষ্ট ∠PTS\angle \mathrm{PTS} ∴△PQR\therefore \triangle \mathrm{PQR} ও △PTS\triangle \mathrm{PTS} সদৃশকোণী। ∴PSPR=STQR\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{QR}} বা, PR.ST=QR.PS\mathrm{PR} . \mathrm{ST}=\mathrm{QR} . \mathrm{PS}
…….(ii)(i)\ldots\ldots. (ii) (i)
ও (ii) যোগ করে পাই, PR⋅QT+PR⋅ST=PQ⋅RS+QR⋅PS\mathrm{PR} \cdot \mathrm{QT}+\mathrm{PR} \cdot \mathrm{ST}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR} \cdot \mathrm{PS} বা, PR(QT+ST)=PQ.RS+QR.PSPR (QT + ST) = PQ . RS + QR . PS ∴PR⋅QS=PQ⋅RS+QR⋅PS[∵QT+ST=QS]\therefore \mathrm{PR} \cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR} \cdot \mathrm{PS}[\because \mathrm{QT}+\mathrm{ST}=\mathrm{QS}] ∴PR⋅QS=PQ⋅RS+QR⋅PS⋅\therefore \mathrm{PR} \cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR} \cdot \mathrm{PS} \cdot (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন