Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর: ধরি, [গণিত] যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] যদি (i) [গণিত] এবং [গণিত] হয় অথবা, (ii) [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] ডোমেন [গণিত] ∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন [গণিত] (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ [গণিত] রেঞ্জ : [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] -এর সকল বাস্তব মানের জন্য [গণিত] এর মান বাস্তব হয়। ∴ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ [গণিত] ∴ নির্ণেয় ডোমেন [গণিত] এবং রেঞ্জ [গণিত] (Ans.)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

p2+2=493+1493;p≥0p^2+2=\sqrt[3]{49}+\frac{1}{\sqrt[3]{49}} ; p \geq 0 এবং f(x)=ln⁡6+x6−xf(x)=\ln \frac{6+x}{6-x}

Sylhet · 2023

উত্তর

y8y6y4\sqrt{y^8 \sqrt{y^6 \sqrt{y^4}}} =y8y6⋅y2=\sqrt{y^8 \sqrt{y^6 \cdot y^2}} =y8y8=\sqrt{y^8 \sqrt{y^8}} =y8⋅y4=\sqrt{y^8 \cdot y^4} =y12=\sqrt{y^{12}} =y6=y^6 ∴ নির্ণেয় মান y6\mathrm{y}^6. (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, p2+2=493+1493p^2+2=\sqrt[3]{49}+\frac{1}{\sqrt[3]{49}} বা, p2+2=723+1723p^2+2=\sqrt[3]{7^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{7^2}} বা, p2+2=723+7−23\mathrm{p}^2+2=7^{\frac{2}{3}}+7^{-\frac{2}{3}} বা, p2=(713)2−2⋅713⋅7−13+(7−13)2\mathrm{p}^2=\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^2-2 \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}+\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)^2 বা, p2=(713−7−13)2\mathrm{p}^2=\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)^2 বা, p=713−7−13\mathrm{p}=7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}} [বর্গমূল করে] বা, p3=(713−7−13)3\mathrm{p}^3=\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)^3 [ঘন করে] বা, p3=(713)3−(7−13)3−3⋅713⋅7−13(713−7−13)\mathrm{p}^3=\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^3-\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)^3-3 \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right) বা, p3=7−7−1−3.p\mathrm{p}^3=7-7^{-1}-3 . \mathrm{p} বা, p3=7−17−3p\mathrm{p}^3=7-\frac{1}{7}-3 \mathrm{p} বা, p3=49−1−21p7\mathrm{p}^3=\frac{49-1-21 \mathrm{p}}{7} বা, 7p3=48−21p7 p^3=48-21 p ∴7p3+21p=48\therefore 7 p^3+21 p=48 (প্রমাণিত)

উত্তর

ধরি, y=f(x)=ln⁡6+x6−xy=f(x)=\ln \frac{6+x}{6-x} যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয় ∴6+x6−x>0\therefore \frac{6+\mathrm{x}}{6-\mathrm{x}}>0 যদি (i) 6+x>06+\mathrm{x}>0 এবং 6−x>06-\mathrm{x}>0 হয় অথবা, (ii) 6+x<06+\mathrm{x}<0 এবং 6−x<06-\mathrm{x}<0 হয়, (i) নং হতে পাই, x>−6x>-6 এবং −x>−6-x>-6 বা, x>−6x>-6 এবং x<6x<6 ∴ ডোমেন ={x:−6<x}∩{x:x<6}=\{\mathrm{x}:-6<\mathrm{x}\} \cap\{\mathrm{x}: \mathrm{x}<6\} =(−6,∞)∩(−∞,6)=(-6, \infty) \cap(-\infty, 6) (ii) নং হতে পাই, x<−6\mathrm{x}<-6 এবং −x<−6-\mathrm{x}<-6 বা, x<−6x<-6 এবং x>6x>6 ∴\therefore ডোমেন ={x:x<−6}∩{x:x>6}=∅=\{x: x<-6\} \cap\{x: x>6\}=\varnothing ∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন Df=\mathrm{D}_f= (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ =(−6,6)∪∅=(-6,6) \cup \varnothing =(−6,6)=(-6,6) রেঞ্জ : y=f(x)=ln⁡6+x6−xy=f(x)=\ln \frac{6+x}{6-x} বা, ey=6+x6−x\mathrm{e}^{\mathrm{y}}=\frac{6+\mathrm{x}}{6-\mathrm{x}} বা, 6+x=6ey−xey6+\mathrm{x}=6 \mathrm{e}^{\mathrm{y}}-\mathrm{xe}^{\mathrm{y}} বা, x(1+ey)=6(ey−1)x\left(1+e^y\right)=6\left(e^y-1\right) বা, x=6(ey−1)ey+1x=\frac{6\left(e^y-1\right)}{e^y+1} y\mathrm{y}-এর সকল বাস্তব মানের জন্য x\mathrm{x} এর মান বাস্তব হয়। ∴ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ Rf=R\mathrm{R}_{\mathrm{f}}=\mathbb{R} ∴ নির্ণেয় ডোমেন Df=(−6,6)\mathrm{D}_{\mathrm{f}}=(-6,6) এবং রেঞ্জ Rf=R\mathrm{R}_{\mathrm{f}}=\mathbb{R} (Ans.)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন