অধ্যায়-১১ : স্থানাঙ্ক জ্যামিতি উচ্চতর গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

(i) A(6, 7), B(-2, 3), C(0, 1) এবং D(8, 3) একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু। (ii) $3x - y + 4 = 0$ এবং $4x + y - 11 = 0$ দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।

Chittagong · 2024

ক

AC সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় A(6, 7) এবং C(0, – 1) AC রেখার ঢাল, $\mathrm{m}=\frac{\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1}=\frac{-1-7}{0-6}=\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3}$ $\therefore$ $\quad$ AC সরলরেখার সমীকরণ, $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$ বা, $(y-7)=\frac{4}{3}(x-6)$ বা, $y-7=\frac{4 x-24}{3}$ বা, $3 y-21=4 x-24$ বা, $3 y=4 x-24+21$ বা, $3 y=4 x-3$ বা, $4 x-3 y=3$ ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

খ

ABCD চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, $ABCD$ চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে A(6, 7) B(- 2, 3) , C(0,- 1) এবং D(8, 3) $xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো : $\mathrm{AB}$বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+2)^2+(7-3)^2}$ একক $=\sqrt{8^2+4^2}$ একক $=\sqrt{64+16}$ একক $=\sqrt{80}$ একক $=4 \sqrt{5}$ একক $\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(0-8)^2+(-1-3)^2}$ একক $=\sqrt{8^2+4^2}$ একক $=\sqrt{64+16}$ একক $=\sqrt{80}$ একক $=4 \sqrt{5}$ একক $\therefore \mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য আবার, AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-8)^2+(7-3)^2}$ একক $=\sqrt{(-2)^2+4^2}$ একক $=\sqrt{4+16}$ একক $=\sqrt{20}$ একক $=2 \sqrt{5}$ একক BC বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-2-0)^2+(3+1)^2}$ একক $=\sqrt{(-2)^2+4^2}$ একক $=\sqrt{4+16}$ একক $=\sqrt{20}$ একক $=2 \sqrt{5}$ একক $\therefore \quad \mathrm{AD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য যেহেতু ABCD চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলো সমান সেহেতু চতুর্ভুজটি সামান্তরিক অথবা আয়তক্ষেত্র । BD কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-2-8)^2+(3-3)^2}$ একক $=\sqrt{(-10)^2+0}$ একক $=\sqrt{100}$ একক $=10$ একক $\mathrm{AC}$ কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-0)^2+(7+1)^2}$ একক $=\sqrt{36+64}$ একক $=\sqrt{100}$একক$=10$ একক $\therefore$ কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য $=$ কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য। এখন, $\mathrm{BD}^2=10^2=100, \mathrm{AB}^2=(4 \sqrt{5})^2=80$ এবং $\mathrm{AD}^2=(2 \sqrt{5})^2=20$ $\therefore \quad \mathrm{AB}^2+\mathrm{AD}^2=80+20=100=\mathrm{BD}^2$ অতএব, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $\triangle \mathrm{BAD}$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle \mathrm{BAD}=$ এক সমকোণ। যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান, দুটি কর্ণ সমান এবং একটি কোণ সমকোণ। সুতরাং ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

গ

(ii) নং এ প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয় $x-$ অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয় $3x - y + 4 = 0 \ldots\ldots..(1)$ $4x + y - 11 = 0 \ldots.. (2)$ (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, \frac{x}{(-1} \times(-11)-1 \times 4}=\frac{y}{4 \times 4-3 \times(-11)}=\frac{1}{3 \times 1-4 \times(-1)} বা, $\frac{x}{11-4}=\frac{y}{16+33}=\frac{1}{3+4}$ বা, $\frac{x}{7}=\frac{y}{49}=\frac{1}{7}$ এখন, $\frac{x}{7}=\frac{1}{7}$ বা, $x=\frac{7}{7}$ $\therefore \quad x=1$ এবং $\frac{y}{49}=\frac{1}{7}$ বা, $y=\frac{49}{7}$ $\therefore \quad y=7$ অতএব, ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক C(1, 7) ধরি, (1) নং সমীকরণ $x$ অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু $x-$অক্ষের উপর $y = 0$ অতএব, সমীকরণ (1) নং পাই, $3x-0+4=0$ বা, $3x = - 4$ $\therefore \quad x=-\frac{4}{3}$ $\therefore$ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{4}{3}, 0\right)$ আবার, ধরি, (2)নং সমীকরণ $x$ অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু $x-$ অক্ষের উপর $y = 0$ অতএব, (2) নং সমীকরণ পাই, $4x + 0 - 11 = 0$ বা, $4x = 11$ $\therefore \quad x=\frac{11}{4}$ $\therefore \quad \mathrm{B}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{11}{4}, 0\right)$ এখন সরলরেখাদ্বয় হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো $xy$ সমতলে স্থাপন করি। চিত্রে ABC ত্রিভুজের $\mathrm{A}\left(-\frac{4}{3}, 0\right), \mathrm{B}\left(\frac{11}{4}, 0\right)$ এবং $\mathrm{C}(1,7)$ বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে। অতএব; ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{cccc}-\frac{4}{3} & \frac{11}{4} & 1 & -\frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 7 & 0\end{array}\]\right| বর্গ একক $=\frac{1}{2}\left\{0+\frac{77}{4}+0-\left(0+0-\frac{28}{3}\right)\right\}$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\left(\frac{77}{4}+\frac{28}{3}\right)$ বর্গ একক $=\frac{1}{2} \times\left(\frac{231+112}{12}\right)$ বর্গ একক $=\frac{1}{2} \times \frac{343}{12}$ বর্গ একক $=\frac{343}{24}$ বর্গ একক নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{343}{24}$ বর্গ একক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো