Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] কিন্তু [গণিত] কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য লগারিদম অসংজ্ঞায়িত হয়। অর্থাৎ, [গণিত] । (দেখানো হলো)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে, ।

উদ্দীপক

ax=by=cz\sqrt[\mathrm{x}]{\mathrm{a}} = \sqrt[\mathrm{y}]{\mathrm{b}} = \sqrt[\mathrm{z}]{\mathrm{c}} এবং p=log⁡k(1+t)log⁡kt\mathrm{p} = \dfrac{\log_\mathrm{k}(1+\mathrm{t})}{\log_\mathrm{k}\mathrm{t}}।

Sylhet · 2026

উত্তর

ধরি, p=log⁡bn\mathrm{p} = \log_\mathrm{b}\mathrm{n} এবং q=log⁡bm\mathrm{q} = \log_\mathrm{b}\mathrm{m} সুতরাং, bp=n\mathrm{b}^\mathrm{p} = \mathrm{n} এবং bq=m\mathrm{b}^\mathrm{q} = \mathrm{m} এখানে, (bp)q=nq(\mathrm{b}^\mathrm{p})^\mathrm{q} = \mathrm{n}^\mathrm{q} এবং (bq)p=mp(\mathrm{b}^\mathrm{q})^\mathrm{p} = \mathrm{m}^\mathrm{p} ∴nq=bpq\therefore \mathrm{n}^\mathrm{q} = \mathrm{b}^{\mathrm{pq}} ∴mp=bpq\therefore \mathrm{m}^\mathrm{p} = \mathrm{b}^{\mathrm{pq}} সুতরাং, mp=nq\mathrm{m}^\mathrm{p} = \mathrm{n}^\mathrm{q} ∴mlog⁡bn=nlog⁡bm\therefore \mathrm{m}^{\log_\mathrm{b}\mathrm{n}} = \mathrm{n}^{\log_\mathrm{b}\mathrm{m}}। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, ax=by=cz\sqrt[\mathrm{x}]{\mathrm{a}} = \sqrt[\mathrm{y}]{\mathrm{b}} = \sqrt[\mathrm{z}]{\mathrm{c}} ধরি, ax=by=cz=q\sqrt[\mathrm{x}]{\mathrm{a}} = \sqrt[\mathrm{y}]{\mathrm{b}} = \sqrt[\mathrm{z}]{\mathrm{c}} = \mathrm{q} বা, a1x=b1y=c1z=q\mathrm{a}^\frac{1}{\mathrm{x}} = \mathrm{b}^\frac{1}{\mathrm{y}} = \mathrm{c}^\frac{1}{\mathrm{z}} = \mathrm{q} তাহলে, a1x=q\mathrm{a}^\frac{1}{\mathrm{x}} = \mathrm{q} বা, a=qx\mathrm{a} = \mathrm{q}^\mathrm{x}, b1y=q\mathrm{b}^\frac{1}{\mathrm{y}} = \mathrm{q} বা, b=qy\mathrm{b} = \mathrm{q}^\mathrm{y}, c1z=q\mathrm{c}^\frac{1}{\mathrm{z}} = \mathrm{q} বা, c=qz\mathrm{c} = \mathrm{q}^\mathrm{z} এখন, abc=1\mathrm{abc} = 1 হলে, qx⋅qy⋅qz=1\mathrm{q}^\mathrm{x} \cdot \mathrm{q}^\mathrm{y} \cdot \mathrm{q}^\mathrm{z} = 1 বা, qx+y+z=q0\mathrm{q}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}} = \mathrm{q}^0 ∴x+y+z=0\therefore \mathrm{x} + \mathrm{y} + \mathrm{z} = 0 বামপক্ষ =1ay+a−z+1+1az+a−x+1+1ax+a−y+1= \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{y} + \mathrm{a}^{-\mathrm{z}} + 1} + \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{z} + \mathrm{a}^{-\mathrm{x}} + 1} + \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + 1} =a−yay⋅a−y+a−z⋅a−y+a−y+axaz⋅ax+a−x⋅ax+ax+1ax+a−y+1= \dfrac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{\mathrm{a}^\mathrm{y} \cdot \mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + \mathrm{a}^{-\mathrm{z}} \cdot \mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \dfrac{\mathrm{a}^\mathrm{x}}{\mathrm{a}^\mathrm{z} \cdot \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{x}} \cdot \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^\mathrm{x}} + \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + 1} =a−y1+a−(y+z)+a−y+axa(x+z)+1+ax+1ax+a−y+1= \dfrac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{1 + \mathrm{a}^{-(\mathrm{y}+\mathrm{z})} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \dfrac{\mathrm{a}^\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{(\mathrm{x}+\mathrm{z})} + 1 + \mathrm{a}^\mathrm{x}} + \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + 1} =a−y1+a−(−x)+a−y+axa−(−y)+1+ax+1ax+a−y+1= \dfrac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{1 + \mathrm{a}^{-(-\mathrm{x})} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \dfrac{\mathrm{a}^\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{-(-\mathrm{y})} + 1 + \mathrm{a}^\mathrm{x}} + \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + 1} [∵x+y+z=0\because \mathrm{x} + \mathrm{y} + \mathrm{z} = 0] =a−y1+ax+a−y+ax1+ax+a−y+11+ax+a−y= \dfrac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{1 + \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \dfrac{\mathrm{a}^\mathrm{x}}{1 + \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \dfrac{1}{1 + \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} =a−y+ax+11+ax+a−y=1+ax+a−y1+ax+a−y=1== \dfrac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + \mathrm{a}^\mathrm{x} + 1}{1 + \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} = \dfrac{1 + \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{1 + \mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} = 1 = ডানপক্ষ ∴1ay+a−z+1+1az+a−x+1+1ax+a−y+1=1\therefore \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{y} + \mathrm{a}^{-\mathrm{z}} + 1} + \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{z} + \mathrm{a}^{-\mathrm{x}} + 1} + \dfrac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x} + \mathrm{a}^{-\mathrm{y}} + 1} = 1। (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, p=log⁡k(1+t)log⁡kt\mathrm{p} = \dfrac{\log_\mathrm{k}(1+\mathrm{t})}{\log_\mathrm{k}\mathrm{t}} এখন, p=2\mathrm{p} = 2 হলে, log⁡k(1+t)log⁡kt=2\dfrac{\log_\mathrm{k}(1+\mathrm{t})}{\log_\mathrm{k}\mathrm{t}} = 2 বা, log⁡k(1+t)=2log⁡kt\log_\mathrm{k}(1+\mathrm{t}) = 2\log_\mathrm{k}\mathrm{t} বা, log⁡k(1+t)=log⁡kt2\log_\mathrm{k}(1+\mathrm{t}) = \log_\mathrm{k}\mathrm{t}^2 বা, 1+t=t21 + \mathrm{t} = \mathrm{t}^2 বা, t2−t−1=0\mathrm{t}^2 - \mathrm{t} - 1 = 0 বা, t=−(−1)±(−1)2−4⋅1⋅(−1)2⋅1\mathrm{t} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} বা, t=1±1+42\mathrm{t} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} বা, t=1±52\mathrm{t} = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} কিন্তু t≠1−52\mathrm{t} \neq \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য লগারিদম অসংজ্ঞায়িত হয়। অর্থাৎ, t=1+52\mathrm{t} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ∴2t=1+5\therefore 2\mathrm{t} = 1 + \sqrt{5}। (দেখানো হলো)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন