Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, [গণিত] এর [গণিত] এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: [গণিত] এ [গণিত] .. (i) আবার, [গণিত] .. (ii) (i) ও (ii) নং হতে পাই, [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] এ [গণিত] এবং [গণিত] এবং অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] সুতরাং ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী। ∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ হওয়ায় [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] RT.QT (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, A(5,2),B(−5,t)\mathrm{A}(5,2), \mathrm{B}(-5, \mathrm{t}) ও C(1,0)\mathrm{C}(1,0) বিন্দুত্রয় সমরেখ। তাহলে, AB রেখার ঢাল AC রেখার ঢালের সমান হবে। ∴t−2−5−5=0−21−5\therefore \frac{\mathrm{t}-2}{-5-5}=\frac{0-2}{1-5} বা, t−2−10=24=12\frac{\mathrm{t}-2}{-10}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} বা, t−2=−102=−5\mathrm{t}-2=-\frac{10}{2}=-5 বা, t=−5+2=−3\mathrm{t}=-5+2=-3 ∴ নির্ণেয় মান t=−3\mathrm{t}=-3 (Ans.)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন : মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। PR এবং QS চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, PR.QS=PQ.RS+QR.PS.PR.QS = PQ.RS + QR.PS. অঙ্কন : ∠QPR\angle \mathrm{QPR} কে ∠SPR\angle \mathrm{SPR} থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR-এর সমান করে ∠SPM\angle \mathrm{SPM} আঁকি যেন PM রেখা QS কর্ণকে M বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে ∠QPR=∠SPM\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM} উভয়পক্ষে ∠RPM\angle \mathrm{RPM} যোগ করে পাই, ∠QPR+∠RPM=∠SPM+∠RPM\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{RPM}=\angle \mathrm{SPM}+\angle \mathrm{RPM} অর্থাৎ, ∠QPM=∠RPS\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS} এখন △PQM\triangle \mathrm{PQM} ও △PRS\triangle \mathrm{PRS} এর মধ্যে ∠QPM=∠RPS\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS} ∠PQM=∠PRS\angle \mathrm{PQM}=\angle \mathrm{PRS} \quad [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠PMQ=\angle \mathrm{PMQ}= অবশিষ্ট ∠PSR\angle \mathrm{PSR} ∴△PQM\therefore \triangle \mathrm{PQM} ও △PRS\triangle \mathrm{PRS} সদৃশকোণী। ∴QMRS=PQPR\therefore \frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}} অর্থাৎ, PR.QM=PQ.RS\mathrm{PR} . \mathrm{QM}=\mathrm{PQ} . \mathrm{RS} ………(i)\ldots\ldots\ldots (i) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR} ও △PMS\triangle \mathrm{PMS} এর মধ্যে ∠QPR=∠SPM\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM} [অঙ্কন অনুসারে] ∠PRQ=PSM\angle \mathrm{PRQ}=\mathrm{PSM} [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠PQR=\angle \mathrm{PQR}= অবশিষ্ট ∠PMS\angle \mathrm{PMS} ∴△PQR\therefore \triangle \mathrm{PQR} ও △PMS\triangle \mathrm{PMS} সদৃশকোণী। ∴PSPR=MSQR\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{MS}}{\mathrm{QR}} অর্থাৎ, PR.MS = QR.PS ………(ii)\ldots\ldots\ldots (ii) এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, =PR.QM+PR.MS=PQ.RS+QR.PS=\mathrm{PR.QM + PR.MS = PQ.RS + QR.PS} বা, PR(QM+MS)=PQ.RS+QR.PS\mathrm{PR}(\mathrm{QM}+\mathrm{MS})=\mathrm{PQ} . \mathrm{RS}+\mathrm{QR} . \mathrm{PS} বা, PR⋅QS=PQ⋅RS+QR⋅PSP R \cdot Q S=P Q \cdot R S+Q R \cdot P S [যেহেতু QM + MS = QS] ∴ PR.QS =PQ.RS+QR.PS=\mathrm{PQ} . \mathrm{RS}+\mathrm{QR} . \mathrm{PS} (প্রমাণিত)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, △QRE\triangle \mathrm{QRE} এর ∠E=90∘\angle \mathrm{E}=90^{\circ} TE,RQ\mathrm{TE, RQ} এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, ET2=RT.QT\mathrm{ET}^2=\mathrm{RT} . \mathrm{QT} প্রমাণ: △QRE−\triangle \mathrm{QRE}- এ ∠E=90∘\angle \mathrm{E}=90^{\circ} ∴∠RET+∠TEQ=90∘\therefore \angle \mathrm{RET}+\angle \mathrm{TEQ}=90^{\circ} ……..(i)\ldots\ldots.. (i) আবার, △RTE−এ∠RTE=90∘\triangle \mathrm{RTE}-এ \angle \mathrm{RTE}=90^{\circ} ∴∠ERT+∠RET=90∘\therefore \angle \mathrm{ERT}+\angle \mathrm{RET}=90^{\circ}
……..(ii)(i)\ldots\ldots.. (ii) (i)
ও (ii) নং হতে পাই, ∠RET+∠TEQ=∠ERT+∠RET\angle \mathrm{RET}+\angle \mathrm{TEQ}=\angle \mathrm{ERT}+\angle \mathrm{RET} ∴∠TEQ=∠ERT\therefore \angle \mathrm{TEQ}=\angle \mathrm{ERT} এখন, △RTE\triangle \mathrm{RTE} ও △QTE−\triangle \mathrm{QTE}- এ ∠RTE=∠QTE=90∘\angle \mathrm{RTE}=\angle \mathrm{QTE}=90^{\circ} এবং ∠ERT=∠TEQ\angle \mathrm{ERT}=\angle \mathrm{TEQ} এবং অবশিষ্ট ∠RET=\angle \mathrm{RET}= অবশিষ্ট ∠EQT\angle \mathrm{EQT} সুতরাং ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী। ∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ হওয়ায় RTET=ETQT\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{ET}}=\frac{\mathrm{ET}}{\mathrm{QT}} অর্থাৎ, ET2=\mathrm{ET}^2= RT.QT (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন