Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

P(x, y) বিন্দু হতে x-অক্ষের দূরত্ব এবং D বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে প্রমাণ কর যে [গণিত] .

উত্তর: এখানে, P(x, y) বিন্দু হতে x-অক্ষের দূরত্ব = y এবং P(x, y) বিন্দু হতে D(5, 10) বিন্দুর দূরত্ব = [গণিত] প্রশ্নমতে, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

P(x, y) বিন্দু হতে x-অক্ষের দূরত্ব এবং D বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে প্…

উদ্দীপক

A(3, 4), B(10, 4), C(7, 10) ও D(5, 10) একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

Rajshahi · 2019

উত্তর

দেওয়া আছে, A ও D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, 4) ও (5, 10) ∴ AD সরলরেখার সমীকরণ, x−33−5=y−44−10\frac{\mathrm{x}-3}{3-5}=\frac{\mathrm{y}-4}{4-10} বা, x−3−2=y−4−6\frac{\mathrm{x}-3}{-2}=\frac{\mathrm{y}-4}{-6} বা, x−3=y−43\mathrm{x}-3=\frac{\mathrm{y}-4}{3} বা, 3x−9=y−43\mathrm{x}-9=\mathrm{y}-4 ∴ 3x−y−5=03\mathrm{x}-\mathrm{y}-5=0 (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো A(3, 4), B(10, 4), C(7,10) এবং D(5, 10) AB রেখার ঢাল = 4−410−3=0\frac{4-4}{10-3}=0 DC রেখার ঢাল = 10−105−7=0\frac{10-10}{5-7}=0 ∴ AB || DC question image দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের AD ও BC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ || AB || DC এবং PQ = 12\frac{1}{2} (AB+DC) প্রমাণ: মনে করি, মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a b c ও d AB⃗\vec{\mathrm{AB}}= b - a এবং DC⃗\vec{\mathrm{DC}}= c - d ∴ P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = 12(a⃗+d⃗)\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{d}}) [∵ P, AD এর মধ্যবিন্দু] Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = 12(b⃗+c⃗)\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}}) [∵ Q, CB এর মধ্যবিন্দু] এখন, PQ⃗=12(b⃗+c⃗)−12(a⃗+d⃗)\vec{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{b}}+\vec{\mathrm{c}})-\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{d}}) ==12(b‾+c‾−a‾−d‾)=12{(b‾−a‾)+(c‾−d‾)}=\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{c}-\underline{a}-\underline{d})=\frac{1}{2}\{(\underline{b}-\underline{a})+(\underline{c}-\underline{d})\} = 12(AB⃗+DC⃗)\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{DC}}) কিন্তু DC⃗\vec{\mathrm{DC}} ও AB⃗\vec{\mathrm{AB}} পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায় (DC⃗+AB⃗)(\vec{\mathrm{DC}} + \vec{\mathrm{AB}}) ভেক্টরটিও তাদের (অর্থাৎ DC⃗\vec{\mathrm{DC}} ও AB⃗\vec{\mathrm{AB}} এর) সমান্তরাল হবে। সুতরাং PQ⃗\vec{\mathrm{PQ}} ভেক্টরও DC⃗\vec{\mathrm{DC}} ও AB⃗\vec{\mathrm{AB}} এর সমান্তরাল হবে। এখন PQ⃗=12(AB⃗+DC⃗)\vec{\mathrm{PQ}} = \frac{1}{2}(\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{DC}}) ∴ ∣PQ⃗∣=12∣AB⃗+DC⃗∣|\vec{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{DC}}| অর্থাৎ PQ=12(AB+DC)\mathrm{PQ} = \frac{1}{2}(\mathrm{AB} + \mathrm{DC}) অর্থাৎ PQ || AB || DC এবং PQ = 12\frac{1}{2} (AB + DC) (প্রমাণিত)

উত্তর

এখানে, P(x, y) বিন্দু হতে x-অক্ষের দূরত্ব = y এবং P(x, y) বিন্দু হতে D(5, 10) বিন্দুর দূরত্ব = (x−5)2+(y−10)2\sqrt{(\mathrm{x} - 5)^2 + (\mathrm{y} - 10)^2} প্রশ্নমতে, (x−5)2+(y−10)2=y\sqrt{(\mathrm{x} - 5)² + (\mathrm{y} - 10)²} = \mathrm{y} বা, (x−5)2+(y−10)2=y2(\mathrm{x}-5)² + (\mathrm{y} - 10)² = \mathrm{y}² [বর্গ করে] বা, x2−10x+25+y2−20y+100=y2\mathrm{x}² - 10\mathrm{x} + 25 + \mathrm{y}² - 20\mathrm{y} + 100 = \mathrm{y}² বা, x2−10x−20y+125=0\mathrm{x}² - 10\mathrm{x} - 20\mathrm{y} + 125 = 0 (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং PR ও QS উহার দুটি কর্ণ।

Sylhet · 2016

ক
নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?
খ
প্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.
গ
ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাসমূহ একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.

প্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?

নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে A(2,-4), B(-4, 4) এবং C(3, a) যেখানে a > 0

Chittagong · 2016

ক
AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।
খ
AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।
গ
ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও তার অর্ধেক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।

AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।

AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(7, 2), Q(-4, 2), R(-4, -3) এবং S(7, -3) বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

Comilla · 2016

ক
PQ বাহুর ঢাল নির্ণয় কর।
খ
বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি আয়তক্ষেত্র নাকি সামান্তরিক যাচাই কর।
গ
যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত চতুর্ভুজটির সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F ও G হয়, তবে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, DEFG একটি সামান্তরিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেশূন্য ভেক্টর কাকে বলে?AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযপ্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজকAB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত চতুর্ভুজটির সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন