Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

NP এর মধ্যবিন্দু [গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, [গণিত] এর NP বাহুর মধ্যবিন্দু T; M, T যোগ করি। ফলে MT ত্রিভুজটির একটি মধ্যমা হবে এবং NP, T বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] অঙ্কন: শীর্ষবিন্দু M থেকে NP এর উপর MD লম্ব আঁকি। প্রমাণ: ΔΜTP এর [গণিত] সূক্ষকোণ এবং PT রেখার উপর MT রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DT। ∴ সূক্ষকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে [গণিত] . . . . . . . . (i) আবার, [গণিত] এর [গণিত] স্থূলকোণ এবং NT রেখার বর্ধিতাংশের উপর MT রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DT। ∴ স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে [গণিত] . . . . . . . . (ii) এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

NP এর মধ্যবিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

question image

Chittagong · 2025

উত্তর

question image চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটির কেন্দ্র নির্দিষ্ট সরলেখা PQ এর ওপর অবস্থিত এবং বৃত্তটি দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু A ও B দিয়ে যায়।

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, বৃত্তে অস্তর্লিখিত MNOP চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে MN ও OP এবং ON ও MP। MO এবং NP চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, MO⋅NP=MN⋅OP+MP⋅ON\mathrm{MO} \cdot \mathrm{NP}=\mathrm{MN} \cdot \mathrm{OP}+\mathrm{MP} \cdot \mathrm{ON} প্রমাণ: ∠NMO\angle \mathrm{NMO} কে ∠PMO\angle \mathrm{PMO} থেকে ছোট ধরে নিয়ে M বিন্দুতে MP রেখাংশের সাথে ∠NMO\angle \mathrm{NMO} এর সমান করে ∠PMD\angle \mathrm{PMD} আঁকি যেন MD রেখা NP কর্ণকে D বিদ্দুতে ছেদ করে। অঙ্কনানুসারে, ∠NMO=∠PMD\angle \mathrm{NMO}=\angle \mathrm{PMD} উভয়পক্ষে ∠OMD\angle \mathrm{OMD} যোগ করে পাই, ∠NMO+∠OMD=∠PMD+∠OMD\angle \mathrm{NMO}+\angle \mathrm{OMD}=\angle \mathrm{PMD}+\angle \mathrm{OMD} অর্থাৎ, △NMD=∠OMP\triangle \mathrm{NMD}=\angle \mathrm{OMP} এখন, △MND\triangle \mathrm{MND} ও △MOP\triangle \mathrm{MOP} এর মধ্যে, ∠NMD=∠OMP\angle \mathrm{NMD}=\angle \mathrm{OMP} এবং ∠MND=∠MOP\angle \mathrm{MND}=\angle \mathrm{MOP} \quad [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠MDN=\angle \mathrm{MDN}= অবশিষ্ট ∠MPO\angle \mathrm{MPO} ∴△MND\therefore \triangle \mathrm{MND} ও △MOP\triangle \mathrm{MOP} সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। ∴NDOP=MNMO[∵\therefore \frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{OP}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MO}}[\because সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলের অনুপাত সমান ]] অর্থাৎ, MO⋅ND=MN⋅OP\mathrm{MO} \cdot \mathrm{ND}=\mathrm{MN} \cdot \mathrm{OP} . . . . . . (i) আবার, △MNO\triangle \mathrm{MNO} ও △MDP\triangle \mathrm{MDP} এর মধ্যে, ∠NMO=∠PMD\angle \mathrm{NMO}=\angle \mathrm{PMD} [অঙ্কনানুসারে] ∠MON=∠MPD\angle \mathrm{MON}=\angle \mathrm{MPD} [একই বৃত্তাংশহিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠MNO=\angle \mathrm{MNO}= অবশিষ্ট ∠MDP\angle \mathrm{MDP} ∴△MNO\therefore \triangle \mathrm{MNO} ও △MDP\triangle \mathrm{MDP} সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। ∴MOMP=ONDP\therefore \frac{\mathrm{MO}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{DP}}[ ∵ সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান] অর্থাৎ, MO⋅DP=MP⋅ON\mathrm{MO} \cdot \mathrm{DP}=\mathrm{MP} \cdot \mathrm{ON} . . . . . . (ii) এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, MO⋅ND+MO⋅DP=MN⋅OP+MP⋅ON\mathrm{MO} \cdot \mathrm{ND}+\mathrm{MO} \cdot \mathrm{DP}=\mathrm{MN} \cdot \mathrm{OP}+\mathrm{MP} \cdot \mathrm{ON} বা, MO(ND+DP)=MN⋅OP+MP⋅ON\mathrm{MO}(\mathrm{ND}+\mathrm{DP})=\mathrm{MN} \cdot \mathrm{OP}+\mathrm{MP} \cdot \mathrm{ON} কিন্তু, ND + DP = NP ∴MO⋅NP=MN⋅OP+MP⋅ON[\therefore \mathbf{M O} \cdot \mathbf{N P}=\mathbf{M N} \cdot \mathbf{O P}+\mathbf{M P} \cdot \mathbf{O N}[ প্রমাণিত]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, △MNP\triangle \mathrm{MNP} এর NP বাহুর মধ্যবিন্দু T; M, T যোগ করি। ফলে MT ত্রিভুজটির একটি মধ্যমা হবে এবং NP, T বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, MN2+MP2=2(MT2+NT2)\mathrm{MN}^2+\mathrm{MP}^2=2\left(\mathrm{MT}^2+\mathrm{NT}^2\right) অঙ্কন: শীর্ষবিন্দু M থেকে NP এর উপর MD লম্ব আঁকি। প্রমাণ: ΔΜTP এর ∠MTP\angle \mathrm{MTP} সূক্ষকোণ এবং PT রেখার উপর MT রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DT। ∴ সূক্ষকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে MP2=MT2+PT2−2⋅PT⋅DT\mathrm{MP}^2=\mathrm{MT}^2+\mathrm{PT}^2-2 \cdot \mathrm{PT} \cdot \mathrm{DT} . . . . . . . . (i) আবার, △MTN\triangle \mathrm{MTN} এর ∠MTN\angle \mathrm{MTN} স্থূলকোণ এবং NT রেখার বর্ধিতাংশের উপর MT রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DT। ∴ স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে MN2=MT2+NT2+2⋅NT⋅DT\mathrm{MN}^2=\mathrm{MT}^2+\mathrm{NT}^2+2 \cdot \mathrm{NT} \cdot \mathrm{DT} . . . . . . . . (ii) এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, MP2+MN2=MT2+PT2−2⋅PT⋅DT+MT2+NT2+2⋅NT⋅DT\begin{aligned} \mathrm{MP}^2+\mathrm{MN}^2=\mathrm{MT}^2+\mathrm{PT}^2-2 \cdot & \mathrm{PT} \cdot \mathrm{DT}+\mathrm{MT}^2 \\ + & \mathrm{NT}^2+2 \cdot \mathrm{NT} \cdot \mathrm{DT}\end{aligned} বা, MN2+MP2=2MT2+NT2−2⋅NT⋅DT+NT2+2⋅NT⋅DT[∵PT=NT]\begin{array}{r}\mathrm{MN}^2+\mathrm{MP}^2=2 \mathrm{MT}^2+\mathrm{NT}^2-2 \cdot \mathrm{NT} \cdot \mathrm{DT}+\mathrm{NT}^2 \\ +2 \cdot \mathrm{NT} \cdot \mathrm{DT} \\ {[\because \mathrm{PT}=\mathrm{NT}]}\end{array} বা, MN2+MP2=2MT2+2NT2\mathrm{MN}^2+\mathrm{MP}^2=2 \mathrm{MT}^2+2 \mathrm{NT}^2 ∴MN2+MP2=2(MT2+NT2)\therefore\mathrm{MN}^2+\mathrm{MP}^2=2\left(\mathrm{MT}^2+\mathrm{NT}^2\right) [প্রমাণিত]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন