Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] ...(1) (1)নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, [গণিত] ...(2) বা, [গণিত] বা, [গণিত] ...(3) (2)নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (3)নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] , [গণিত] ও [গণিত] -এর মান সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই, [গণিত] , যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদ্দীপক

P(y)=ay5+by4+cy3+cy2+by+a\mathrm{P}(\mathrm{y})=\mathrm{a}\mathrm{y}^5+\mathrm{b}\mathrm{y}^4+\mathrm{c}\mathrm{y}^3+\mathrm{c}\mathrm{y}^2+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{a} (যেখানে a, b, c\mathrm{a},\ \mathrm{b},\ \mathrm{c} ধ্রুবক) এবং Q(x)=x3x2−216\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}^3}{\mathrm{x}^2-216}।

Barisal · 2026

উত্তর

ধরি, F(x, y, z)=xyzxy+yz+zx\mathrm{F}(\mathrm{x},\ \mathrm{y},\ \mathrm{z})=\frac{\mathrm{xyz}}{\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx}} রাশিটিতে যেকোনো দুইটি চলক অর্থাৎ x\mathrm{x} ও y\mathrm{y} এর পরস্পর স্থান বিনিময় করে পাই, F(y, x, z)=y.x.zyx+xz+zy=xyzxy+yz+zx=F(x, y, z)\mathrm{F}(\mathrm{y},\ \mathrm{x},\ \mathrm{z})=\frac{\mathrm{y.x.z}}{\mathrm{yx}+\mathrm{xz}+\mathrm{zy}}=\frac{\mathrm{xyz}}{\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx}}=\mathrm{F}(\mathrm{x},\ \mathrm{y},\ \mathrm{z}) অর্থাৎ রাশিটির কোনো পরিবর্তন হয়নি। ∴\therefore xyzxy+yz+zx\frac{\mathrm{xyz}}{\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx}} একটি প্রতিসম রাশি। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, P(y)=ay5+by4+cy3+cy2+by+a\mathrm{P}(\mathrm{y})=\mathrm{a}\mathrm{y}^5+\mathrm{b}\mathrm{y}^4+\mathrm{c}\mathrm{y}^3+\mathrm{c}\mathrm{y}^2+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{a} (y+h)(\mathrm{y}+\mathrm{h}) যদি P(y)\mathrm{P}(\mathrm{y}) এর একটি উৎপাদক হয় তবে P(−h)=0\mathrm{P}(-\mathrm{h})=0 হবে। অর্থাৎ a(−h)5+b(−h)4+c(−h)3+c(−h)2+b(−h)+a=0\mathrm{a}(-\mathrm{h})^5+\mathrm{b}(-\mathrm{h})^4+\mathrm{c}(-\mathrm{h})^3+\mathrm{c}(-\mathrm{h})^2+\mathrm{b}(-\mathrm{h})+\mathrm{a}=0 বা, −ah5+bh4−ch3+ch2−bh+a=0-\mathrm{a}\mathrm{h}^5+\mathrm{b}\mathrm{h}^4-\mathrm{c}\mathrm{h}^3+\mathrm{c}\mathrm{h}^2-\mathrm{b}\mathrm{h}+\mathrm{a}=0 ...(1) আবার, (hy+1)(\mathrm{hy}+1) যদি P(y)\mathrm{P}(\mathrm{y}) এর উৎপাদক হয় তবে ভাগশেষ P(−1h)=0\mathrm{P}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)=0 হবে। এখন, P(−1h)=a(−1h)5+b(−1h)4+c(−1h)3+c(−1h)2+b(−1h)+a\mathrm{P}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)=\mathrm{a}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)^5+\mathrm{b}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)^4+\mathrm{c}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)^3+\mathrm{c}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)^2+\mathrm{b}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)+\mathrm{a} =−ah5+bh4−ch3−ch2−bh+a=-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{h}^5}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{h}^4}-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{h}^3}-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{h}^2}-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{h}}+\mathrm{a} =−a+bh−ch2+ch3−bh4+ah5h5=\frac{-\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{h}-\mathrm{c}\mathrm{h}^2+\mathrm{c}\mathrm{h}^3-\mathrm{b}\mathrm{h}^4+\mathrm{a}\mathrm{h}^5}{\mathrm{h}^5} =ah5−bh4+ch3−ch2+bh−ah5=\frac{\mathrm{a}\mathrm{h}^5-\mathrm{b}\mathrm{h}^4+\mathrm{c}\mathrm{h}^3-\mathrm{c}\mathrm{h}^2+\mathrm{b}\mathrm{h}-\mathrm{a}}{\mathrm{h}^5} =−(−ah5+bh4−ch3+ch2−bh+a)h5=\frac{-(- \mathrm{a}\mathrm{h}^5+\mathrm{b}\mathrm{h}^4-\mathrm{c}\mathrm{h}^3+\mathrm{c}\mathrm{h}^2-\mathrm{b}\mathrm{h}+\mathrm{a})}{\mathrm{h}^5} =−0h5=\frac{-0}{\mathrm{h}^5} [(1)নং হতে] =0=0 ∴\therefore P(−1h)=0\mathrm{P}\left(-\frac{1}{\mathrm{h}}\right)=0 অর্থাৎ (hy+1)(\mathrm{hy}+1), P(y)\mathrm{P}(\mathrm{y}) এর একটি উৎপাদক। অতএব, (y+h)(\mathrm{y}+\mathrm{h}) যদি P(y)\mathrm{P}(\mathrm{y}) এর উৎপাদক হয় তবে P(y)\mathrm{P}(\mathrm{y}) এর আরেকটি উৎপাদক হবে (hy+1)(\mathrm{hy}+1)। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, Q(x)=x3x3−216=x3x3−63\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}^3}{\mathrm{x}^3-216}=\frac{\mathrm{x}^3}{\mathrm{x}^3-6^3} =x3(x−6)(x2+x.6+62)=x3(x−6)(x2+6x+36)=\frac{\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-6)(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}.6+6^2)}=\frac{\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-6)(\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36)} ধরি, x3(x−6)(x2+6x+1)≡1+Ax−6+Bx+Cx2+6x+36\frac{\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-6)(\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+1)}\equiv 1+\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-6}+\frac{\mathrm{B}\mathrm{x}+\mathrm{C}}{\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36} ...(1) (1)নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে (x−6)(x2+6x+36)(\mathrm{x}-6)(\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36) দ্বারা গুণ করে পাই, x3≡(x−6)(x2+6x+36)+A(x2+6x+36)+(Bx+C)(x−6)\mathrm{x}^3\equiv(\mathrm{x}-6)(\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36)+\mathrm{A}(\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36)+(\mathrm{B}\mathrm{x}+\mathrm{C})(\mathrm{x}-6) ...(2) বা, x3≡x3−216+Ax2+6Ax+36A+Bx2−6Bx+Cx−6C\mathrm{x}^3\equiv\mathrm{x}^3-216+\mathrm{A}\mathrm{x}^2+6\mathrm{A}\mathrm{x}+36\mathrm{A}+\mathrm{B}\mathrm{x}^2-6\mathrm{B}\mathrm{x}+\mathrm{C}\mathrm{x}-6\mathrm{C} বা, x3≡x3+(A+B)x2+(6A−6B+C)x+(−216+36A−6C)\mathrm{x}^3\equiv\mathrm{x}^3+(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{x}^2+(6\mathrm{A}-6\mathrm{B}+\mathrm{C})\mathrm{x}+(-216+36\mathrm{A}-6\mathrm{C}) ...(3) (2)নং সমীকরণে x=6\mathrm{x}=6 বসিয়ে পাই, 63=(6−6)(62+6.6+36)+A(62+6.6+36)+(B.6+C)(6−6)6^3=(6-6)(6^2+6.6+36)+\mathrm{A}(6^2+6.6+36)+(\mathrm{B}.6+\mathrm{C})(6-6) বা, 216=0+108A+0216=0+108\mathrm{A}+0 বা, 108A=216108\mathrm{A}=216 বা, A=216108\mathrm{A}=\frac{216}{108} ∴\therefore A=2\mathrm{A}=2 (3)নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে x2\mathrm{x}^2 ও x\mathrm{x} এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A+B=0\mathrm{A}+\mathrm{B}=0 বা, B=−A\mathrm{B}=-\mathrm{A} ∴\therefore B=−2\mathrm{B}=-2 এবং 6A−6B+C=06\mathrm{A}-6\mathrm{B}+\mathrm{C}=0 বা, C=6B−6A=6(−2)−6(2)=−12−12=−24\mathrm{C}=6\mathrm{B}-6\mathrm{A}=6(-2)-6(2)=-12-12=-24 এখন, A\mathrm{A}, B\mathrm{B} ও C\mathrm{C}-এর মান সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই, x3(x−6)(x2+6x+1)≡1+2x−6+(−2).x+(−24)x2+6x+36\frac{\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-6)(\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+1)}\equiv 1+\frac{2}{\mathrm{x}-6}+\frac{(-2).\mathrm{x}+(-24)}{\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36} =1+2x−6+−(2x+24)x2+6x+36=1+2x−6−2x+24x2+6x+36=1+\frac{2}{\mathrm{x}-6}+\frac{-(2\mathrm{x}+24)}{\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36}=1+\frac{2}{\mathrm{x}-6}-\frac{2\mathrm{x}+24}{\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36} ∴\therefore Q(x)≡1+2x−6−2x+24x2+6x+36\mathrm{Q}(\mathrm{x})\equiv 1+\frac{2}{\mathrm{x}-6}-\frac{2\mathrm{x}+24}{\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+36}, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.যদি 5x3+ax2−32x+65 x^3+\mathrm{ax}^2-32 \mathrm{x}+6 কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করো।

যদি 5x3+ax2−32x+65 x^3+\mathrm{ax}^2-32 \mathrm{x}+6 কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.2x3+7x2+ax+22\mathrm{x}^3 + 7\mathrm{x}^2 + \mathrm{ax} + 2 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+2)(\mathrm{x} + 2) হলে, a\mathrm{a} এর মান নির্ণয় করো।

2x3+7x2+ax+22\mathrm{x}^3 + 7\mathrm{x}^2 + \mathrm{ax} + 2 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+2)(\mathrm{x} + 2) হলে, a\mathrm{a} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+3abc\mathrm{a}(\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2) + \mathrm{b}(\mathrm{c}^2 + \mathrm{a}^2) + \mathrm{c}(\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2) + 3\mathrm{abc} কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+3abc\mathrm{a}(\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2) + \mathrm{b}(\mathrm{c}^2 + \mathrm{a}^2) + \mathrm{c}(\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2) + 3\mathrm{abc} কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, y3−4y2+4y−3\mathrm{y}^3 - 4\mathrm{y}^2 + 4\mathrm{y} - 3 বহুপদীর একটি উৎপাদক y−3\mathrm{y} - 3।

দেখাও যে, y3−4y2+4y−3\mathrm{y}^3 - 4\mathrm{y}^2 + 4\mathrm{y} - 3 বহুপদীর একটি উৎপাদক y−3\mathrm{y} - 3।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.P(x)=x3+2x2+3x−1\mathrm{P(x)} = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 + 3\mathrm{x} - 1 বহুপদীকে (x−2)(\mathrm{x} - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

P(x)=x3+2x2+3x−1\mathrm{P(x)} = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 + 3\mathrm{x} - 1 বহুপদীকে (x−2)(\mathrm{x} - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: x3+x2y+xy+x2−2x−2y\mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2 \mathrm{y}+\mathrm{xy}+\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: x3+x2y+xy+x2−2x−2y\mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2 \mathrm{y}+\mathrm{xy}+\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=2x+2x−1f(x)=\frac{2 x+2}{x-1} এ কটি ফাংশন যেখানে x≠1x \neq 1.

Barisal · 2016

ক
f(p)=kf(p)=k হলে, pp এর মান kk এর মাধ্যমে একাশ করা।
খ
f−1(3)f^{-1}(3) নির্ণয় কর।
গ
f(x2)f\left(\mathrm{x}^2\right) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f−1(3)f^{-1}(3) নির্ণয় কর।

f−1(3)f^{-1}(3) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.f(p)=kf(p)=k হলে, pp এর মান kk এর মাধ্যমে একাশ করা।

f(p)=kf(p)=k হলে, pp এর মান kk এর মাধ্যমে একাশ করা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

যদি [গণিত] কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।দেখাও যে, [গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] ।[গণিত] বহুপদীকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: [গণিত] ।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান [গণিত] এর মাধ্যমে একাশ করা।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন