Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়। [গণিত] হবে যদি (i) [গণিত] এবং [গণিত] হয় অথবা, (ii) [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] ডোমেন [গণিত] প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন [গণিত] (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] -এর সকল বাস্তব মানের জন্য [গণিত] এর মান বাস্তব হয়। [গণিত] প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ [গণিত] নির্ণেয় ডোমেন [গণিত] এবং রেঞ্জ [গণিত] .

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

ax=by=cz\sqrt[x]{a}=\sqrt[y]{b}=\sqrt[z]{c} এবং f(x)=ln⁡5+x5−xf(x)=\ln \frac{5+x}{5-x}

Barisal · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, mmm=(mm)m\mathrm{m}^{\mathrm{m} \sqrt{\mathrm{m}}}=(\mathrm{m} \sqrt{\mathrm{m}})^{\mathrm{m}} বা, (mm)m=(m⋅m12)m=(m1+12)m=(m32)m=(mm)32\left(m^m\right)^{\sqrt{m}}=\left(m \cdot m^{\frac{1}{2}}\right)^m=\left(m^{1+\frac{1}{2}}\right)^m=\left(m^{\frac{3}{2}}\right)^m=\left(m^m\right)^{\frac{3}{2}} বা, (mm)m=(mm)32\left(m^m\right)^{\sqrt{m}}=\left(m^m\right)^{\frac{3}{2}} বা, m=32\sqrt{\mathrm{m}}=\frac{3}{2} বা, (m)2=(32)2(\sqrt{m})^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2 [বর্গ করে] ∴m=94\therefore \quad m=\frac{9}{4} নির্ণেয় মান: m=94\mathrm{m}=\frac{9}{4}

উত্তর

দেওয়া আছে, ax=bx=cz\sqrt[x]{a}=\sqrt[x]{b}=\sqrt[z]{c} ধরি, ax=by=cz=k\sqrt[x]{a}=\sqrt[y]{b}=\sqrt[z]{c}=k বা, a1x=b1y=c1z=ka^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}}=k তাহলে, a1x=ka^{\frac{1}{x}}=k বা, a=kxa=k^x b1y=kb^{\frac{1}{y}}=k বা, b=kyb=k^y 1cz=k\frac{1}{c^z}=k বা, c=kzc=k^z abc=1abc=1 হলে, kx⋅ky⋅kz=1k^x \cdot k^y \cdot k^z=1 বা, kx+y+z=1=k0∴x+y+z=0k^{x+y+z}=1=k^0 \therefore x+y+z=0 বামপক্ষ =1px+p−y+1+1py+p−z+1+1p2+p−x+1=\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{1}{p^y+p^{-z}+1}+\frac{1}{p^2+p^{-x}+1} =1px+p−y+1+p−ypy⋅p−y+p−z⋅p−y+p−y+pxpz⋅px+p−x⋅px+px=\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^y \cdot p^{-y}+p^{-z} \cdot p^{-y}+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^z \cdot p^x+p^{-x} \cdot p^x+p^x} =1px+p−y+1+p−ypy−y+p−(z+y)+p−y+pxpz+x+p−x+x+px=1px+p−y+1+p−yp0+px+p−y+pxp−y+p0+px[∵x+y+z=0]=1px+p−y+1+p−y1+px+p−y+pxp−y+1+px=1px+p−y+1+p−ypx+p−y+1+pxpx+p−y+1\begin{aligned} & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^{y-y}+p^{-(z+y)}+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{z+x}+p^{-x+x}+p^x} \\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^0+p^x+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{-y}+p^0+p^x}[\because x+y+z=0] \\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{1+p^x+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{-y}+1+p^x} \\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^x}{p^x+p^{-y}+1}\end{aligned} =1+p−y+pxpx+p−y+1=px+p−y+1px+p−y+1=1==\frac{1+p^{-y}+p^x}{p^x+p^{-y}+1}=\frac{p^x+p^{-y}+1}{p^x+p^{-y}+1}=1= ডানপক্ষ ∴1px+p−y+1+1py+p−z+1+1pz+p−x+1=1\therefore \quad \frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{1}{p^y+p^{-z}+1}+\frac{1}{p^z+p^{-x}+1}=1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ln⁡5+x5−xf(x)=\ln \frac{5+x}{5-x} যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়। ∴5+x5−x>0\therefore \quad \frac{5+x}{5-x}>0 হবে যদি (i) 5+x>05+x>0 এবং 5−x>05-x>0 হয় অথবা, (ii) 5+x<05+x<0 এবং 5−x<05-x<0 হয় (i)নং হতে পাই, x>−5x > -5 এবং −x>−5- x > -5 বা, x>−5x>-5 এবং x<5x<5 ∴\therefore ডোমেন ={x:x>−5}∩{x:x<5}=\{x: x>-5\} \cap\{x: x<5\} =(−5,∞)∩(−∞,5)=(−5,5)=(-5, \infty) \cap(-\infty, 5)=(-5,5) (ii)নং হতে পাই, x<−5x<-5 এবং −x<−5-x<-5 বা, x<−5x<-5 এবং x>5x>5 ∴\therefore ডোমেন ={x:x<−5}∩{x:x>5}=(−∞,−5)∩(5,∞)=∅=\{x: x<-5\} \cap\{x: x>5\}=(-\infty,-5) \cap(5, \infty)=\varnothing ∴\therefore প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন Df=D_f = (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ =(−5,5)∪∅=(−5,5)=(-5,5) \cup \varnothing=(-5,5) ধরি, y=f(x)=ln⁡5+x5−xy=f(x)=\ln \frac{5+x}{5-x} বা, ey=5+x5−xe^y=\frac{5+x}{5-x} বা, 5+x=5ey−xey5+x=5 e^y-x e^y বা, x+xey=5ey−5x+x e^y=5 e^y-5 বা, x(1+ey)=5(ey−1)x\left(1+e^y\right)=5\left(e^y-1\right) বা, x=5(ey−1)ey+1x=\frac{5\left(e^y-1\right)}{e^y+1} yy-এর সকল বাস্তব মানের জন্য xx এর মান বাস্তব হয়। ∴\therefore প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ Rf=RR_f=\mathbb{R} নির্ণেয় ডোমেন Df=(−5,5)D_f=(-5,5) এবং রেঞ্জ Rf=RR_f=\mathbb{R}.
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন