Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] । ধরি, [গণিত] তাহলে, [গণিত] বা, [গণিত] , [গণিত] বা, [গণিত] , [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] [ [গণিত] ] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] । (দেখানো হলো)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

দেখাও যে, ।

উদ্দীপক

(i) যদি m=log⁡pqr−2\mathrm{m} = \log_\mathrm{p}\mathrm{qr}-2, n=log⁡qpr−3\mathrm{n} = \log_\mathrm{q}\mathrm{pr}-3 এবং k=log⁡rpq−4\mathrm{k} = \log_\mathrm{r}\mathrm{pq}-4 (ii) a1x=b1y=c1z\mathrm{a}^\frac{1}{\mathrm{x}} = \mathrm{b}^\frac{1}{\mathrm{y}} = \mathrm{c}^\frac{1}{\mathrm{z}} এবং abc=1\mathrm{abc} = 1।

Dinajpur · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, xa=yb=zc\mathrm{x}^\mathrm{a} = \mathrm{y}^\mathrm{b} = \mathrm{z}^\mathrm{c} এখন, xa=yb\mathrm{x}^\mathrm{a} = \mathrm{y}^\mathrm{b} এবং zc=yb\mathrm{z}^\mathrm{c} = \mathrm{y}^\mathrm{b} বা, x=yba\mathrm{x} = \mathrm{y}^\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} বা, z=ybc\mathrm{z} = \mathrm{y}^\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}} আবার, y2=xz\mathrm{y}^2 = \mathrm{xz} বা, y2=yba⋅ybc\mathrm{y}^2 = \mathrm{y}^\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{y}^\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}} বা, y2=yba+bc\mathrm{y}^2 = \mathrm{y}^{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}} বা, 2=ba+bc2 = \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} + \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}} বা, 2b=1a+1c\frac{2}{\mathrm{b}} = \frac{1}{\mathrm{a}} + \frac{1}{\mathrm{c}} [উভপক্ষকে b দ্বারা ভাগ করে] ∴1a+1c=2b\therefore \frac{1}{\mathrm{a}} + \frac{1}{\mathrm{c}} = \frac{2}{\mathrm{b}}। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, m=log⁡pqr−2\mathrm{m} = \log_\mathrm{p}\mathrm{qr}-2 n=log⁡qpr−3\mathrm{n} = \log_\mathrm{q}\mathrm{pr}-3 এবং k=log⁡rpq−4\mathrm{k} = \log_\mathrm{r}\mathrm{pq}-4 বামপক্ষ =(m+3)−1+(n+4)−1+(k+5)−1= (\mathrm{m}+3)^{-1} + (\mathrm{n}+4)^{-1} + (\mathrm{k}+5)^{-1} =1m+3+1n+4+1k+5= \frac{1}{\mathrm{m}+3} + \frac{1}{\mathrm{n}+4} + \frac{1}{\mathrm{k}+5} =1log⁡pqr−2+3+1log⁡qpr−3+4+1log⁡rpq−4+5= \frac{1}{\log_\mathrm{p}\mathrm{qr}-2+3} + \frac{1}{\log_\mathrm{q}\mathrm{pr}-3+4} + \frac{1}{\log_\mathrm{r}\mathrm{pq}-4+5} =11+log⁡pqr+11+log⁡qrp+11+log⁡rpq= \frac{1}{1+\log_\mathrm{p}\mathrm{qr}} + \frac{1}{1+\log_\mathrm{q}\mathrm{rp}} + \frac{1}{1+\log_\mathrm{r}\mathrm{pq}} =1log⁡pp+log⁡pqr+1log⁡qq+log⁡qrp+1log⁡rr+log⁡rpq= \frac{1}{\log_\mathrm{p}\mathrm{p}+\log_\mathrm{p}\mathrm{qr}} + \frac{1}{\log_\mathrm{q}\mathrm{q}+\log_\mathrm{q}\mathrm{rp}} + \frac{1}{\log_\mathrm{r}\mathrm{r}+\log_\mathrm{r}\mathrm{pq}} [∵log⁡aa=1\because \log_\mathrm{a}\mathrm{a}=1] =1log⁡pp(qr)+1log⁡qq(rp)+1log⁡rr(pq)= \frac{1}{\log_\mathrm{p}\mathrm{p}(\mathrm{qr})} + \frac{1}{\log_\mathrm{q}\mathrm{q}(\mathrm{rp})} + \frac{1}{\log_\mathrm{r}\mathrm{r}(\mathrm{pq})} =1log⁡ppqr+1log⁡qpqr+1log⁡rpqr= \frac{1}{\log_\mathrm{p}\mathrm{pqr}} + \frac{1}{\log_\mathrm{q}\mathrm{pqr}} + \frac{1}{\log_\mathrm{r}\mathrm{pqr}} =log⁡pqrp+log⁡pqrq+log⁡pqrr= \log_\mathrm{pqr}\mathrm{p} + \log_\mathrm{pqr}\mathrm{q} + \log_\mathrm{pqr}\mathrm{r} [∵log⁡ab=1log⁡ba]\left[\because \log_\mathrm{a}\mathrm{b} = \frac{1}{\log_\mathrm{b}\mathrm{a}}\right] =log⁡pqr(p⋅q⋅r)=log⁡pqrpqr= \log_\mathrm{pqr}(\mathrm{p} \cdot \mathrm{q} \cdot \mathrm{r}) = \log_\mathrm{pqr}\mathrm{pqr} =1== 1 = ডানপক্ষ ∴(m+3)−1+(n+4)−1(k+5)−1=1\therefore (\mathrm{m}+3)^{-1} + (\mathrm{n}+4)^{-1}(\mathrm{k}+5)^{-1} = 1। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, a1x=b1y=c1z\mathrm{a}^\frac{1}{\mathrm{x}} = \mathrm{b}^\frac{1}{\mathrm{y}} = \mathrm{c}^\frac{1}{\mathrm{z}} এবং abc=1\mathrm{abc} = 1। ধরি, a1x=b1y=c1z=q\mathrm{a}^\frac{1}{\mathrm{x}} = \mathrm{b}^\frac{1}{\mathrm{y}} = \mathrm{c}^\frac{1}{\mathrm{z}} = \mathrm{q} তাহলে, a1x=q\mathrm{a}^\frac{1}{\mathrm{x}} = \mathrm{q} বা, a=qx\mathrm{a} = \mathrm{q}^\mathrm{x}, b1y=q\mathrm{b}^\frac{1}{\mathrm{y}} = \mathrm{q} বা, b=qy\mathrm{b} = \mathrm{q}^\mathrm{y}, c1z=q\mathrm{c}^\frac{1}{\mathrm{z}} = \mathrm{q} বা, c=qz\mathrm{c} = \mathrm{q}^\mathrm{z} আবার, abc=1\mathrm{abc} = 1 বা, qx⋅qy⋅qz=1\mathrm{q}^\mathrm{x} \cdot \mathrm{q}^\mathrm{y} \cdot \mathrm{q}^\mathrm{z} = 1 বা, qx+y+z=q0\mathrm{q}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}} = \mathrm{q}^0 ∴x+y+z=0\therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z} = 0 বামপক্ষ =1ay+a−z+1+1az+a−x+1+1ax+a−y+1= \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{y}+\mathrm{a}^{-\mathrm{z}}+1} + \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{z}+\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}+1} + \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+1} =a−yay⋅a−y+a−z⋅a−y+a−y+axaz⋅ax+a−x⋅ax+ax+1ax+a−y+1= \frac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{\mathrm{a}^\mathrm{y} \cdot \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{z}} \cdot \mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \frac{\mathrm{a}^\mathrm{x}}{\mathrm{a}^\mathrm{z} \cdot \mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{x}} \cdot \mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^\mathrm{x}} + \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+1} =a−y1+a−(z+y)+a−y+axaz+x+1+ax+1ax+a−y+1= \frac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{1+\mathrm{a}^{-(\mathrm{z}+\mathrm{y})}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \frac{\mathrm{a}^\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{z}+\mathrm{x}}+1+\mathrm{a}^\mathrm{x}} + \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+1} =a−y1+ax+a−y+axa−y+1+ax+11+ax+a−y= \frac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{1+\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} + \frac{\mathrm{a}^\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+1+\mathrm{a}^\mathrm{x}} + \frac{1}{1+\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} [∵x+y+z=0\because \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0] =a−y+ax+11+ax+a−y=1+ax+a−y1+ax+a−y=1== \frac{\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+\mathrm{a}^\mathrm{x}+1}{1+\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} = \frac{1+\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}}{1+\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}} = 1 = ডানপক্ষ ∴1ay+a−z+1+1az+a−x+1+1ax+a−y+1=1\therefore \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{y}+\mathrm{a}^{-\mathrm{z}}+1} + \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{z}+\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}+1} + \frac{1}{\mathrm{a}^\mathrm{x}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+1} = 1। (দেখানো হলো)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন