Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] তাহলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে প্রমাণ করো যে, .

উদ্দীপক

log⁡e(3+m)=2log⁡em\log_{\mathrm{e}}(3+\mathrm{m}) = 2\log_{\mathrm{e}}\mathrm{m} এবং xa=yb=zc\sqrt[\mathrm{a}]{\mathrm{x}} = \sqrt[\mathrm{b}]{\mathrm{y}} = \sqrt[\mathrm{c}]{\mathrm{z}}.

Chittagong · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, ppp=(pp)p\mathrm{p}^{\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{p}}} = (\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{p}})^\mathrm{p} বা, (pp)p=(p⋅p12)p=(p1+12)p=(p32)p=(pp)32(\mathrm{p}^{\mathrm{p}})^{\sqrt{\mathrm{p}}} = (\mathrm{p} \cdot \mathrm{p}^{\frac{1}{2}})^\mathrm{p} = (\mathrm{p}^{1+\frac{1}{2}})^\mathrm{p} = (\mathrm{p}^{\frac{3}{2}})^\mathrm{p} = (\mathrm{p}^{\mathrm{p}})^{\frac{3}{2}} বা, (pp)p=(pp)32(\mathrm{p}^{\mathrm{p}})^{\sqrt{\mathrm{p}}} = (\mathrm{p}^{\mathrm{p}})^{\frac{3}{2}} ∴p=32\therefore \sqrt{\mathrm{p}} = \frac{3}{2} নির্ণেয় মান : p=32\sqrt{\mathrm{p}} = \frac{3}{2}.

উত্তর

দেওয়া আছে, log⁡e(3+m)=2log⁡em\log_{\mathrm{e}}(3+\mathrm{m}) = 2\log_{\mathrm{e}}\mathrm{m} বা, log⁡e(3+m)=log⁡em2\log_{\mathrm{e}}(3+\mathrm{m}) = \log_{\mathrm{e}}\mathrm{m}^2 বা, 3+m=m23+\mathrm{m} = \mathrm{m}^2 বা, m2−m−3=0\mathrm{m}^2-\mathrm{m}-3=0 বা, m=−(−1)±(−1)2−4⋅1⋅(−3)2⋅1=1±1+122\mathrm{m} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+12}}{2} বা, m=1±132\mathrm{m} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} বা, m=1+132,1−132\mathrm{m} = \frac{1+\sqrt{13}}{2}, \frac{1-\sqrt{13}}{2} কিন্তু m≠1−132\mathrm{m} \ne \frac{1-\sqrt{13}}{2} কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য লগারিদম অসংজ্ঞায়িত হয়। ∴m=1+132\therefore \mathrm{m} = \frac{1+\sqrt{13}}{2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, xa=yb=zc\sqrt[a]{x}=\sqrt[b]{y}=\sqrt[c]{z} ধরি, xa=yb=zc=p\sqrt[a]{x}=\sqrt[b]{y}=\sqrt[c]{z}=p বা, x1a=y1b=z1c=px^{\frac{1}{a}}=y^{\frac{1}{b}}=z^{\frac{1}{c}}=p তাহলে, x1a=px^{\frac{1}{a}}=p বা, x=pax=p^a y1b=py^{\frac{1}{b}}=p বা, y=pb\mathrm{y}=\mathrm{p}^{\mathrm{b}} z1cz^{\frac{1}{c}} বা, z=pcz=p^c এখন, xyz=1x y z=1 হলে, pa⋅pb⋅pc=1p^a \cdot p^b \cdot p^c=1 বা, pa+b+c=1p^{a+b+c}=1 বা, pa+b+c=p0∴a+b+c=0p^{a+b+c}=p^0 \quad \therefore a+b+c=0 বামপক্ষ =1k−a+kb+1+1k−b+kc+1+1k−c+ka+1=\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}+\frac{1}{k^{-b}+k^c+1}+\frac{1}{k^{-c}+k^a+1} =1k−a+kb+1+kbk−b⋅kb+kc⋅kb+kb+k−ak−c⋅k−a+ka⋅k−a+k−a=\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}+\frac{k^b}{k^{-b} \cdot k^b+k^c \cdot k^b+k^b}+\frac{k^{-a}}{k^{-c} \cdot k^{-a}+k^a \cdot k^{-a}+k^{-a}} =1k−a+kb+1+kbk−b+b+kb+c+kb+k−ak−(c+a)+ka−a+k−a=\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}+\frac{k^b}{k^{-b+b}+k^{b+c}+k^b}+\frac{k^{-a}}{k^{-(c+a)}+k^{a-a}+k^{-a}} =\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}+\frac{k^b}{k^0+k^{-a}+k^b}+\frac{k^{-a}}{k^b+k^0+k^{-1}[\because a+b+c=0] =1k−a+kb+1+kb1+k−a+kb+k−akb+1+k−a=\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}+\frac{k^b}{1+k^{-a}+k^b}+\frac{k^{-a}}{k^b+1+k^{-a}} =1k−a+kb+1+kbk−a+kb+1+k−ak−a+kb+1=\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}+\frac{k^b}{k^{-a}+k^b+1}+\frac{k^{-a}}{k^{-a}+k^b+1} =1+kb+k−ak−a+kb+1=k−a+kb+1k−a+kb+1=1=5=\frac{1+k^b+k^{-a}}{k^{-a}+k^b+1}=\frac{k^{-a}+k^b+1}{k^{-a}+k^b+1}=1=5 ∴1ka+k−b+1+1kb+k−c+1+1kc+k−a+1=1\therefore \frac{1}{\mathrm{k}^{\mathrm{a}}+\mathrm{k}^{-\mathrm{b}}+1} + \frac{1}{\mathrm{k}^{\mathrm{b}}+\mathrm{k}^{-\mathrm{c}}+1} + \frac{1}{\mathrm{k}^{\mathrm{c}}+\mathrm{k}^{-\mathrm{a}}+1} = 1. (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন