Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: এখানে, [গণিত] -এ DL, EM ও FN তিনটি মধ্যমা। দেখাতে হবে যে, [গণিত] . [চিত্র] প্রমাণ : [গণিত] -এ DL একটি মধ্যমা। এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে, [গণিত] = [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) অনুরূপভাবে, [গণিত] .. (ii) এবং [গণিত] .. (iii) (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] বা, [গণিত] . (দেখানো হলো)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

দেখাও যে, .

উদ্দীপক

question image চিত্রে DL, EM এবং FN তিনটি মধ্যমা।

Mymensingh · 2022

উত্তর

মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে d=3\mathrm{d}=3 সে.মি., e=4\mathrm{e}=4 সে.মি. ও f=6\mathrm{f}=6 সে.মি. এবং অতিভুজ = c\mathrm{c} সে.মি.। ∴2(d2+e2+f2)=3c2\therefore 2(\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2) = 3\mathrm{c}^2 [∵\because সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান] বা, c2=23(d2+e2+f2)=23(32+42+62)=23(9+16+36)=1223\mathrm{c}^2 = \frac{2}{3}(\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2) = \frac{2}{3}(3^2+4^2+6^2) = \frac{2}{3}(9+16+36) = \frac{122}{3} ∴c=1223=6.37\therefore \mathrm{c} = \sqrt{\frac{122}{3}} = 6.37 সে.মি. (প্রায়) ∴\therefore অতিভুজের দৈর্ঘ্য 6.37 সে.মি. (প্রায়)।

উত্তর

এখানে, △DEF\triangle \mathrm{DEF}-এ DL একটি মধ্যমা। সুতরাং L, EF এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, DE2+DF2=2(DL2+LF2)\mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2 = 2(\mathrm{DL}^2 + \mathrm{LF}^2). question image প্রমাণ : △DEL\triangle \mathrm{DEL}-এ ∠DLE\angle\mathrm{DLE} স্থূলকোণ এবং EF রেখার উপর DL রেখার লম্ব অভিক্ষেপ LG। সুতরাং স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, DE2=DL2+LE2+2LE⋅LG\mathrm{DE}^2 = \mathrm{DL}^2 + \mathrm{LE}^2 + 2\mathrm{LE} \cdot \mathrm{LG} …….(i)\ldots\ldots. (i) আবার, △DFL\triangle \mathrm{DFL}-এ ∠DLF\angle\mathrm{DLF} সূক্ষ্মকোণ এবং EF রেখার উপর DL রেখার লম্ব অভিক্ষেপ LG। সুতরাং সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, DF2=DL2+LF2−2LF⋅LG\mathrm{DF}^2 = \mathrm{DL}^2 + \mathrm{LF}^2 - 2\mathrm{LF} \cdot \mathrm{LG}
…….(ii)(i)\ldots\ldots. (ii) (i)
ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, DE2+DF2=DL2+LE2+2LE⋅LG+DL2+LF2−2LF⋅LG\mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2 = \mathrm{DL}^2 + \mathrm{LE}^2 + 2\mathrm{LE} \cdot \mathrm{LG} + \mathrm{DL}^2 + \mathrm{LF}^2 - 2\mathrm{LF} \cdot \mathrm{LG} = 2DL2+LF2+2LF⋅LG+LF2−2LF⋅LG [∵LE=LF]2\mathrm{DL}^2 + \mathrm{LF}^2 + 2\mathrm{LF} \cdot \mathrm{LG} + \mathrm{LF}^2 - 2\mathrm{LF} \cdot \mathrm{LG}\ [\because \mathrm{LE}=\mathrm{LF}] = 2DL2+2LF22\mathrm{DL}^2 + 2\mathrm{LF}^2 ∴DE2+DF2=2(DL2+LF2)\therefore \mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2 = 2(\mathrm{DL}^2 + \mathrm{LF}^2). (প্রমাণিত)

উত্তর

এখানে, △DEF\triangle \mathrm{DEF}-এ DL, EM ও FN তিনটি মধ্যমা। দেখাতে হবে যে, 3(DE2+EF2+DF2)=4(DL2+EM2+FN2)3(\mathrm{DE}^2 + \mathrm{EF}^2 + \mathrm{DF}^2) = 4(\mathrm{DL}^2 + \mathrm{EM}^2 + \mathrm{FN}^2). question image প্রমাণ : △DEF\triangle \mathrm{DEF}-এ DL একটি মধ্যমা। এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে, DE2+DF2=2(DL2+LE2)\mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2 = 2(\mathrm{DL}^2 + \mathrm{LE}^2) = 2{DL2+(12EF)2}=2DL2+2⋅14EF2=2DL2+12EF22\{\mathrm{DL}^2 + (\frac{1}{2}\mathrm{EF})^2\} = 2\mathrm{DL}^2 + 2 \cdot \frac{1}{4} \mathrm{EF}^2 = 2\mathrm{DL}^2 + \frac{1}{2}\mathrm{EF}^2 বা, DE2+DF2=4DL2+EF22\mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2 = \frac{4\mathrm{DL}^2 + \mathrm{EF}^2}{2} বা, 4DL2+EF2=2(DE2+DF2)4\mathrm{DL}^2 + \mathrm{EF}^2 = 2(\mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2) বা, 4DL2=2(DE2+DF2)−EF24\mathrm{DL}^2 = 2(\mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2) - \mathrm{EF}^2 ∴DL2=2(DE2+DF2)−EF24\therefore \mathrm{DL}^2 = \frac{2(\mathrm{DE}^2 + \mathrm{DF}^2) - \mathrm{EF}^2}{4} ……..(i)\ldots\ldots.. (i) অনুরূপভাবে, EM2=2(DE2+EF2)−DF24\mathrm{EM}^2 = \frac{2(\mathrm{DE}^2 + \mathrm{EF}^2) - \mathrm{DF}^2}{4} ……..(ii)\ldots\ldots.. (ii) এবং FN2=2(DF2+EF2)−DE24\mathrm{FN}^2 = \frac{2(\mathrm{DF}^2 + \mathrm{EF}^2) - \mathrm{DE}^2}{4}
……..(iii)(i),(ii)\ldots\ldots.. (iii) (i), (ii)
ও (iii) নং যোগ করে পাই, DL2+EM2+FN2\mathrm{DL}^2 + \mathrm{EM}^2 + \mathrm{FN}^2 = 2(DE2+DF2)−EF24+2(DE2+EF2)−DF24+2(DF2+EF2)−DE24\frac{2(\mathrm{DE}^2+\mathrm{DF}^2)-\mathrm{EF}^2}{4} + \frac{2(\mathrm{DE}^2+\mathrm{EF}^2)-\mathrm{DF}^2}{4} + \frac{2(\mathrm{DF}^2+\mathrm{EF}^2)-\mathrm{DE}^2}{4} = 4DE2+4DF2+4EF2−DE2−DF2−EF24\frac{4\mathrm{DE}^2 + 4\mathrm{DF}^2 + 4\mathrm{EF}^2 - \mathrm{DE}^2 - \mathrm{DF}^2 - \mathrm{EF}^2}{4} বা, 4(DL2+EM2+FN2)=3(DE2+EF2+DF2)4(\mathrm{DL}^2 + \mathrm{EM}^2 + \mathrm{FN}^2) = 3(\mathrm{DE}^2 + \mathrm{EF}^2 + \mathrm{DF}^2) ∴3(DE2+EF2+DF2)=4(DL2+EM2+FN2)\therefore 3(\mathrm{DE}^2 + \mathrm{EF}^2 + \mathrm{DF}^2) = 4(\mathrm{DL}^2 + \mathrm{EM}^2 + \mathrm{FN}^2). (দেখানো হলো)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন