Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, g (y) ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] শর্তমতে, [গণিত] বা, [গণিত] যেহেতু শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার লগারিদম সজ্ঞায়িত সুতরাং, [গণিত] হবে যদি, [গণিত] হয়। এখন, [গণিত] হবে যখন- (i) [গণিত] এবং [গণিত] হয় অথবা (ii) [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ডোমেন [গণিত] (ii) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] ডোমেন, [গণিত] ∴ নির্ণেয় ডোমেন: [গণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

হলে, g (y) ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

f(p)=1x+p+2xx2+2p+4x3x4+4p2+8x716p4−x8f(p)=\frac{1}{x+p}+\frac{2 x}{x^2+2 p}+\frac{4 x^3}{x^4+4 p^2}+\frac{8 x^7}{16 p^4-x^8} এবং z=1−3y1+3yz=\frac{1-3 y}{1+3 y}

উত্তর

ধরি, p(x)=2x3+(ax)2+ax+6p(x)=2 x^3+(a x)^2+a x+6 (x+2),p(x)(\mathrm{x}+2), \mathrm{p}(\mathrm{x}) এর একটি উৎপাদক হলে, p(−2)=0\mathrm{p}(-2)=0 হবে। অর্থাৎ, p(−2)=0p(-2)=0 বা, 2(−2)3+{a(−2)}2+a(−2)+6=02(-2)^3+\{\mathrm{a}(-2)\}^2+\mathrm{a}(-2)+6=0 বা, 2(−8)+4a2−2a+6=02(-8)+4 a^2-2 a+6=0 বা, −16+4a2−2a+6=0-16+4 a^2-2 a+6=0 বা, 4a2−2a−10=04 \mathrm{a}^2-2 \mathrm{a}-10=0 বা, 2a2−a−5=02 \mathrm{a}^2-\mathrm{a}-5=0 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ] ∴a=−(−1)±(−1)2−4⋅2⋅(−5)2⋅2=1±1+404=1±414\therefore a=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot(-5)}}{2 \cdot 2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+40}}{4}=\frac{1 \pm \sqrt{41}}{4} নির্ণেয় মান : a=1±414a=\frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(p)=1x+p+2xx2+2p+4x3x4+4p2+8x716p4−x8f(p)=\frac{1}{x+p}+\frac{2 x}{x^2+2 p}+\frac{4 x^3}{x^4+4 p^2}+\frac{8 x^7}{16 p^4-x^8} এখানে, f(2)=1x+2+2xx2+2.2+4x3x4+4.22+8x716.24−x8f(2)=\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^2+2.2}+\frac{4 x^3}{x^4+4.2^2}+\frac{8 x^7}{16.2^4-x^8} =1x+2+2xx2+4+4x3x4+16+8x7256−x8=\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^2+4}+\frac{4 x^3}{x^4+16}+\frac{8 x^7}{256-x^8} প্রদত্ত রাশির ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল =4x3x4+16+8x7256−x8=4x3x4+24+8x728−x8=\frac{4 x^3}{x^4+16}+\frac{8 x^7}{256-x^8}=\frac{4 x^3}{x^4+2^4}+\frac{8 x^7}{2^8-x^8} =\frac{4 x^3}{2^4+x^4}+\frac{8 x^7}{\left(2^4\right}^2-\left(x^4\right)^2}=\frac{4 x^3}{2^4+x^4}+\frac{8 x^7}{\left(2^4+x^4\right}\left(2^4-x^4\right)} =4x324+x4(1+2x4(24−x4))=\frac{4 x^3}{2^4+x^4}\left(1+\frac{2 x^4}{\left(2^4-x^4\right)}\right) =4x324+x4×24−x4+2x424+x4=4x324+x4×24+x424−x4=4x324−x4=\frac{4 x^3}{2^4+x^4} \times \frac{2^4-x^4+2 x^4}{2^4+x^4}=\frac{4 x^3}{2^4+x^4} \times \frac{2^4+x^4}{2^4-x^4}=\frac{4 x^3}{2^4-x^4} এখন, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল =2xx2+4+4x324−x4=\frac{2 x}{x^2+4}+\frac{4 x^3}{2^4-x^4} =\frac{2 x}{x^2+2^2}+\frac{4 x^3}{\left(2^2\right}^2-\left(x^2\right)^2}=\frac{2 x}{x^2+2^2}+\frac{4 x^3}{\left(2^2+x^2\right}-\left(2^2-x^2\right)} =2x22+x2(1+2x222−x2)=2x22+x2×22−x2+2x222−x2=\frac{2 x}{2^2+x^2}\left(1+\frac{2 x^2}{2^2-x^2}\right)=\frac{2 x}{2^2+x^2} \times \frac{2^2-x^2+2 x^2}{2^2-x^2} =2x22+x2×22+x222−x2=2x22−x2=\frac{2 x}{2^2+x^2} \times \frac{2^2+x^2}{2^2-x^2}=\frac{2 x}{2^2-x^2} ∴\therefore প্রদত্ত রাশি 1x+2+2x22−x2\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{2^2-x^2} =\frac{1}{2+x}+\frac{2 x}{(2+x}(2-x)}=\frac{1}{2+x}\left(1+\frac{2 x}{2-x}\right) =12+x×2−x+2x2−x=12+x×2+x2−x=12−x=\frac{1}{2+x} \times \frac{2-x+2 x}{2-x}=\frac{1}{2+x} \times \frac{2+x}{2-x}=\frac{1}{2-x} সুতরাং, f(2)=12−xf(2)=\frac{1}{2-\mathrm{x}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, z=1−3y1+3y\mathrm{z}=\frac{1-3 \mathrm{y}}{1+3 \mathrm{y}} শর্তমতে, g(y)=ln⁡z\mathrm{g}(\mathrm{y})=\ln \mathrm{z} বা, g(y)=ln⁡(1−3y1+3y)g(y)=\ln \left(\frac{1-3 y}{1+3 y}\right) যেহেতু শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার লগারিদম সজ্ঞায়িত সুতরাং, g(y)∈Rg(y) \in \mathbb{R} হবে যদি, 1−3y1+3y>0\frac{1-3 y}{1+3 y}>0 হয়। এখন, 1−3y1+3y>0\frac{1-3 \mathrm{y}}{1+3 \mathrm{y}}>0 হবে যখন- (i) 1−3y>01-3 \mathrm{y}>0 এবং 1+3y>01+3 \mathrm{y}>0 হয় অথবা (ii) 1−3y<01-3 y<0 এবং 1+3y<01+3 y<0 হয়। (i) নং হতে পাই, 1>3y1>3 y বা, 3y<13 y<1 বা, y<13y<\frac{1}{3} এবং 3y>−13 y>-1 বা, y>−13\mathrm{y}>-\frac{1}{3} ∴\therefore ডোমেন ={y∈R:y<13}∩{y∈R:y>−13}=\left\{y \in \mathbb{R}: y<\frac{1}{3}\right\} \cap\left\{y \in \mathbb{R}: y>-\frac{1}{3}\right\} =(−∞,13)∩(−13,∞)=(−13,13)=\left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cap\left(-\frac{1}{3}, \infty\right)=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) (ii) নং হতে পাই, 1<3y1<3 y বা, 3y>13 y>1 বা, y>13\mathrm{y}>\frac{1}{3} এবং 3y<−13 y<-1 বা, y<−13y<-\frac{1}{3} ∴\therefore ডোমেন ={y∈R:y>13}∩{y∈R:y<−13}=\left\{\mathrm{y} \in \mathbb{R}: \mathrm{y}>\frac{1}{3}\right\} \cap\left\{\mathrm{y} \in \mathbb{R}: \mathrm{y}<-\frac{1}{3}\right\} =(13,∞)∩(−∞,−13)=∅=\left(\frac{1}{3}, \infty\right) \cap\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)=\varnothing ∴\therefore ডোমেন, Dg=(−13,13)∪∅=(−13,13)\mathrm{D}_{\mathrm{g}}=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \cup \varnothing=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) ∴ নির্ণেয় ডোমেন: (−13,13)\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন