Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের ত্রিভুজটির মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AD, BE ও CF হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, ∆ABC এর BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c। BC, CA ও AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা AD, BE ও CF এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে d, e, ও f। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . তাহলে, এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] [∵ BD = [গণিত] ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অনুরূপভাবে পাওয়া যায়, [গণিত] এবং [গণিত] সুতরাং বলা যায় কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে মধ্যমাসমূহের দৈর্ঘ্য জানা যায়। আবার, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] ∴ [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

উদ্দীপকের ত্রিভুজটির মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AD, BE ও CF হলে…

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু যথাক্রমে S, G ও O.

Combined · 2018

উত্তর

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ (Orthogonal Projection of a Point): কোন নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়। মনে করি, XY\mathrm{XY} একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো বিন্দু (নিচের চিত্রে)। P বিন্দু থেকে XY\mathrm{XY} রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব PP′PP^{\prime} এবং এই লম্বের পাদবিন্দু P′P^{\prime}। সুতরাং, P′P^{\prime} বিন্দু XY\mathrm{XY} রেখার উপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ। কোনো নির্দিষ্ট রেখার উপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দু। question image

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △ABC এর লম্ববিন্দু O, পরিকেন্দ্র S এবং AP একটি মধ্যমা। লম্ববিন্দু এবং পরিকেন্দ্র ৪ এর সংযোগ রেখা AP মধ্যমাকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে। S, P যোগ করলে SP রেখা BC এর উপর লম্ব। তাহলে, G বিন্দুটি △ABC এর ভরকেন্দ্র এটি প্রমাণ করাই যথেষ্ট। question image প্রমাণ: △ABC\triangle A B C এর লম্ববিন্দু OO থেকে AA শীর্ষের দূরত্ব OAO A এবং পরিকেন্দ্র SS থেকে AA শীর্ষের বিপরীত বাহু BCB C এর দূরত্ব SP1∴OA=2SP⋯⋯(1)S P 1 \therefore O A=2 S P \cdots \cdots(1) এখন যেহেতু ADA D ও SPS P উভয়ই BCB C এর উপর লম্ব সেহেতু AD∥SPA D \| S P । এখন AD∥SPA D \| S P এবং APA P এদের ছেদক। সুতরাং একান্তর কোণ হওয়ায় ∠PAD=∠APS\angle P A D=\angle A P S, অর্থাৎ, ∠OAG=∠SPG1\angle O A G= \angle S P G 1 এখন △AGO\triangle A G O এবং △PGS\triangle P G S এর মধ্যে ∠AGO=∠PGS\angle A G O=\angle P G S [বিপ্রতীপ কোণ] ∠OAG=∠SPG\angle O A G=\angle S P G [একান্তর কোণ] ∴ অবশিষ্ট ∠AOG\angle A O G = অবশিষ্ট ∠PSG\angle P S G ∴△AGO\therefore \triangle A G O এবং △PGS\triangle P G S সদৃশকোণী। সুতরাং, AGGP=OASP\frac{A G}{G P}=\frac{O A}{S P} অর্থাৎ, AGGP=2SPSP\frac{A G}{G P}=\frac{2 S P}{S P} \quad [(1) নং সমীকরণ হতে] অতএব AGGP=21\frac{A G}{G P}=\frac{2}{1} বা, AG:GP=2:1A G: G P=2: 1 অর্থাৎ, GG বিন্দু APA P মধ্যমাকে 2:12: 1 অনুপাতে বিভক্ত করেছে। ∴G\therefore G বিন্দু △ABC\triangle A B C এর ভরকেন্দ্র। [প্রমাণিত]

উত্তর

question image মনে করি, ∆ABC এর BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c। BC, CA ও AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা AD, BE ও CF এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে d, e, ও f। প্রমাণ করতে হবে যে, 3(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)3\left(A B^2+B C^2+C A^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right). তাহলে, এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই, AB2+AC2=2(AD2+BD2)A B^2+A C^2=2\left(A D^2+B D^2\right) বা, c2+b2=2(d2+(12a)2)\mathrm{c}^2 + \mathrm{b}^2 = 2(\mathrm{d}^2 + (\frac{1}{2}\mathrm{a})^2) [∵ BD = 12a\frac{1}{2}\mathrm{a}] বা, b2+c2=2d2+2⋅14a2\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2 = 2\mathrm{d}^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}\mathrm{a}^2 বা, b2+c2=2d2+a22\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2 = 2\mathrm{d}^2 + \frac{\mathrm{a}^2}{2} বা, d2=2(b2+c2)−a24\mathrm{d}^2 = \frac{2(\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) - \mathrm{a}^2}{4} অনুরূপভাবে পাওয়া যায়, e2=2(c2+a2)−b24\mathrm{e}^2 = \frac{2(\mathrm{c}^2+\mathrm{a}^2) - \mathrm{b}^2}{4} এবং f2=2(a2+b2)−c24\mathrm{f}^2 = \frac{2(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2) - \mathrm{c}^2}{4} সুতরাং বলা যায় কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে মধ্যমাসমূহের দৈর্ঘ্য জানা যায়। আবার, d2+e2+f2=2(b2+c2)−a24+2(c2+a2)−b24+2(a2+b2)−c24\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2 = \frac{2(\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) - \mathrm{a}^2}{4} + \frac{2(\mathrm{c}^2+\mathrm{a}^2) - \mathrm{b}^2}{4} + \frac{2(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2) - \mathrm{c}^2}{4} অর্থাৎ, d2+e2+f2=34(a2+b2+c2)\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2 = \frac{3}{4}(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) বা, 3(a2+b2+c2)=4(d2+e2+f2)3(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) = 4(\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2) ∴ 3(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)3(\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2)=4(\mathrm{AD}^2 + \mathrm{BE}^2 + \mathrm{CF}^2) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন