Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] -এ [গণিত] এবং [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] = AM.DM । প্রমাণ : [গণিত] . (i) আবার, [গণিত] বলে, [গণিত] [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি [গণিত] ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (ii) (i) ও (ii) নং হতে পাই, [গণিত] ও [গণিত] এ [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ও [গণিত] সদৃশ [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image

Rajshahi · 2023

উত্তর

ধরি, নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ r প্রশ্নমতে, 2πr=202 \pi \mathrm{r}=20 ∴r=202π=10π\therefore r=\frac{20}{2 \pi}=\frac{10}{\pi} সে.মি. আমরা জানি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। সুতরাং, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R=2r=2×10π=20πR=2 r=2 \times \frac{10}{\pi}=\frac{20}{\pi} সে.মি. ∴\therefore পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল =πR2=π×(20π)2=\pi R^2=\pi \times\left(\frac{20}{\pi}\right)^2 বর্গ সে.মি. =400π=\frac{400}{\pi} বর্গ সে.মি. =127.32=127.32 বর্গ সে.মি. (Ans.)

উত্তর

question image এখানে, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BD ও AC এর লম্ব ছেদবিন্দু P। PM ⟂ AD এবং বর্ধিত NP, BC কে N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, BN=CN\mathrm{BN}=\mathrm{CN} । প্রমাণ : একই চাপ CD এর উপর দণ্ডায়মান বলে, ∠DAC=∠DBC\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{DBC} অর্থাৎ, ∠DAP=∠PBN\angle \mathrm{DAP}=\angle \mathrm{PBN} আবার, ∠DAP=∠DPM\angle \mathrm{DAP}=\angle \mathrm{DPM} [উভয়ে একই ∠APM\angle \mathrm{APM} এর পূরক কোণ] সুতরাং, ∠PBN=∠NPB\angle \mathrm{PBN}=\angle \mathrm{NPB} ফলে PBN ত্রিভুজে, BN = PN অনুরূপভাবে দেখানো ∠NCP=∠ADP=∠APM=∠CPN\angle \mathrm{NCP}=\angle \mathrm{ADP}=\angle \mathrm{APM}=\angle \mathrm{CPN} ফলে PCN ত্রিভুজে, CN = PN ∴BN=CN\therefore \mathrm{BN}=\mathrm{CN} (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, △PDA\triangle \mathrm{PDA}-এ ∠DPA=90∘\angle \mathrm{DPA}=90^{\circ} এবং PM⊥DA\mathrm{PM} \perp \mathrm{DA} । প্রমাণ করতে হবে যে, PM2\mathrm{PM}^2 = AM.DM । প্রমাণ : ∠DPA=90∘\angle \mathrm{DPA}=90^{\circ} ∴∠DPM+∠MPA=90∘\therefore \angle \mathrm{DPM}+\angle \mathrm{MPA}=90^{\circ} …….(i)\ldots\ldots. (i) আবার, PM⊥DA\mathrm{PM} \perp \mathrm{DA} বলে, ∠PMD=∠PMA=90∘\angle \mathrm{PMD}=\angle \mathrm{PMA}=90^{\circ} △DPM−⇑,∠PMD+∠DPM+∠PDM=180∘\triangle \mathrm{DPM}-\Uparrow, \angle \mathrm{PMD}+\angle \mathrm{DPM}+\angle \mathrm{PDM}=180^{\circ} [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ} ] বা, 90∘+∠DPM+∠PDM=180[∵∠PMD=90∘]90^{\circ}+\angle \mathrm{DPM}+\angle \mathrm{PDM}=180\left[\because \angle \mathrm{PMD}=90^{\circ}\right] বা, ∠DPM+∠PDM=90∘\angle \mathrm{DPM}+\angle \mathrm{PDM}=90^{\circ}
……(ii)(i)\ldots\ldots (ii) (i)
ও (ii) নং হতে পাই, ∴∠DPM+∠MPA=∠DPM+∠PDM\therefore \angle \mathrm{DPM}+\angle \mathrm{MPA}=\angle \mathrm{DPM}+\angle \mathrm{PDM} △PDM\triangle \mathrm{PDM} ও △PAM−\triangle \mathrm{PAM}- এ ∠PMD=∠PMA,∠PDM=∠MPA\angle \mathrm{PMD}=\angle \mathrm{PMA}, \angle \mathrm{PDM}=\angle \mathrm{MPA} অবশিষ্ট ∠DPM=\angle \mathrm{DPM}= অবশিষ্ট ∠PAM\angle \mathrm{PAM} ∴ΔPDM\therefore \Delta \mathrm{PDM} ও △PAM\triangle \mathrm{PAM} সদৃশ ∴DPPA=PMAM=DMPM\therefore \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{PM}} অর্থাৎ, PMAM=DMPM\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{PM}} ∴PM2=AM⋅DM\therefore \mathrm{PM}^2=\mathrm{AM} \cdot \mathrm{DM} (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন