অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর উচ্চতর গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক

ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) বিন্দুসমূহ নিয়ে গঠিত ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \[\begin{vmatrix} -5 & 5 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 5 & 5 & 0 \end{vmatrix}\] = $\frac{1}{2}(0+25+25+0-0-0+25+25)$ = $\frac{1}{2} \times 100 = 50$ বর্গ একক (Ans.)

খ

দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

উত্তর

দেওয়া আছে, A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) ও D(-5, 5) তাহলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5+5)² + (0-0)²}$ = $\sqrt{(10)² + (0)^2}$ = $\sqrt{100} = 10$ একক BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5-5)² + (5-0)^2}$ = $\sqrt{0²+5^2} = \sqrt{25}$ = 5 একক CD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5-5)² + (5-5)²} = \sqrt{(-10)^2 +0^2}$ =$\sqrt{100} = 10$ একক এবং AD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5+5)² + (5-0)²} = \sqrt{0² + 5²}$ = $\sqrt{25} = 5$ একক আবার, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5-5)² + (0-5)²}$ = $\sqrt{10² + 5²}$ = $\sqrt{100+ 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ একক এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5-5)² + (5-0)²}$ = $\sqrt{(-10)² + 5²}$ = $\sqrt{100+25}=\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ একক এখানে, AB = CD; BC = AD এবং কর্ণ AC = কর্ণ BD ∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। (দেখানো হলো)

গ

AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = $\frac{1}{2}$ BC.

উত্তর

মনে করি, $A B C$ ত্রিভুজের $A B$ ও $A C$ বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$ । $D$ ও $E$ যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $D E \| B C$ এবং $D E=\frac{1}{2} B C$ । ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, $\overrightarrow{A E}-$$\overrightarrow{A D}$$=$$\overrightarrow{D E}$$\cdots \cdots$ (1) এবং $\overrightarrow{A C}-$$\overrightarrow{A B}$$=\overrightarrow{B C}$ কিন্তু $\overrightarrow{A C}=2$$\overrightarrow{A E}$$,$$\overrightarrow{A B}$$=2$$\overrightarrow{A D}$$[\because D, E$ বিন্দু যথাক্রমে $A B$ ও $A C$ এর মধ্যবিন্দু] $\therefore$$\overrightarrow{A C}$$-$$\overrightarrow{A B}$$=\overrightarrow{B C}$ থেকে পাই $2$$\overrightarrow{A E}$$-2$$\overrightarrow{A D}$$=\overrightarrow{B C}$, অর্থাৎ $2($$\overrightarrow{A E}$$-$$\overrightarrow{A D}$$)=\overrightarrow{B C}$ $\therefore 2$$\overrightarrow{D E}$$=\overrightarrow{B C}$ [(1) হতে] $\therefore$$\overrightarrow{D E}$$=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ এবং $|$$\overrightarrow{D E}$$|=\frac{1}{2}|$$\overrightarrow{B C}$$|$ বা $D E=\frac{1}{2} B C$ সুতরাং $\overrightarrow{D E}$ ও $\overrightarrow{B C}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{D E}$ ও $\overrightarrow{B C}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ $D E$ এবং $B C$ সমান্তরাল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং PR ও QS উহার দুটি কর্ণ।

Sylhet · 2016

ক

নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?

উত্তর

ত্রিভুজের লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্র সংযোজন করে উৎপন্ন রেখাংশের মধ্যবিন্দুই নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র। আবার, নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের অর্ধেকের সমান হয়।

খ

প্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি বৃত্তে অর্ন্তলিখিত PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS । PR এবং QS চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, PR. QS = PQ. RS+QR. PS. অঙ্কন: ∠QPR কে ∠SPR এর ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR-এর সমান করে ∠SPM আঁকি যেন PM রেখা QS কর্ণকে M বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে ∠QPR = ∠SPM উভয়পক্ষে ∠RPM যোগ করে পাই, ∠QPR + ∠RPM = ∠SPM + ∠RPM অর্থাৎ, ∠QPM = ∠RPS এখন $\triangle$PQM ও $\triangle$PRS এর মধ্যে ∠PQS = ∠PRS [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠PMQ = অবশিষ্ট ∠PSR ∴ $\triangle$PQM ও $\triangle$PRS সদৃশকোণী। $\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$ অর্থাৎ, PR. QM = PQ . RS $\ldots\ldots\ldots\ldots. (i)$ আবার, $\triangle$PQR ও $\triangle$PMS এর মধ্যে ∠QPR = ∠SPM [অঙ্কন অনুসারে] ∠PSM = ∠PRQ [একটি বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠PQR = অবশিষ্ট ∠PMS ∴ $\triangle$PQR ও $\triangle$PMS সদৃশকোণী। $\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{MS}}{\mathrm{QR}}$ অর্থাৎ, PR. MS = QR . PS $\ldots\ldots\ldots\ldots.(ii)$ এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, PR. QM + PR. MS = PQ. RS + QR. PS বা, PR (QM + MS) = PQ. RS + QR . PS বা, PR. QS = PQ. RS+QR. PS [যেহেতু QM+MS = QS] ∴ PR.QS = PQ.RS + QR.PS (প্রমাণিত)

গ

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাসমূহ একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

উত্তর

মনে করি PQRS সামান্তরিকের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে A, B, C ও D । প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। প্রমাণ: ধরি, $\overrightarrow{PQ} = \underline{p},$$\overrightarrow{QR}$$= \underline{q},$$\overrightarrow{RS}$$= \underline{r},$$\overrightarrow{SP}$$= \underline{s}$ তাহলে,$\overrightarrow{A B}=$$\overrightarrow{A Q}$$+$$\overrightarrow{Q B}$$=\frac{1}{2}($$\overrightarrow{P Q}$$+$$\overrightarrow{Q R}$$)=\frac{1}{2}(\mathrm{p}+\mathrm{q})$ অনুরূপভাবে $\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\underline{q} + \underline{r})$ $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{s})$ $\overrightarrow{DA} = \frac{1}{2}(\underline{s} + \underline{p})$ আবার, $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\mathrm{p}+\mathrm{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{RP}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}$ কিন্তু $(p+q)+(r+\underline{s})=$$\overrightarrow{P R}$$+$$\overrightarrow{R P}$$=$$\overrightarrow{P R}$$-$$\overrightarrow{P R}$$=0$ অর্থাৎ $(p+q)=-(r+\underline{s})$ $\therefore$$\overrightarrow{A B}$$=\frac{1}{2}(p+q)=-\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{s})=-$$\overrightarrow{C D}$$=\overrightarrow{D C}$ তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ এর ধারকরেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক নয়। ∴ ধারকরেখাদ্বয় সমান্তরাল। $\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}} \| \overrightarrow{\mathrm{DC}}$. এখন, $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DC}}| \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ $\therefore \mathrm{AB}$ এবং DC সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, BC এবং AD সমান ও সমান্তরাল। $\therefore \mathrm{ABCD}$ একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে A(2,-4), B(-4, 4) এবং C(3, a) যেখানে a > 0

Chittagong · 2016

ক

AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুত্রয় A(2, -4), B(-4, 4) এবং C(3, a) প্রশ্নমতে, AC = BC বা, $\sqrt{(3-2)² + (a + 4)²} = \sqrt{(3 + 4)² + (a-4)²}$ বা, $\sqrt{1 + a² + 8a + 16} = \sqrt{49 + a² - 8a+ 16}$ বা, $a² + 8a + 17 = a² - 8a+ 65$ [বর্গ করে] বা, $16a = 65-17$ বা, $a = \frac{48}{16}$ ∴ a = 3 (Ans.)

খ

AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর

A(2, – 4) ও B(-4, 4)-বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, $\frac{\mathrm{x}-2}{2-(-4)}=\frac{\mathrm{y}-(-4)}{-4-4}$ বা, $\frac{\mathrm{x}-2}{6}=\frac{\mathrm{y}+4}{-8}$ বা, $- 8\mathrm{x} + 16 = 6\mathrm{y} + 24$ বা, – $8\mathrm{x}-6\mathrm{y}+16-24=0$ বা, $- 8\mathrm{x} - 6\mathrm{y} - 8 = 0$ বা, $- 2(4\mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 4) = 0$ ∴ $4\mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 4 = 0$ (Ans.) আবার, AB রেখার ঢাল = $\frac{4-(-4)}{-4-2}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}$ (Ans.)

গ

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও তার অর্ধেক।

উত্তর

মনে করি, $A B C$ ত্রিভুজের $A B$ ও $A C$ বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$ । $D$ ও $E$ যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $D E \| B C$ এবং $D E=\frac{1}{2} B C$ । ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, $\overrightarrow{A E}-$$\overrightarrow{A D}$$=$$\overrightarrow{D E}$$\cdots \cdots$ (1) এবং $\overrightarrow{A C}-$$\overrightarrow{A B}$$=\overrightarrow{B C}$ কিন্তু $\overrightarrow{A C}=2$$\overrightarrow{A E}$$,$$\overrightarrow{A B}$$=2$$\overrightarrow{A D}$$[\because D, E$ বিন্দু যথাক্রমে $A B$ ও $A C$ এর মধ্যবিন্দু] $\therefore$$\overrightarrow{A C}$$-$$\overrightarrow{A B}$$=\overrightarrow{B C}$ থেকে পাই $2$$\overrightarrow{A E}$$-2$$\overrightarrow{A D}$$=\overrightarrow{B C}$, অর্থাৎ $2($$\overrightarrow{A E}$$-$$\overrightarrow{A D}$$)=\overrightarrow{B C}$ $\therefore 2$$\overrightarrow{D E}$$=\overrightarrow{B C}$ [(1) হতে] $\therefore$$\overrightarrow{D E}$$=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ এবং $|$$\overrightarrow{D E}$$|=\frac{1}{2}|$$\overrightarrow{B C}$$|$ বা $D E=\frac{1}{2} B C$ সুতরাং $\overrightarrow{D E}$ ও $\overrightarrow{B C}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{D E}$ ও $\overrightarrow{B C}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ $D E$ এবং $B C$ সমান্তরাল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

P(7, 2), Q(-4, 2), R(-4, -3) এবং S(7, -3) বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

Comilla · 2016

ক

PQ বাহুর ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, P(7, 2) এবং Q(-4, 2) PQ বাহুর ঢাল = $\frac{2-2}{7-(-4)}=\frac{0}{7+4}=0$ (Ans.)

খ

বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি আয়তক্ষেত্র নাকি সামান্তরিক যাচাই কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ যথাক্রমে A(7, 2), B(-4, 2), C(-4, -3) এবং D(7,-3) ∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(7+4)² + (2-2)^2}$ =$\sqrt{(11)² + 0} = 11$ একক BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-4+4)² + (2+3)²} = \sqrt{0 + 5^2} = 5$ একক CD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-4-7)^2+(-3+3)^2}=\sqrt{121 + 0} = 11$ একক AD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(7-7)² + (2+3)²} = \sqrt{0 + 5^2} = 5$ একক AC কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(7 + 4)^2 + (2+3)^2}$ = $\sqrt{121 + 25} = \sqrt{146}$ একক BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-4-7)² + (2+3)²} = \sqrt{121 + 25}$ = $\sqrt{146}$ একক সুতরাং আমরা পাই, AB = CD এবং BC = AD আবার, কর্ণ AC = কর্ণ BD. ∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। (Ans.)

গ

যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত চতুর্ভুজটির সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F ও G হয়, তবে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, DEFG একটি সামান্তরিক।

উত্তর

PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F, G । D, E; E, F; F, G এবং D, G যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DEFG চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। প্রমাণ: মনে করি, $\vec{\mathrm{PQ}} = \vec{\mathrm{p}}, \vec{\mathrm{QR}} = \vec{\mathrm{q}}, \vec{\mathrm{RS}} = \vec{\mathrm{r}}, \vec{\mathrm{SP}} = \vec{\mathrm{s}}$ P, R যোগ করা হলো। তাহলে $\vec{\mathrm{DE}} = \vec{\mathrm{DQ}} + \vec{\mathrm{QE}} = \frac{1}{2}(\vec{\mathrm{PQ}}+\vec{\mathrm{QR}}) = \frac{1}{2}(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})$ অনুরূপভাবে $\vec{\mathrm{FG}}=\vec{\mathrm{FS}}+\vec{\mathrm{SG}}=\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{RS}}+\vec{\mathrm{SP}})=\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}})$ কিন্তু $(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})+(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}})=\vec{\mathrm{PR}}+\vec{\mathrm{RP}}=\vec{\mathrm{PR}}-\vec{\mathrm{PR}}=0$ বা, $(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})+(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}}) = 0$ বা, $(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})= -(\vec{\mathrm{r}} + \vec{\mathrm{s}})$ বা, $\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})= -\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}})$ ∴ $\vec{\mathrm{DE}} =- \vec{\mathrm{FG}}$ বা, $\vec{\mathrm{DE}} = \vec{\mathrm{GF}}$ ∴ DE ও GF সমান ও সমান্তরাল ∴ DEFG চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো