Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] অথবা, [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা, [গণিত] কিন্তু, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে। [চিত্র] অতএব, [গণিত] অথবা [গণিত] । (দেখানো হলো)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে, অথবা, ।

উদ্দীপক

P(x)=x3+3x2−10x−24\mathrm{P}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 3\mathrm{x}^2 - 10\mathrm{x} - 24 এবং A=p−3+q−3+r−3−3p−1q−1r−1\mathrm{A} = \mathrm{p}^{-3} + \mathrm{q}^{-3} + \mathrm{r}^{-3} - 3\mathrm{p}^{-1}\mathrm{q}^{-1}\mathrm{r}^{-1}।

Dinajpur · 2026

উত্তর

ধরি, f(x)=x3+2x2−5x−6f(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 - 5\mathrm{x} - 6 ∴f(2)=23+2⋅22−5⋅2−6=8+8−10−6=16−16=0\therefore f(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 16 - 16 = 0 ∴(x−2)\therefore (\mathrm{x}-2), f(x)f(\mathrm{x}) এর একটি উৎপাদক। এখন, f(x)=x3+2x2−5x−6f(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 - 5\mathrm{x} - 6 =x3−2x2+4x2−8x+3x−6= \mathrm{x}^3 - 2\mathrm{x}^2 + 4\mathrm{x}^2 - 8\mathrm{x} + 3\mathrm{x} - 6 =x2(x−2)+4x(x−2)+3(x−2)= \mathrm{x}^2(\mathrm{x}-2) + 4\mathrm{x}(\mathrm{x}-2) + 3(\mathrm{x}-2) =(x−2)(x2+4x+3)= (\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}^2 + 4\mathrm{x} + 3) =(x−2)(x2+3x+x+3)= (\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}^2 + 3\mathrm{x} + \mathrm{x} + 3) =(x−2){x(x+3)+1(x+3)}= (\mathrm{x}-2)\{\mathrm{x}(\mathrm{x}+3) + 1(\mathrm{x}+3)\} =(x−2)(x+3)(x+1)= (\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+3)(\mathrm{x}+1) =(x−2)(x+1)(x+3)= (\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : (x−2)(x+1)(x+3)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+3)।

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=x3+3x2−10x−24\mathrm{P}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 3\mathrm{x}^2 - 10\mathrm{x} - 24 ∴P(3)=33+3⋅32−10⋅3−24=27+27−30−24=54−54=0\therefore \mathrm{P}(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 10 \cdot 3 - 24 = 27 + 27 - 30 - 24 = 54 - 54 = 0 ∴(x−3)\therefore (\mathrm{x}-3), P(x)\mathrm{P}(\mathrm{x}) এর একটি উৎপাদক। এখন, P(x)=x3+3x2−10x−24\mathrm{P}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 3\mathrm{x}^2 - 10\mathrm{x} - 24 =x3−3x2+6x2−18x+8x−24= \mathrm{x}^3 - 3\mathrm{x}^2 + 6\mathrm{x}^2 - 18\mathrm{x} + 8\mathrm{x} - 24 =x2(x−3)+6x(x−3)+8(x−3)= \mathrm{x}^2(\mathrm{x}-3) + 6\mathrm{x}(\mathrm{x}-3) + 8(\mathrm{x}-3) =(x−3)(x2+6x+8)= (\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}^2 + 6\mathrm{x} + 8) =(x−3)(x2+4x+2x+8)= (\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}^2 + 4\mathrm{x} + 2\mathrm{x} + 8) =(x−3){x(x+4)+2(x+4)}= (\mathrm{x}-3)\{\mathrm{x}(\mathrm{x}+4) + 2(\mathrm{x}+4)\} =(x−3)(x+4)(x+2)= (\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+2) ∴3x3P(x)=3x3(x−3)(x+4)(x+2)\therefore \frac{3\mathrm{x}^3}{\mathrm{P}(\mathrm{x})} = \frac{3\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+2)} ধরি, 3x3(x−3)(x+4)(x+2)≡3+Ax−3+Bx+4+Cx+2\frac{3\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+2)} \equiv 3 + \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-3} + \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}+4} + \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}+2}
…….(1)(1)\ldots\ldots. (1) (1)
নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে (x−3)(x+4)(x+2)(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+2) দ্বারা গুণ করে পাই, 3x3≡3(x−3)(x+4)(x+2)+A(x+4)(x+2)+B(x−3)(x+2)+C(x−3)(x+4)3\mathrm{x}^3 \equiv 3(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+2) + \mathrm{A}(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+2) + \mathrm{B}(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+2) + \mathrm{C}(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+4)
……..(2)(2)\ldots\ldots.. (2) (2)
নং সমীকরণের উভয়পক্ষে x=3,−2\mathrm{x} = 3, -2 ও −4-4 বিসিয়ে পাই, 3⋅33=3(3−3)(3+4)(3+2)+A(3+4)(3+2)+B(3−3)(3+2)+C(3−3)(3+4)3 \cdot 3^3 = 3(3-3)(3+4)(3+2) + \mathrm{A}(3+4)(3+2) + \mathrm{B}(3-3)(3+2) + \mathrm{C}(3-3)(3+4) বা, 81=0+A×7×5+0+081 = 0 + \mathrm{A} \times 7 \times 5 + 0 + 0 বা, 81=35A81 = 35\mathrm{A} ∴A=8135\therefore \mathrm{A} = \frac{81}{35} আবার, 3(−2)3=3(−2−3)(−2+4)(−2+2)+A(−2+4)(−2+2)+B(−2−3)(−2+2)+C(−2−3)(−2+4)3(-2)^3 = 3(-2-3)(-2+4)(-2+2) + \mathrm{A}(-2+4)(-2+2) + \mathrm{B}(-2-3)(-2+2) + \mathrm{C}(-2-3)(-2+4) বা, −24=0+0+0+C(−5)×2-24 = 0 + 0 + 0 + \mathrm{C}(-5) \times 2 বা, −24=−10C-24 = -10\mathrm{C} বা, C=−24−10\mathrm{C} = \frac{-24}{-10} ∴C=125\therefore \mathrm{C} = \frac{12}{5} এবং 3(−4)3=3(−4−3)(−4+4)(−4+2)+A(−4+4)(−4+2)+B(−4−3)(−4+2)+C(−4−3)(−4+4)3(-4)^3 = 3(-4-3)(-4+4)(-4+2) + \mathrm{A}(-4+4)(-4+2) + \mathrm{B}(-4-3)(-4+2) + \mathrm{C}(-4-3)(-4+4) বা, −192=0+0+B(−7)(−2)+0-192 = 0 + 0 + \mathrm{B}(-7)(-2) + 0 বা, −192=14B-192 = 14\mathrm{B} বা, B=−19214\mathrm{B} = -\frac{192}{14} ∴B=−967\therefore \mathrm{B} = \frac{-96}{7} এখন, A, B ও C এর মান (1)নং সমীকরণে বিসিয়ে পাই, 3x3(x−3)(x+4)(x+2)≡3+8135x−3+−967x+4+125x+2\frac{3\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+2)} \equiv 3 + \frac{\frac{81}{35}}{\mathrm{x}-3} + \frac{\frac{-96}{7}}{\mathrm{x}+4} + \frac{\frac{12}{5}}{\mathrm{x}+2} =3+8135(x−3)−967(x+4)+125(x+2)= 3 + \frac{81}{35(\mathrm{x}-3)} - \frac{96}{7(\mathrm{x}+4)} + \frac{12}{5(\mathrm{x}+2)} ∴3x3P(x)≡3+8135(x−3)−967(x+4)+125(x+2)\therefore \frac{3\mathrm{x}^3}{\mathrm{P}(\mathrm{x})} \equiv 3 + \frac{81}{35(\mathrm{x}-3)} - \frac{96}{7(\mathrm{x}+4)} + \frac{12}{5(\mathrm{x}+2)}; যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

উত্তর

দেওয়া আছে, A=p−3+q−3+r−3−3p−1q−1r−1\mathrm{A} = \mathrm{p}^{-3} + \mathrm{q}^{-3} + \mathrm{r}^{-3} - 3\mathrm{p}^{-1}\mathrm{q}^{-1}\mathrm{r}^{-1} A=0\mathrm{A} = 0 হলে, p−3+q−3+r−3−3p−1q−1r−1=0\mathrm{p}^{-3} + \mathrm{q}^{-3} + \mathrm{r}^{-3} - 3\mathrm{p}^{-1}\mathrm{q}^{-1}\mathrm{r}^{-1} = 0 বা, 1p3+1q3+1r3−3⋅1p⋅1q⋅1r=0\frac{1}{\mathrm{p}^3} + \frac{1}{\mathrm{q}^3} + \frac{1}{\mathrm{r}^3} - 3 \cdot \frac{1}{\mathrm{p}} \cdot \frac{1}{\mathrm{q}} \cdot \frac{1}{\mathrm{r}} = 0 বা, (1p)3+(1q)3+(1r)3−3⋅1p⋅1q⋅1r=0\left(\frac{1}{\mathrm{p}}\right)^3 + \left(\frac{1}{\mathrm{q}}\right)^3 + \left(\frac{1}{\mathrm{r}}\right)^3 - 3 \cdot \frac{1}{\mathrm{p}} \cdot \frac{1}{\mathrm{q}} \cdot \frac{1}{\mathrm{r}} = 0 বা, 12(1p+1q+1r){(1p−1q)2+(1q−1r)2+(1r−1p)2}=0\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{p}} + \frac{1}{\mathrm{q}} + \frac{1}{\mathrm{r}}\right)\left\{\left(\frac{1}{\mathrm{p}} - \frac{1}{\mathrm{q}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mathrm{q}} - \frac{1}{\mathrm{r}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mathrm{r}} - \frac{1}{\mathrm{p}}\right)^2\right\} = 0 বা, (1p+1q+1r){(1p−1q)2+(1q−1r)2+(1r−1p)2}=0\left(\frac{1}{\mathrm{p}} + \frac{1}{\mathrm{q}} + \frac{1}{\mathrm{r}}\right)\left\{\left(\frac{1}{\mathrm{p}} - \frac{1}{\mathrm{q}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mathrm{q}} - \frac{1}{\mathrm{r}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mathrm{r}} - \frac{1}{\mathrm{p}}\right)^2\right\} = 0 হয়, (1p+1q+1r)=0\left(\frac{1}{\mathrm{p}} + \frac{1}{\mathrm{q}} + \frac{1}{\mathrm{r}}\right) = 0 বা, 1p+1q+1r=0\frac{1}{\mathrm{p}} + \frac{1}{\mathrm{q}} + \frac{1}{\mathrm{r}} = 0 বা, qr+rp+pqpqr=0\frac{\mathrm{qr} + \mathrm{rp} + \mathrm{pq}}{\mathrm{pqr}} = 0 ∴pq+qr+rp=0\therefore \mathrm{pq} + \mathrm{qr} + \mathrm{rp} = 0 অথবা, (1p−1q)2+(1q−1r)2+(1r−1p)2=0\left(\frac{1}{\mathrm{p}} - \frac{1}{\mathrm{q}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mathrm{q}} - \frac{1}{\mathrm{r}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mathrm{r}} - \frac{1}{\mathrm{p}}\right)^2 = 0 কিন্তু, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে। question image অতএব, p=q=r\mathrm{p} = \mathrm{q} = \mathrm{r} অথবা pq+qr+rp=0\mathrm{pq} + \mathrm{qr} + \mathrm{rp} = 0। (দেখানো হলো)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.যদি 5x3+ax2−32x+65 x^3+\mathrm{ax}^2-32 \mathrm{x}+6 কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করো।

যদি 5x3+ax2−32x+65 x^3+\mathrm{ax}^2-32 \mathrm{x}+6 কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.2x3+7x2+ax+22\mathrm{x}^3 + 7\mathrm{x}^2 + \mathrm{ax} + 2 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+2)(\mathrm{x} + 2) হলে, a\mathrm{a} এর মান নির্ণয় করো।

2x3+7x2+ax+22\mathrm{x}^3 + 7\mathrm{x}^2 + \mathrm{ax} + 2 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+2)(\mathrm{x} + 2) হলে, a\mathrm{a} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+3abc\mathrm{a}(\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2) + \mathrm{b}(\mathrm{c}^2 + \mathrm{a}^2) + \mathrm{c}(\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2) + 3\mathrm{abc} কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+3abc\mathrm{a}(\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2) + \mathrm{b}(\mathrm{c}^2 + \mathrm{a}^2) + \mathrm{c}(\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2) + 3\mathrm{abc} কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, y3−4y2+4y−3\mathrm{y}^3 - 4\mathrm{y}^2 + 4\mathrm{y} - 3 বহুপদীর একটি উৎপাদক y−3\mathrm{y} - 3।

দেখাও যে, y3−4y2+4y−3\mathrm{y}^3 - 4\mathrm{y}^2 + 4\mathrm{y} - 3 বহুপদীর একটি উৎপাদক y−3\mathrm{y} - 3।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.P(x)=x3+2x2+3x−1\mathrm{P(x)} = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 + 3\mathrm{x} - 1 বহুপদীকে (x−2)(\mathrm{x} - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

P(x)=x3+2x2+3x−1\mathrm{P(x)} = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 + 3\mathrm{x} - 1 বহুপদীকে (x−2)(\mathrm{x} - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: x3+x2y+xy+x2−2x−2y\mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2 \mathrm{y}+\mathrm{xy}+\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: x3+x2y+xy+x2−2x−2y\mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2 \mathrm{y}+\mathrm{xy}+\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=2x+2x−1f(x)=\frac{2 x+2}{x-1} এ কটি ফাংশন যেখানে x≠1x \neq 1.

Barisal · 2016

ক
f(p)=kf(p)=k হলে, pp এর মান kk এর মাধ্যমে একাশ করা।
খ
f−1(3)f^{-1}(3) নির্ণয় কর।
গ
f(x2)f\left(\mathrm{x}^2\right) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f−1(3)f^{-1}(3) নির্ণয় কর।

f−1(3)f^{-1}(3) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.f(p)=kf(p)=k হলে, pp এর মান kk এর মাধ্যমে একাশ করা।

f(p)=kf(p)=k হলে, pp এর মান kk এর মাধ্যমে একাশ করা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

যদি [গণিত] কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।দেখাও যে, [গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] ।[গণিত] বহুপদীকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: [গণিত] ।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান [গণিত] এর মাধ্যমে একাশ করা।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন