Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য লগারিদম সংজ্ঞায়িত [গণিত] হবে যদি [গণিত] হয়, এখন, [গণিত] হবে যদি (i) [গণিত] এবং [গণিত] হয় অথবা, (ii) [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ডোমেন [গণিত] এখন, (ii) নং হতে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] ∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন [গণিত] ধরি, [গণিত] . বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] যা একটি সূচক ফাংশন এবং [গণিত] এর সকল বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞাযিত। ∴ রেঞ্জ = [গণিত] নির্ণেয় ডোমেন [গণিত] এবং রেঞ্জ [গণিত] ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

P=323+3−23\mathrm{P}=3^{\frac{2}{3}}+3-\frac{2}{3} এবং g(x)=ln⁡3−2x3+2x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\ln \frac{3-2 \mathrm{x}}{3+2 \mathrm{x}}.

উত্তর

ক দেওয়া আছে, log⁡k(3x−1)log⁡kx=2\frac{\log_k(3 x-1)}{\log_k x}=2 বা, log⁡k(3x−1)=2log⁡kx\log_k(3 x-1)=2 \log_k x বা, log⁡k(3x−1)=log⁡kx2\log_k(3 x-1)=\log_k x^2 বা, 3x−1=x23 x-1=x^2 বা, x2−3x+1=0x^2-3 x+1=0 বা, x=−(−3)±(−3)2−4.1.12.1=3±9−42x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4.1 .1}}{2.1}=\frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} ∴x=3±52\therefore x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} নির্ণেয় মান: x=3±52x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, P=323+3−23\mathrm{P}=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}} P=a2+2\mathrm{P}=\mathrm{a}^2+2 এবং a=0\mathrm{a}=0 হলে, a2+2=323+3−23\mathrm{a}^2+2=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}} বা, a2=(313)2+(3−13)2−2=(313)2−2⋅313⋅3−13+(3−13)2a^2=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2+\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)^2-2=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2-2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{-1}{3}}+\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)^2 বা, a2=(313−3−13)2a^2=\left(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}}\right)^2 বা, a=313−3−13a=3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}} [বর্গমূল করে] বা, (a)3=(313−3.−13)3(a)^3=\left(3^{\frac{1}{3}}-3 .^{\frac{-1}{3}}\right)^3 [ঘন করে] বা, a3=(313)3−(3−13)3−3⋅313⋅3−13(313−3−13)\mathrm{a}^3=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^3-\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)^3-3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{-1}{3}}\left(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}}\right) বা, a3=3−3−1−3⋅30⋅a=3−13−3a\quad a^3=3-3^{-1}-3 \cdot 3^0 \cdot a=3-\frac{1}{3}-3 a বা, .3a3=9−1−9a.3 \mathrm{a}^3=9-1-9 \mathrm{a} [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে] বা, 3a3+9a=83 a^3+9 a=8 বা, 3(a3+3a)=8\quad 3\left(a^3+3 a\right)=8 ∴a3+3a=83\therefore \quad a^3+3 a=\frac{8}{3}. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=ln⁡3−2x3+2x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\ln \frac{3-2 \mathrm{x}}{3+2 \mathrm{x}} শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য লগারিদম সংজ্ঞায়িত ∴g(x)∈R\therefore g(x) \in \mathbb{R} হবে যদি 3−2x3+2x>0\frac{3-2 x}{3+2 x}>0 হয়, এখন, 3−2x3+2x>0\frac{3-2 x}{3+2 x}>0 হবে যদি (i) 3−2x>03-2 x>0 এবং 3+2x>03+2 x>0 হয় অথবা, (ii) 3−2x<03-2 x<0 এবং 3+2x<03+2 x<0 হয় এখন, (i) নং হতে পাই, 3>2x3>2 \mathrm{x} বা, 32>x\frac{3}{2}>x ∴x<32\therefore x<\frac{3}{2} এবং 2x>−32 x>-3 বা, x>−32x>\frac{-3}{2} ∴\therefore ডোমেন ={x∈R:x<32}∩{x∈R:x>−32}=\left\{x \in \mathbb{R}: x<\frac{3}{2}\right\} \cap\left\{x \in \mathbb{R}: x>-\frac{3}{2}\right\} =(−32,∞)∩(−∞,32)=(−32,32)=\left(-\frac{3}{2}, \infty\right) \cap\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) এখন, (ii) নং হতে পাই, x>32x>\frac{3}{2} এবং x<−32x<-\frac{3}{2} ∴\therefore ডোমেন ={x∈R:x>32}∩{x∈R:x<−32}=\left\{x \in \mathbb{R}: x>\frac{3}{2}\right\} \cap\left\{x \in \mathbb{R}: x<-\frac{3}{2}\right\} =(32,∞)∩(−∞,32)=∅=\left(\frac{3}{2}, \infty\right) \cap\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)=\varnothing ∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন =(−32,32)∪∅=(−32,32)=\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) \cup \varnothing=\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) ধরি, y=g(x)=ln⁡3−2x3+2xy=g(x)=\ln \frac{3-2 x}{3+2 x} ∴y=ln⁡3−2x3+2x\therefore \mathrm{y}=\ln \frac{3-2 \mathrm{x}}{3+2 \mathrm{x}}. বা, ey=3−2x3+2xe^y=\frac{3-2 x}{3+2 x} বা, 3ey+2xey=3−2x3 \mathrm{e}^{\mathrm{y}}+2 \mathrm{xe}^{\mathrm{y}}=3-2 \mathrm{x} বা, 2xey+2x=3−3ey2 x e^y+2 \mathrm{x}=3-3 \mathrm{e}^{\mathrm{y}} বা, 2x(ey+1)=3(1−ey)2 x\left(e^y+1\right)=3\left(1-e^y\right) বা, x=3(1−ey)2(ey+1)x=\frac{3\left(1-e^y\right)}{2\left(e^y+1\right)} যা একটি সূচক ফাংশন এবং yy এর সকল বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞাযিত। ∴ রেঞ্জ = R\mathbb{R} নির্ণেয় ডোমেন (−32,32)\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) এবং রেঞ্জ R\mathbb{R} ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন