Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: [বি. দ্র: S, T এর পরিবর্তে A, B হবে] [চিত্র] এখানে, [গণিত] এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] . প্রমাণ : যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T. [গণিত] এবং [গণিত] এখন, △ PST হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] . . . . . . . . . .(1) আবার, [গণিত] -হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, [গণিত] . . . . . . . . . . .(2) (1) ও (2) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] যেহেতু ST, QR এর অর্ধেক। অতএব ST এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু ST ও QR এর ধারক রেখা এক নয়। তাই ST ও QR পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR [গণিত] সুতরাং QR || ST এবং ST = [গণিত] QR. (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, .

উদ্দীপক

△PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ,PR\mathrm{PQ}, \mathrm{PR} এবং QR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} এবং C ।

উত্তর

অবস্থান ভেক্টর: প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর বা বিন্দুর-অবস্থান যে সরলরেখা দ্বারা নির্দেশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। question image চিত্রে, P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}}. সমতলস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু O সাপেক্ষে ঐ সমতলের যেকোনো P বিন্দুর অবস্থান OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}} দ্বারা নির্দিষ্ট করা যায়। OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}} কে O বিন্দু সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলা হয় এবং O বিন্দুকে ভেক্টর মূলবিন্দু (origin) বলা হয়। ধারক রেখা : কোনো ভেক্টর (দিক নির্দেশক রেখাংশ) যে অসীম সরলরেখার অংশ বিশেষ, তাকে ঐ ভেক্টরের ধারক রেখা বা শুধু ধারক (Support) বলা হয়।

উত্তর

[বি.দ্র.: T, D, S এর পরিবর্তে যথাক্রমে A, B ও C হবে। question image দেওয়া আছে, △PQR\triangle \mathrm{PQR}-এর PQ,QR\mathrm{PQ}, \mathrm{QR} ও PR বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে T, D ও S । প্রমাণ করতে হবে যে, PD→+QS→+RT→=0‾\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underline{0}. ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, △PQS\triangle \mathrm{PQS} হতে পাই, PQ→+QS→=PS→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} ∴PR→=2PQ→+2QS→……….. (i) \therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PR}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} \ldots \ldots \ldots . . \text{ (i) } ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} হতে পাই, PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}} বা, QR→=PR→−PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}} বা, QR→=2PQ→+2QS→−PQ→{[(i)\overrightarrow{\mathrm{QR}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \{ [(i) নং হতে ]}] \} ∴QR→=PQ→+2QS→............... (ii) \therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} . . . . . . . . . . . . . . . \text{ (ii) } △PQD\triangle \mathrm{PQD} হতে পাই, PQ→+QD→=PD→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}} বা, PD→=PQ→+12QR→[∵QD→=12QR→]............... (iii) \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}}\right]. . . . . . . . . . . . . . . \text{ (iii) } বা, PD→=PQ→+12(PQ→+2QS→)\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}}) [(ii)[(ii) নং হতে ]] ∴PD→=32PQ→+QS→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}} △PRT\triangle \mathrm{PRT} হতে পাই, PR→+RT→=PT→\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}} বা, RT→=PT→−PR→\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}} বা, RT→=12PQ→−PR→[∵PT→=12PQ→]\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right] বা, RT→=12PQ→−(2PQ→+2QS→)\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-(2 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}}) [(i)[(i) নং হতে ]] বা, RT→=−32PQ→−2QS→\overrightarrow{\mathrm{RT}}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} …….(iv)\ldots\ldots.(iv) বামপক্ষ =PD→+QS→+RT→=\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}} =32PQ→+QS→+QS→−32PQ→−2QS→=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} =0‾=\underline{0} == ডানপক্ষ ∴PD→+QS→+RT→=0‾.\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PD}} +\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underline{0} . (প্রমাণিত )

উত্তর

[বি. দ্র: S, T এর পরিবর্তে A, B হবে] question image এখানে, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। প্রমাণ করতে হবে যে, QR∥ST\mathrm{QR} \| \mathrm{ST} এবং ST=12QR\mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}. প্রমাণ : যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T. ∴PS→=12PQ→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}} এবং PT→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} এখন, △ PST হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, ST→=PT→−PS→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}} বা, ST→=12PR→−12PQ→=12(PR→−PQ→)\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}). . . . . . . . . .(1) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR}-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, QR→=PR→−PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}. . . . . . . . . . .(2) (1) ও (2) নং হতে পাই, ST→=12QR→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}} বা, ∣ST→∣=12∣QR→∣|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| ∴ST=12QR.\therefore \quad \mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR} . যেহেতু ST, QR এর অর্ধেক। অতএব ST এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু ST ও QR এর ধারক রেখা এক নয়। তাই ST ও QR পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR ∥ST\| \mathrm{ST} সুতরাং QR || ST এবং ST = 12\frac{1}{2} QR. (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং PR ও QS উহার দুটি কর্ণ।

Sylhet · 2016

ক
নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?
খ
প্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.
গ
ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাসমূহ একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.

প্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?

নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে A(2,-4), B(-4, 4) এবং C(3, a) যেখানে a > 0

Chittagong · 2016

ক
AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।
খ
AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।
গ
ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও তার অর্ধেক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।

AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।

AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(7, 2), Q(-4, 2), R(-4, -3) এবং S(7, -3) বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

Comilla · 2016

ক
PQ বাহুর ঢাল নির্ণয় কর।
খ
বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি আয়তক্ষেত্র নাকি সামান্তরিক যাচাই কর।
গ
যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত চতুর্ভুজটির সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F ও G হয়, তবে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, DEFG একটি সামান্তরিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেশূন্য ভেক্টর কাকে বলে?AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযপ্রমাণ কর যে, PR.QS = PQ.RS + QR.PS.নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান কোথায় এবং এর ব্যাসার্ধ কত?ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজকAB রেখার সমীকরণ ও ঢাল নির্ণয় কর।AC = BC হলে a এর মান নির্ণয় কর।যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত চতুর্ভুজটির সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন