অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন উচ্চতর গণিত

SSC উচ্চতর গণিত এর অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৯৭

প্রশ্ন

উচ্চতর গণিত

বিষয়

SSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

a=xyp−1\mathrm{a} = \mathrm{xy}^{\mathrm{p}-1}, b=xyq−1\mathrm{b} = \mathrm{xy}^{\mathrm{q}-1}, c=xyr−1\mathrm{c} = \mathrm{xy}^{\mathrm{r}-1} এবং f(x)=ln⁡4+x4−xf(\mathrm{x}) = \ln\frac{4+\mathrm{x}}{4-\mathrm{x}}

Sylhet · 2016

ক
(16)2x=4x+1(16)^{2\mathrm{x}} = 4^{\mathrm{x}+1} হলে, x\mathrm{x} = কত?

উত্তর

দেওয়া আছে, (16)2x=4x+1(16)^{2\mathrm{x}} = 4^{\mathrm{x}+1} বা, (42)2x=4x+1(4^2)^{2\mathrm{x}} = 4^{\mathrm{x}+1} বা, 44x=4x+14^{4\mathrm{x}} = 4^{\mathrm{x}+1} বা, 4x=x+14\mathrm{x} = \mathrm{x}+1 বা, 3x=13\mathrm{x} = 1 ∴x=13\therefore \mathrm{x} = \frac{1}{3} (Ans.)
খ
উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, (q−r)log⁡ka+(r−p)log⁡kb+(p−q)log⁡kc=0(\mathrm{q}-\mathrm{r})\log_\mathrm{k}\mathrm{a} + (\mathrm{r}-\mathrm{p})\log_\mathrm{k}\mathrm{b} + (\mathrm{p}-\mathrm{q})\log_\mathrm{k}\mathrm{c} = 0.

উত্তর

দেওয়া আছে, a=xyp−1\mathrm{a} = \mathrm{xy}^{\mathrm{p}-1}, b=xyq−1\mathrm{b} = \mathrm{xy}^{\mathrm{q}-1}, c=xyr−1\mathrm{c} = \mathrm{xy}^{\mathrm{r}-1} বামপক্ষ =(q−r)log⁡ka+(r−p)log⁡kb+(p−q)log⁡kc= (\mathrm{q}-\mathrm{r})\log_\mathrm{k}\mathrm{a} + (\mathrm{r}-\mathrm{p})\log_\mathrm{k}\mathrm{b} + (\mathrm{p}-\mathrm{q})\log_\mathrm{k}\mathrm{c} =log⁡kaq−r+log⁡kbr−p+log⁡kcp−q= \log_\mathrm{k}\mathrm{a}^{\mathrm{q}-\mathrm{r}} + \log_\mathrm{k}\mathrm{b}^{\mathrm{r}-\mathrm{p}} + \log_\mathrm{k}\mathrm{c}^{\mathrm{p}-\mathrm{q}} =log⁡k(xyp−1)q−r+log⁡k(xyq−1)r−p+log⁡k(xyr−1)p−q= \log_\mathrm{k}(\mathrm{xy}^{\mathrm{p}-1})^{\mathrm{q}-\mathrm{r}} + \log_\mathrm{k}(\mathrm{xy}^{\mathrm{q}-1})^{\mathrm{r}-\mathrm{p}} + \log_\mathrm{k}(\mathrm{xy}^{\mathrm{r}-1})^{\mathrm{p}-\mathrm{q}} =log⁡kxq−r+log⁡ky(p−1)(q−r)+log⁡kxr−p+log⁡ky(q−1)(r−p)= \log_\mathrm{k}\mathrm{x}^{\mathrm{q}-\mathrm{r}} + \log_\mathrm{k}\mathrm{y}^{(\mathrm{p}-1)(\mathrm{q}-\mathrm{r})} + \log_\mathrm{k}\mathrm{x}^{\mathrm{r}-\mathrm{p}} + \log_\mathrm{k}\mathrm{y}^{(\mathrm{q}-1)(\mathrm{r}-\mathrm{p})} +log⁡kxp−q+log⁡ky(r−1)(p−q)+ \log_\mathrm{k}\mathrm{x}^{\mathrm{p}-\mathrm{q}} + \log_\mathrm{k}\mathrm{y}^{(\mathrm{r}-1)(\mathrm{p}-\mathrm{q})} =log⁡k(xq−r⋅xr−p⋅xp−q)+log⁡k{y(p−1)(q−r)⋅y(q−1)(r−p)⋅y(r−1)(p−q)}= \log_\mathrm{k}(\mathrm{x}^{\mathrm{q}-\mathrm{r}} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{r}-\mathrm{p}} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{p}-\mathrm{q}}) + \log_\mathrm{k}\{\mathrm{y}^{(\mathrm{p}-1)(\mathrm{q}-\mathrm{r})} \cdot \mathrm{y}^{(\mathrm{q}-1)(\mathrm{r}-\mathrm{p})} \cdot \mathrm{y}^{(\mathrm{r}-1)(\mathrm{p}-\mathrm{q})}\} =log⁡3(xq−r+r−p+p−q)+log⁡3(ypq−pr−q+r+qr−pq−r+p+pr−qr−p+q)=\log_3\left(x^{q-r+r-p+p-q}\right)+\log_3\left(y^{p q-p r-q+r+q r-p q-r+p+p r-q r-p+q}\right) =log⁡kx0+log⁡ky0=log⁡k1+log⁡k1=0== \log_\mathrm{k}\mathrm{x}^0 + \log_\mathrm{k}\mathrm{y}^0 = \log_\mathrm{k}1 + \log_\mathrm{k}1 = 0 = ডানপক্ষ ∴(q−r)log⁡ka+(r−p)log⁡kb+(p−q)log⁡kc=0\therefore (\mathrm{q}-\mathrm{r})\log_\mathrm{k}\mathrm{a} + (\mathrm{r}-\mathrm{p})\log_\mathrm{k}\mathrm{b} + (\mathrm{p}-\mathrm{q})\log_\mathrm{k}\mathrm{c} = 0 (প্রমাণিত)
গ
f(x)=ln⁡4+x4−xf(\mathrm{x}) = \ln\frac{4+\mathrm{x}}{4-\mathrm{x}} ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, y=f(x)=ℓn4+x4−x\mathrm{y} = f(\mathrm{x}) = \ell\mathrm{n}\frac{4+\mathrm{x}}{4-\mathrm{x}} যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়, সেহেতু, 4+x4−x>0\frac{4+\mathrm{x}}{4-\mathrm{x}} > 0 যদি (i) 4+x>04 + \mathrm{x} > 0 এবং 4−x>04 - \mathrm{x} > 0 হয় অথবা (ii) 4+x<04 + \mathrm{x} < 0 এবং 4−x<04 - \mathrm{x} < 0 হয় শর্ত (i) হতে পাই, x>−4\mathrm{x} > -4 এবং −x>−4-\mathrm{x} > -4 ∴x<4\therefore \mathrm{x} < 4 ∴\therefore ডোমেন ={x:−4<x}∩{x:x<4}= \{\mathrm{x} : -4 < \mathrm{x}\} \cap \{\mathrm{x} : \mathrm{x} < 4\} =(−4,∞)∩(−∞,4)= (-4, \infty) \cap (-\infty, 4) =(−4,4)= (-4, 4) শর্ত (ii) হতে পাই, x<−4\mathrm{x} < -4 এবং −x<−4-\mathrm{x} < -4 ∴x>4\therefore \mathrm{x} > 4 ∴\therefore ডোমেন ={x:x<−4}∩{x:x>4}=∅= \{\mathrm{x} : \mathrm{x} < -4\} \cap \{\mathrm{x} : \mathrm{x} > 4\} = \varnothing ∴\therefore প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন Df=\mathrm{D}_f = শর্ত (i) ও (ii) এ প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ =(−4,4)∪∅= (-4, 4) \cup \varnothing =(−4,4)= (-4, 4) রেঞ্জ: y=f(x)=ℓn4+x4−x\mathrm{y} = f(\mathrm{x}) = \ell\mathrm{n}\frac{4+\mathrm{x}}{4-\mathrm{x}} বা, ey=4+x4−x\mathrm{e}^\mathrm{y} = \frac{4+\mathrm{x}}{4-\mathrm{x}} বা, 4+x=4ey−xey4 + \mathrm{x} = 4\mathrm{e}^\mathrm{y} - \mathrm{x}\mathrm{e}^\mathrm{y} বা, x+xey=4ey−4\mathrm{x} + \mathrm{x}\mathrm{e}^\mathrm{y} = 4\mathrm{e}^\mathrm{y} - 4 বা, x(1+ey)=4(ey−1)\mathrm{x}(1+\mathrm{e}^\mathrm{y}) = 4(\mathrm{e}^\mathrm{y}-1) বা, x=4(ey−1)ey+1\mathrm{x} = \frac{4(\mathrm{e}^\mathrm{y}-1)}{\mathrm{e}^\mathrm{y}+1} y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়। ∴\therefore প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ Rf=R\mathrm{R}_f = \mathbb{R} Ans. ডোমেন Df=(−4,4)\mathrm{D}_f = (-4, 4) এবং রেঞ্জ Rf=R\mathrm{R}_f = \mathbb{R}

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো
SSC উচ্চতর গণিত — অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন MCQ | Prosthuti