প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∆ABC এর লম্ববিন্দু O, পরিকেন্দ্র S এবং AP একটি মধ্যমা। লম্ববিন্দু O এবং পরিকেন্দ্র S এর সংযোগ রেখা AP মধ্যমাকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে। S, P যোগ করলে SP রেখা BC এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, AG : GP = 2 : 1। প্রমাণ: ∆ABC এর লম্ববিন্দু O থেকে A শীর্ষের দূরত্ব OA এবং পরিকেন্দ্র S থেকে A শীর্ষের বিপরীত বাহু BC এর দূরত্ব SP। ∴ OA = 2SP ... .. (i) এখন যেহেতু AD ও SP উভয়ই BC এর উপর লম্ব সেহেতু AD || SP। এখন AD || SP এবং AP এদের ছেদক। সুতরাং একান্তর কোণ হওয়ায় ∠PAD = ∠APS, অর্থাৎ, ∠OAG = ∠SPG। এখন ∆AGO এবং ∆PGS এর মধ্যে ∠AGO = ∠PGS [বিপ্রতীপ কোণ] ∠OAG = ∠SPG [একান্তর কোণ] ∴ অবশিষ্ট ∠AOG = অবশিষ্ট ∠PSG ∴ ∆AGO এবং ∆PGS সদৃশকোণী। সুতরাং, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] [(i)নং সমীকরণ হতে] অতএব [গণিত] বা, AG : GP = 2 : 1 (প্রমাণিত)
SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে,
উত্তর
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∆ABC এর লম্ববিন্দু O, পরিকেন্দ্র S এবং AP একটি মধ্যমা। লম্ববিন্দু O এবং পরিকেন্দ্র S এর সংযোগ রেখা AP মধ্যমাকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে। S, P যোগ করলে SP রেখা BC এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, AG : GP = 2 : 1।
প্রমাণ: ∆ABC এর লম্ববিন্দু O থেকে A শীর্ষের দূরত্ব OA এবং পরিকেন্দ্র S থেকে A শীর্ষের বিপরীত বাহু BC এর দূরত্ব SP।
∴ OA = 2SP ... .. (i)
এখন যেহেতু AD ও SP উভয়ই BC এর উপর লম্ব সেহেতু AD || SP। এখন AD || SP এবং AP এদের ছেদক। সুতরাং একান্তর কোণ হওয়ায় ∠PAD = ∠APS, অর্থাৎ, ∠OAG = ∠SPG।
এখন ∆AGO এবং ∆PGS এর মধ্যে
∠AGO = ∠PGS [বিপ্রতীপ কোণ]
∠OAG = ∠SPG [একান্তর কোণ]
∴ অবশিষ্ট ∠AOG = অবশিষ্ট ∠PSG
∴ ∆AGO এবং ∆PGS সদৃশকোণী।
সুতরাং, অর্থাৎ, [(i)নং সমীকরণ হতে]
অতএব বা, AG : GP = 2 : 1 (প্রমাণিত)
