যদি PQ = PR এবং M, QR এর উপর যে কোনো বিন্দু হলে দেখাও যে, [গণিত]
উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ∆PQR এ PQ = PR এবং M, QR এর উপর যে কোন বিন্দু। P, M যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . অঙ্কনঃ QR এর উপর PN লম্ব আঁকি। প্রমাণ: সমকোণী ∆PQN এ PQ অতিভুজ। ∴ PQ² = QN² + PN² [গণিত] .. (i) আবার, সমকোণী ∆PMN এ PM অতিভুজ। ∴ PM² = MN² + PN² [গণিত] . (ii) (i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই, PQ² – PM² = QN² + PN² - MN² – PN² = QN² – MN² = (QN + MN)(QN – MN) = (NR + MN).QM [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ হতে ভূমির উপর লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ, QN = NR] = MR.QM ∴ PQ² – PM² = QM.MR. (প্রমাণিত)
SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল
যদি PQ = PR এবং M, QR এর উপর যে কোনো বিন্দু হলে দেখাও যে,
উদ্দীপক
∆PQR এর QR বাহু M ও N বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়।
Dinajpur · 2017
উত্তর
চিত্রে, ∆PQR এর QR বাহুকে M ও N বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত করা হয়েছে।উত্তর
বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ∆PQR এর QR বাহু M ও N বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত। অর্থাৎ, QM = MN = NR। P, M ও P, N যোগ করি।
প্রমাণ করতে হবে যে,
প্রমাণ: এর মধ্যমা PM
∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে,
আবার, এ মধ্যমা PN
এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
বা,
. (প্রমাণিত)
উত্তর
বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ∆PQR এ PQ = PR এবং M, QR এর উপর যে কোন বিন্দু। P, M যোগ করি।
প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কনঃ QR এর উপর PN লম্ব আঁকি।
প্রমাণ: সমকোণী ∆PQN এ PQ অতিভুজ।
∴ PQ² = QN² + PN²
আবার, সমকোণী ∆PMN এ PM অতিভুজ।
∴ PM² = MN² + PN² নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
PQ² – PM² = QN² + PN² - MN² – PN²
= QN² – MN² = (QN + MN)(QN – MN)
= (NR + MN).QM [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ হতে ভূমির উপর লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ, QN = NR]
= MR.QM
∴ PQ² – PM² = QM.MR. (প্রমাণিত)
