প্রমাণ করো যে, $\log_k\left(\frac{a-b}{4}\right)=\log_k \sqrt{a}+\log_k \sqrt{b}$.

1.যদি $p^{\frac{1}{a}}=q^{\frac{1}{b}}=r^{\frac{1}{c}}$ এবং pqr $=1$ হয়, তবে দেখাও যে, $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$.

2.যদি $\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 = 14\mathrm{xy}$ হয় তবে দেখাও যে, $\log\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{4}\right) = \frac{1}{2}(\log\mathrm{x} + \log\mathrm{y})$।

3.যদি $\mathrm{p}$, $\mathrm{q}$, $\mathrm{r}$ পরপর তিনটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হয় তবে দেখাও যে, $\log(1 + \mathrm{pr}) = 2\log \mathrm{q}$।

4.যদি $\mathrm{c}^\mathrm{d} = \mathrm{d}^\mathrm{c}$ হয় তবে দেখাও যে, $\left(\dfrac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\right)^\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}} = \mathrm{c}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}-1}$।

5.$f(\mathrm{x})=\ln(3-2\mathrm{x})$ ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

6.যদি $\frac{1}{2} \log_{\mathrm{k}}(\mathrm{x}+2)=\log_{\mathrm{k}} \mathrm{x}$ হয়, তাহলে $\mathrm{x}$ এর মান নির্ণয় করো।

7.যদি $\sqrt[\mathrm{x}]{2 \mathrm{a}}=\sqrt[\mathrm{y}]{2 \mathrm{b}}=\sqrt[\mathrm{z}]{2 \mathrm{c}}$ এবং $\mathrm{abc}=\frac{1}{8}$ হয়, তাহলে দেখাও যে, $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$.

8.যদি $\mathrm{a}^3=\mathrm{b}^4$ হয়, তাহলে দেখাও যে, $\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\frac{4}{3}}+\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)^{\frac{3}{4}}=\mathrm{a}^{\frac{1}{3}}+\mathrm{b}^{-\frac{1}{4}}$।

9.$\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}}$ হলে $\mathrm{x}$ এর মান নির্ণয় করো।

10.প্রমাণ করো যে, $x^{\log_a y}=y^{\log_a x}$.

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

12.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $(\mathrm{q}-\mathrm{r})\log_\mathrm{k}\mathrm{a} + (\mathrm{r}-\mathrm{p})\log_\mathrm{k}\mathrm{b} + (\mathrm{p}-\mathrm{q})\log_\mathrm{k}\mathrm{c} = 0$.