Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, [গণিত] এ AB [গণিত] । [গণিত] এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] অঙ্কন : BF কে বর্ধিত করি যেন তা পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। A, G যোগ করি। প্রমাণ : [গণিত] ও [গণিত] এ, [গণিত] [উভয়েই সমকোণ] [গণিত] [সাধারণ কোণ] এবং অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ। [গণিত] [ ∴ সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান] বা, [গণিত] বা, [গণিত] সমকোণী [গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যে অতিভূজ [গণিত] অতিভূজ BC এবং BF সাধারণ বাহু [গণিত] অর্থাৎ, BF ⟂ AC এবং AF ও FC সমদ্বিখণ্ডক। BF জ্যাটি বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। এবং BG বৃত্তের পরিধিকে স্পর্শ করে এজন্য BG বৃত্তের ব্যাস। [গণিত] হলে (i) নং এ পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

এর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image চিত্রে AB,BC\mathrm{AB}, \mathrm{BC} এবং CA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D,E\mathrm{D}, \mathrm{E} এবং F.AB=BC\mathrm{F} . \mathrm{AB}=\mathrm{BC} এবং BF⊥AC\mathrm{BF} \perp \mathrm{AC}.

Jessore · 2023

উত্তর

ABC ত্রিভুজে O ভরকেন্দ্র বলে, AOOE=21\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OE}}=\frac{2}{1} বা, OE=AO2=52=2.5\mathrm{OE}=\frac{\mathrm{AO}}{2}=\frac{5}{2}=2.5 সে.মি. AE=AO+OE=5+2.5=7.5\mathrm{AE}=\mathrm{AO}+\mathrm{OE}=5+2.5=7.5 সে.মি. (Ans.)

উত্তর

question image মনে করি, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC,CA\mathrm{BC}, \mathrm{CA} এবং AB বাহুগুলো a,b\mathrm{a}, \mathrm{b} এবং c । মধ্যমা BF=e,AE=d,CD=f\mathrm{BF}=\mathrm{e}, \mathrm{AE}=\mathrm{d}, \mathrm{CD}=\mathrm{f} এখন, AB2+AC2=2(AE2+BE2)\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=2\left(\mathrm{AE}^2+\mathrm{BE}^2\right) [এ্যাপোলেনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই] বা, c2+b2=2{ d2+(12a)2}[∴BE=12a]\mathrm{c}^2+\mathrm{b}^2=2\left\{\mathrm{~d}^2+\left(\frac{1}{2} \mathrm{a}\right)^2\right\}\left[\therefore \mathrm{BE}=\frac{1}{2} \mathrm{a}\right] বা, b2+c2=2 d2+2⋅14a2\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=2 \mathrm{~d}^2+2 \cdot \frac{1}{4} \mathrm{a}^2 বা, b2+c2=2 d2+a22\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=2 \mathrm{~d}^2+\frac{\mathrm{a}^2}{2} বা, 2 d2=b2+c2−a222 \mathrm{~d}^2=\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2-\frac{\mathrm{a}^2}{2} বা, d2=2( b2+c2)−a24……(i)\mathrm{d}^2=\frac{2\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)-\mathrm{a}^2}{4} \ldots \ldots (i) অনুরূপভাবে, e2=2(c2+a2)−b24\mathrm{e}^2=\frac{2\left(\mathrm{c}^2+\mathrm{a}^2\right)-\mathrm{b}^2}{4} …...(ii)\ldots... (ii) এবং f2=2(a2+b2)−c24\mathrm{f}^2=\frac{2\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2\right)-\mathrm{c}^2}{4}
…...(iii)(i),(ii)\ldots... (iii) (i), (ii)
ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, d2+e2+f2=2( b2+c2)−a24+2(c2+a2)−b24+2(a2+b2)−c24\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2=\frac{2\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)-\mathrm{a}^2}{4}+\frac{2\left(\mathrm{c}^2+\mathrm{a}^2\right)-\mathrm{b}^2}{4}+\frac{2\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2\right)-\mathrm{c}^2}{4} বা, d2+e2+f2=2 b2+2c2−a2+2c2+2a2−b2+2a2+2 b2−c24\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2=\frac{2 \mathrm{~b}^2+2 \mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2+2 \mathrm{c}^2+2 \mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2+2 \mathrm{a}^2+2 \mathrm{~b}^2-\mathrm{c}^2}{4} এখন, AB=BC\mathrm{AB}=\mathrm{BC} বা, c=a\mathrm{c}=\mathrm{a} তাহলে, মধ্যমা AE=CD\mathrm{AE}=\mathrm{CD} বা, d=fd=f হবে। বা, d2+e2+d2=2 b2+2a2−a2+2a2+2a2−b2+2a2+2 b2−a24=3 b2+6a24\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{d}^2=\frac{2 \mathrm{~b}^2+2 \mathrm{a}^2-\mathrm{a}^2+2 \mathrm{a}^2+2 \mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2+2 \mathrm{a}^2+2 \mathrm{~b}^2-\mathrm{a}^2}{4}=\frac{3 \mathrm{~b}^2+6 \mathrm{a}^2}{4} বা, 2 d2+e2=34( b2+2a2)2 \mathrm{~d}^2+\mathrm{e}^2=\frac{3}{4}\left(\mathrm{~b}^2+2 \mathrm{a}^2\right) ∴3(2a2+b2)=4(2 d2+e2)\therefore 3\left(2 \mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2\right)=4\left(2 \mathrm{~d}^2+\mathrm{e}^2\right) ইহাই উক্ত দৈর্ঘ্য ও মধ্যমার মধ্যে সম্পর্ক।

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এ AB =BC=\mathrm{BC} । BF⊥AC\mathrm{BF} \perp \mathrm{AC} এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R । প্রমাণ করতে হবে যে, BC2=2R.BF\mathrm{BC}^2=2 \mathrm{R} . \mathrm{BF} অঙ্কন : BF কে বর্ধিত করি যেন তা পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। A, G যোগ করি। প্রমাণ : △BFA\triangle \mathrm{BFA} ও △BAG\triangle \mathrm{BAG} এ, ∠BFA=∠BAG\angle \mathrm{BFA}=\angle \mathrm{BAG} [উভয়েই সমকোণ] ∠GBA=∠GBA\angle \mathrm{GBA}=\angle \mathrm{GBA} [সাধারণ কোণ] এবং অবশিষ্ট ∠BAF=\angle \mathrm{BAF}= অবশিষ্ট ∠BGA\angle \mathrm{BGA} ∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ। BFBA=BABG\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BG}} [ ∴ সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান] বা, BA2=BF.BG\mathrm{BA}^2=\mathrm{BF} . \mathrm{BG} বা, BC2=BF.BG[∴AB=BC]\mathrm{BC}^2=\mathrm{BF} . \mathrm{BG}[\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BC}] সমকোণী △BCF\triangle \mathrm{BCF} ও △BAF\triangle \mathrm{BAF} এর মধ্যে অতিভূজ AB=\mathrm{AB}= অতিভূজ BC এবং BF সাধারণ বাহু ∴△BCF≅△BAF∴CF=FA\therefore \triangle \mathrm{BCF} \cong \triangle \mathrm{BAF} \quad \therefore \mathrm{CF}=\mathrm{FA} অর্থাৎ, BF ⟂ AC এবং AF ও FC সমদ্বিখণ্ডক। BF জ্যাটি বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। এবং BG বৃত্তের পরিধিকে স্পর্শ করে এজন্য BG বৃত্তের ব্যাস। BG=2R\mathrm{BG}=2 \mathrm{R} হলে (i) নং এ পাই, BC2=2R.BF\mathrm{BC}^2=2 \mathrm{R} . \mathrm{BF} (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন