Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] ..(1) (1) নং এর উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, [গণিত] ..(2) বা, [গণিত] বা, [গণিত] ..(3) (2) নং এ [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (3) নং এর উভয়পক্ষ থেকে [গণিত] এর সহগ এবং ধ্রুবপদ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] A, B, C এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] , যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদ্দীপক

A=(5−3x)−1+(5−3x)−2+(5−3x)−3+…\mathrm{A} = (5-3\mathrm{x})^{-1} + (5-3\mathrm{x})^{-2} + (5-3\mathrm{x})^{-3} + \ldots একটি গুণোত্তর ধারা এবং B=x3−1\mathrm{B} = \mathrm{x}^3 - 1 একটি বীজগাণিতিক রাশি।

Mymensingh · 2026

উত্তর

ধরি, f(a)=18a3−a2x−a−2f(\mathrm{a}) = 18\mathrm{a}^3 - \mathrm{a}^2\mathrm{x} - \mathrm{a} - 2 f(a)f(\mathrm{a}) এর একটি উৎপাদক 3a+23\mathrm{a} + 2 হলে, f(−23)=0f\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 0 হবে। ∴ 18(−23)3−(−23)2x−(−23)−2=0\therefore\ 18\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 - \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 \mathrm{x} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) - 2 = 0 বা, 18(−827)−49x+23−2=018\left(-\dfrac{8}{27}\right) - \dfrac{4}{9}\mathrm{x} + \dfrac{2}{3} - 2 = 0 বা, −163−49x+23−2=0\dfrac{-16}{3} - \dfrac{4}{9}\mathrm{x} + \dfrac{2}{3} - 2 = 0 বা, 49x=−163+23−2\dfrac{4}{9}\mathrm{x} = -\dfrac{16}{3} + \dfrac{2}{3} - 2 বা, 49x=−16+2−63\dfrac{4}{9}\mathrm{x} = \dfrac{-16 + 2 - 6}{3} বা, 49x=−203\dfrac{4}{9}\mathrm{x} = -\dfrac{20}{3} বা, x=−203×94\mathrm{x} = -\dfrac{20}{3} \times \dfrac{9}{4} ∴ x=−15\therefore\ \mathrm{x} = -15 নির্ণেয় মান : x=−15\mathrm{x} = -15।

উত্তর

দেওয়া আছে, A=(5−3x)−1+(5−3x)−2+(5−3x)−3+…\mathrm{A} = (5-3\mathrm{x})^{-1} + (5-3\mathrm{x})^{-2} + (5-3\mathrm{x})^{-3} + \ldots =15−3x+1(5−3x)2+1(5−3x)3+…= \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} + \dfrac{1}{(5-3\mathrm{x})^2} + \dfrac{1}{(5-3\mathrm{x})^3} + \ldots ধারাটির ১ম পদ, a=15−3x\mathrm{a} = \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} এবং সাধারণ অনুপাত, r=1(5−3x)2÷15−3x\mathrm{r} = \dfrac{1}{(5-3\mathrm{x})^2} \div \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} =1(5−3x)2×(5−3x)= \dfrac{1}{(5-3\mathrm{x})^2} \times (5-3\mathrm{x}) =15−3x= \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 হয়। অর্থাৎ, −1<r<1-1 < \mathrm{r} < 1 বা −1<15−3x<1-1 < \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} < 1 এখন, −1<15−3x-1 < \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} বা, −(5−3x)>1-(5-3\mathrm{x}) > 1 [উভয়পক্ষে ঋণাত্মক (5−3x)(5-3\mathrm{x}) দ্বারা গুণ করে] বা, 5−3x<−15 - 3\mathrm{x} < -1 বা, 5+1<3x5 + 1 < 3\mathrm{x} বা, 3x>63\mathrm{x} > 6 বা, x>63\mathrm{x} > \dfrac{6}{3} ∴ x>2\therefore\ \mathrm{x} > 2 অথবা, 15−3x<1\dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} < 1 বা, 5−3x>15 - 3\mathrm{x} > 1 [উভয়পক্ষে ধনাত্মক (5−3x)(5-3\mathrm{x}) দ্বারা গুণ করে] বা, −3x>1−5-3\mathrm{x} > 1 - 5 বা, −3x>−4-3\mathrm{x} > -4 বা, 3x<43\mathrm{x} < 4 ∴ x<43\therefore\ \mathrm{x} < \dfrac{4}{3} ∴ x<43\therefore\ \mathrm{x} < \dfrac{4}{3} অথবা x>2\mathrm{x} > 2 হলে, A এর অসীমতক সমষ্টি থাকবে। A এর অসীমতক সমষ্টি S∞=a1−r\mathrm{S}_\infty = \dfrac{\mathrm{a}}{1 - \mathrm{r}} =15−3x1−15−3x=15−3x5−3x−15−3x= \dfrac{\dfrac{1}{5-3\mathrm{x}}}{1 - \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}}} = \dfrac{\dfrac{1}{5-3\mathrm{x}}}{\dfrac{5-3\mathrm{x}-1}{5-3\mathrm{x}}} =15−3x×5−3x4−3x=14−3x= \dfrac{1}{5-3\mathrm{x}} \times \dfrac{5-3\mathrm{x}}{4-3\mathrm{x}} = \dfrac{1}{4-3\mathrm{x}} নির্ণেয় শর্ত : x<43\mathrm{x} < \dfrac{4}{3} অথবা x>2\mathrm{x} > 2 এবং অসীমতক সমষ্টি 14−3x\dfrac{1}{4-3\mathrm{x}}।

উত্তর

দেওয়া আছে, B=x3−1\mathrm{B} = \mathrm{x}^3 - 1 ∴ 3x3B=3x3x3−1=3x3(x−1)(x2+x+1)\therefore\ \dfrac{3\mathrm{x}^3}{\mathrm{B}} = \dfrac{3\mathrm{x}^3}{\mathrm{x}^3 - 1} = \dfrac{3\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1)} ধরি, 3x3(x−1)(x2+x+1)≡3+Ax−1+Bx+Cx2+x+1\dfrac{3\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1)} \equiv 3 + \dfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-1} + \dfrac{\mathrm{B}\mathrm{x}+\mathrm{C}}{\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1}
…..(1)(1)\ldots..(1) (1)
নং এর উভয়পক্ষকে (x−1)(x2+x+1)(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1) দ্বারা গুণ করে পাই, 3x3≡3(x−1)(x2+x+1)+A(x2+x+1)+(Bx+C)(x−1)3\mathrm{x}^3 \equiv 3(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1) + \mathrm{A}(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1) + (\mathrm{B}\mathrm{x}+\mathrm{C})(\mathrm{x}-1) …..(2)\ldots..(2) বা, 3x3≡3(x3−1)+Ax2+Ax+A+Bx2−Bx+Cx−C3\mathrm{x}^3 \equiv 3(\mathrm{x}^3-1) + \mathrm{A}\mathrm{x}^2 + \mathrm{A}\mathrm{x} + \mathrm{A} + \mathrm{B}\mathrm{x}^2 - \mathrm{B}\mathrm{x} + \mathrm{C}\mathrm{x} - \mathrm{C} বা, 3x3≡3x3+(A+B)x2+(A−B+C)x+(A−C−3)3\mathrm{x}^3 \equiv 3\mathrm{x}^3 + (\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{x}^2 + (\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C})\mathrm{x} + (\mathrm{A}-\mathrm{C}-3)
…..(3)(2)\ldots..(3) (2)
নং এ x=1\mathrm{x} = 1 বসিয়ে পাই, 3=0+A(1+1+1)+03 = 0 + \mathrm{A}(1+1+1) + 0 বা, 3=3A3 = 3\mathrm{A} ∴ A=1\therefore\ \mathrm{A} = 1 (3) নং এর উভয়পক্ষ থেকে x2\mathrm{x}^2 এর সহগ এবং ধ্রুবপদ সমীকৃত করে পাই, 0=A+B0 = \mathrm{A} + \mathrm{B} বা, 0=1+B0 = 1 + \mathrm{B} ∴ B=−1\therefore\ \mathrm{B} = -1 এবং 0=A−C−30 = \mathrm{A} - \mathrm{C} - 3 বা, C=A−3\mathrm{C} = \mathrm{A} - 3 বা, C=1−3\mathrm{C} = 1 - 3 ∴ C=−2\therefore\ \mathrm{C} = -2 A, B, C এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 3x3(x−1)(x2+x+1)≡3+1x−1+−x−2x2+x+1\dfrac{3\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1)} \equiv 3 + \dfrac{1}{\mathrm{x}-1} + \dfrac{-\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1} =3+1x−1−x+2x2+x+1= 3 + \dfrac{1}{\mathrm{x}-1} - \dfrac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1} ∴ 3x3B=3+1x−1−x+2x2+x+1\therefore\ \dfrac{3\mathrm{x}^3}{\mathrm{B}} = 3 + \dfrac{1}{\mathrm{x}-1} - \dfrac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1}, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন