Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] এবং [গণিত] রেখা তিনটি সমবিন্দু।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] এবং A, B ও C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক A( 0,-1 ), B(- 2,3 ), C(6, 7) এখন, AC রেখার ঢাল, [গণিত] রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, AB রেখার ঢাল, [গণিত] রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (ⅰ) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই, [গণিত] . বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] (i) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু [গণিত] আবার, (ii) ও (iii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] (ii) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু (0, – 1) অর্থাৎ, (i), (ii) ও (iii) নং রেখা (0, – 1) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। [গণিত] রেখা তিনটি সমবিন্দু। (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১১ : স্থানাঙ্ক জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১১ : স্থানাঙ্ক জ্যামিতি · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, এবং রেখা তিনটি সমবিন্দু।

উদ্দীপক

ABCDABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি যথাক্রমে A(0,−1),B(−2,3)\mathrm{A}(0,-1), \mathrm{B}(-2,3), C(6,7)C(6,7) এবং D(8,3)D(8,3).

Jessore · 2024

উত্তর

ABCDABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি যথাক্রমে A(0,−1),B(−2,3)\mathrm{A}(0,-1), \mathrm{B}(-2,3), C(6,7)C(6,7) এবং D(8,3)D(8,3). AB রেখার ঢাল, m1=y2−y1x2−x1=3+1−2−0=4−2=−2m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3+1}{-2-0}=\frac{4}{-2}=-2 CD রেখার ঢাল, m2=y2−y1x2−x1=3−78−6=−42=−2m_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-7}{8-6}=\frac{-4}{2}=-2 আমরা জানি, দুইটি রেখার ঢাল পরস্পর সমান হলে, রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল হয়। যেহেতু m1=m2m_1=m_2. সেহেতু AB∥CDA B \| C D. (দেখানো হলো)

উত্তর

এখানে, ABCDABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি যথাক্রমে A(0,−1),B(−2,3)\mathrm{A}(0,-1), \mathrm{B}(-2,3), C(6,7)C(6,7) এবং D(8,3)D(8,3). xyxy সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো : question image AB বাহুর দৈর্ঘ্য =(0+2)2+(−1−3)2=\sqrt{(0+2)^2+(-1-3)^2} একক =22+42=\sqrt{2^2+4^2} একক =4+16=\sqrt{4+16} একক =20=\sqrt{20} একক =25=2 \sqrt{5} একক CD বাহুর দৈর্ঘ্য =(6−8)2+(7−3)2=\sqrt{(6-8)^2+(7-3)^2} একক =22+42=\sqrt{2^2+4^2} একক =4+16=\sqrt{4+16} একক =20=\sqrt{20} একক =25=2 \sqrt{5} একক ∴AB\therefore \mathrm{AB} বাহুর দৈর্ঘ্য =CD=\mathrm{CD} বাহুর দৈর্ঘ্য আবার, BC বাহুর দৈর্ঘ্য =(−2−6)2+(3−7)2=\sqrt{(-2-6)^2+(3-7)^2} একক =82+42=\sqrt{8^2+4^2} একক =64+16=\sqrt{64+16} একক =80=\sqrt{80} একক =45=4 \sqrt{5} একক AD বাহুর দৈর্ঘ্য =(0−8)2+(−1−3)2=\sqrt{(0-8)^2+(-1-3)^2} একক =82+42=\sqrt{8^2+4^2} একক =64+16=\sqrt{64+16} একক =80=\sqrt{80} একক =45=4 \sqrt{5} একক ∴\therefore AD বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর দৈর্ঘ্য যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান সেহেতু চতুর্ভুজটি সামান্তরিক অথবা আয়তক্ষেত্র। BD কর্ণের দৈর্ঘ্য =(−2−8)2+(3−3)2=\sqrt{(-2-8)^2+(3-3)^2} একক =(−10)2+0=\sqrt{(-10)^2+0} একক =10=10 একক AC কর্ণের দৈর্ঘ্য =(0−6)2+(−1−7)2=\sqrt{(0-6)^2+(-1-7)^2} একক =62+82=\sqrt{6^2+8^2} একক =36+64=\sqrt{36+64} একক =100=\sqrt{100} একক =10=10 একক ∴\therefore কর্ণ AC=\mathrm{AC}= কর্ণ BD এখন, BD2=102=100,AB2=(25)2=20\mathrm{BD}^2=10^2=100, \mathrm{AB}^2=(2 \sqrt{5})^2=20 AD2=(45)2=80\quad \mathrm{AD}^2=(4 \sqrt{5})^2=80 ∴AB2+AD2=20+80=100=BD2\therefore \quad \mathrm{AB}^2+\mathrm{AD}^2=20+80=100=\mathrm{BD}^2 পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, △ABD\triangle \mathrm{ABD} একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠BAD=\angle \mathrm{BAD}= এক সমকোণ। যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান, কর্ণদ্বয় সমান এবং একটি কোণ সমকোণ। সুতরাং ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। ফলে A, B, C ও D বিন্দু চারটি একটি আয়তের শীর্ষবিন্দু। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, 3x−2y=23x - 2y = 2 বা, 3x−2y−2=0……...(i)3 x-2 y-2=0 \ldots\ldots...(i) এবং A, B ও C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক A( 0,-1 ), B(- 2,3 ), C(6, 7) এখন, AC রেখার ঢাল, m1=y2−y1x2−x1=7+16−0=86=43\mathrm{m}_1=\frac{\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1}=\frac{7+1}{6-0}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} ∴AC\therefore \quad A C রেখার সমীকরণ, y−y1=m(x−x1)y-y_1=m\left(x-x_1\right) বা, y+1=43(x−0)y+1=\frac{4}{3}(x-0) বা, 3y+3=4x3 y+3=4 x বা, −4x+3y+3=0………..(ii)-4 x+3 y+3=0 \ldots\ldots\ldots..(ii) আবার, AB রেখার ঢাল, m2=y2−y1x2−x1=3+1−2−0=4−2=−2\mathrm{m}_2=\frac{\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1}=\frac{3+1}{-2-0}=\frac{4}{-2}=-2 ∴AB\therefore \quad \mathrm{AB} রেখার সমীকরণ, y−y1=m(x−x1)y-y_1=m\left(x-x_1\right) বা, y+1=−2(x−0)y+1=-2(x-0) বা, y+1=−2x−y+1=-2 x- ∴2x+y+1=0……..(iii)\therefore \quad 2 x+y+1=0 \ldots\ldots..(iii) (ⅰ) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই, x−6+6=y8−9=19−8\frac{x}{-6+6}=\frac{y}{8-9}=\frac{1}{9-8}. বা, x0=y−1=11\frac{x}{0}=\frac{y}{-1}=\frac{1}{1} ∴x0=11\therefore \frac{x}{0}=\frac{1}{1} বা, x=0x=0 এবং y−1=11\frac{y}{-1}=\frac{1}{1} বা, y=−1y=-1 ∴\therefore (i) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু (0,−1)(0, - 1) আবার, (ii) ও (iii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই, x3−3=y6+4=1−4−6\frac{x}{3-3}=\frac{y}{6+4}=\frac{1}{-4-6} বা, x0=y10=1−10\frac{x}{0}=\frac{y}{10}=\frac{1}{-10} ∴x0=1−10\therefore \frac{x}{0}=\frac{1}{-10} বা, −10x=0-10 x=0 ∴x=0\therefore x=0 এবং y10=1−10\frac{y}{10}=\frac{1}{-10} বা, y=10−10y=\frac{10}{-10} ∴y=−1\therefore \quad y=-1 ∴\therefore (ii) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু (0, – 1) অর্থাৎ, (i), (ii) ও (iii) নং রেখা (0, – 1) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। ∴\therefore রেখা তিনটি সমবিন্দু। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১১ : স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.3x+4y=123 x+4 y=12 সরলরেখাটির ঢাল কত?

3x+4y=123 x+4 y=12 সরলরেখাটির ঢাল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.3x+2y=123 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=12 সরলরেখাটি A(L,2)\mathrm{A}(\mathrm{L}, 2) বিন্দুগামী হলে, A বিন্দু থেকে yy অক্ষের দূরত্ব নির্ণয় করো।

3x+2y=123 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=12 সরলরেখাটি A(L,2)\mathrm{A}(\mathrm{L}, 2) বিন্দুগামী হলে, A বিন্দু থেকে yy অক্ষের দূরত্ব নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, A(0, – 3), B (16,1) ও C (4, – 2) বিন্দুত্রয় সমরেখ।

দেখাও যে, A(0, – 3), B (16,1) ও C (4, – 2) বিন্দুত্রয় সমরেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.y - 2x + 3 = 0 রেখার ঢাল ও y অক্ষের ছেদক অংশ নির্ণয় করো।

y - 2x + 3 = 0 রেখার ঢাল ও y অক্ষের ছেদক অংশ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দেখাও যে, (−3,−3),(0,0)(-3,-3),(0,0) ও (3,3)(3,3) বিন্দু তিনটি দ্বারা কোন ত্রিভুজ তৈরি করা যায় না।

দেখাও যে, (−3,−3),(0,0)(-3,-3),(0,0) ও (3,3)(3,3) বিন্দু তিনটি দ্বারা কোন ত্রিভুজ তৈরি করা যায় না।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x−y+4=03 x-y+4=0 রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয় করো।

3x−y+4=03 x-y+4=0 রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.A(6,2),B(6,5),C(−4,5)A(6, 2), B(6, 5), C(- 4, 5) এবং D(−4,−2)D(- 4, - 2) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করো।

A(6,2),B(6,5),C(−4,5)A(6, 2), B(6, 5), C(- 4, 5) এবং D(−4,−2)D(- 4, - 2) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.A(2, - 1), B(- 4, 2) ও C(2,6) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ABC ত্রিভুজের AD সমীকরণ নির্ণয় করো।

A(2, - 1), B(- 4, 2) ও C(2,6) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ABC ত্রিভুজের AD সমীকরণ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.একটি থলেতে 4টি লাল, 5টি সাদা ও 2টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল নিলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত নির্ণয় করো।

একটি থলেতে 4টি লাল, 5টি সাদা ও 2টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল নিলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.A(t,3t),B(t2,2t),C(t−2,t)A(t, 3 t), B\left(t^2, 2 t\right), C(t-2, t) এবং D(1,1)D(1,1) চারটি ভিন্ন বিন্দু। AB ও CD রেখা সমান্তরাল হলে, t এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় করো।

A(t,3t),B(t2,2t),C(t−2,t)A(t, 3 t), B\left(t^2, 2 t\right), C(t-2, t) এবং D(1,1)D(1,1) চারটি ভিন্ন বিন্দু। AB ও CD রেখা সমান্তরাল হলে, t এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.x\mathbf{x}-অক্ষের সমান্তরাল এবং (- 4, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

x\mathbf{x}-অক্ষের সমান্তরাল এবং (- 4, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) A(6, 7), B(-2, 3), C(0, 1) এবং D(8, 3) একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু। (ii) 3x−y+4=03x - y + 4 = 0 এবং 4x+y−11=04x + y - 11 = 0 দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।

Chittagong · 2024

ক
AC সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
খ
ABCD চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
গ
(ii) নং এ প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয় x−x- অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] সরলরেখাটির ঢাল কত?[গণিত] সরলরেখাটি [গণিত] বিন্দুগামী হলে, A বিন্দু থেকে [গণিত] অক্ষের দূরত্ব নির্ণদেখাও যে, A(0, – 3), B (16,1) ও C (4, – 2) বিন্দুত্রয় সমরেখ।y - 2x + 3 = 0 রেখার ঢাল ও y অক্ষের ছেদক অংশ নির্ণয় করো।দেখাও যে, [গণিত] ও [গণিত] বিন্দু তিনটি দ্বারা কোন ত্রিভুজ তৈরি করা যায় না।[গণিত] রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয় করো।[গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করো।A(2, - 1), B(- 4, 2) ও C(2,6) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ABC ত্রিভুজের AD সমীকরণ নির্ণয়একটি থলেতে 4টি লাল, 5টি সাদা ও 2টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল নিলে বলটি লাল হও[গণিত] এবং [গণিত] চারটি ভিন্ন বিন্দু। AB ও CD রেখা সমান্তরাল হলে, t এর সম্ভাব্য [গণিত] -অক্ষের সমান্তরাল এবং (- 4, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।[গণিত] নং এ প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয় [গণিত] - অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, তার

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন