Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে, সেই শর্ত উল্লেখপূর্বক অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর: প্রদত্ত ধারা : [গণিত] অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, [গণিত] এবং সাধারণ অনুপাত, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি [গণিত] [উভয়পক্ষে ঋণাত্মক [গণিত] দ্বারা গুণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, [গণিত] নির্ণেয় শর্ত [গণিত] এবং অসীমতক সমষ্টি [গণিত] .

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে, সেই শর্ত উল্ল…

উদ্দীপক

1x+2+1(x+2)2+1(x+2)3+………..\frac{1}{\mathrm{x}+2} + \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^2} + \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^3} + \ldots\ldots\ldots.. একটি গুণোত্তর ধারা।

Comilla · 2026

উত্তর

0.1˙23˙=0.123123123...0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123123... =0.123+0.000123+0.000000123+...= 0.123 + 0.000123 + 0.000000123 + ... এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ, a=0.123\mathrm{a} = 0.123. এবং সাধারণ অনুপাত, r=0.0001230.123=0.001\mathrm{r} = \frac{0.000123}{0.123} = 0.001 নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত 0.0010.001.

উত্তর

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারা : 1x+2+1(x+2)2+1(x+2)3+…….\frac{1}{\mathrm{x}+2} + \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^2} + \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^3} + \ldots\ldots. x=3\mathrm{x} = 3 হলে, ধারাটি = \frac{1}{3+2} + \frac{1}{(3+2}^2} + \frac{1}{(3+2}^3} + \ldots\ldots. =15+152+153+…….= \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \ldots\ldots. গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a=15\mathrm{a} = \frac{1}{5} এবং সাধারণ অনুপাত, r=152÷15=125×5=15<1\mathrm{r} = \frac{1}{5^2} \div \frac{1}{5} = \frac{1}{25} \times 5 = \frac{1}{5} < 1 ধারাটির 12তম পদ = ar12−1=ar11\mathrm{ar}^{12-1} = \mathrm{ar}^{11} =15(15)11=(15)12=1512=1244140625= \frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}\right)^{11} = \left(\frac{1}{5}\right)^{12} = \frac{1}{5^{12}} = \frac{1}{244140625} এবং ধারাটির 12টি পদের সমষ্টি = a(1−r12)1−r\frac{\mathrm{a}(1-\mathrm{r}^{12})}{1-\mathrm{r}} [∵r<1\because \mathrm{r} < 1] =15(1−(15)12)1−15=15(1−1512)5−15= \frac{\frac{1}{5}\left(1 - (\frac{1}{5})^{12}\right)}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5} \left(1 - \frac{1}{5^{12}}\right)}{\frac{5-1}{5}} =15×512−1512×54=244140625−1512×4=61035156244140625= \frac{1}{5} \times \frac{5^{12}-1}{5^{12}} \times \frac{5}{4} = \frac{244140625-1}{5^{12} \times 4} = \frac{61035156}{244140625} নির্ণেয় 12তম পদ 1244140625\frac{1}{244140625} এবং ১ম 12টি পদের সমষ্টি 61035156244140625\frac{61035156}{244140625}.

উত্তর

প্রদত্ত ধারা : 1x+2+1(x+2)2+1(x+2)3+…….\frac{1}{\mathrm{x}+2} + \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^2} + \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^3} + \ldots\ldots. অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a=1x+2\mathrm{a} = \frac{1}{\mathrm{x}+2} এবং সাধারণ অনুপাত, r=1(x+2)2÷1x+2=1(x+2)2×(x+2)=1x+2\mathrm{r} = \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^2} \div \frac{1}{\mathrm{x}+2} = \frac{1}{(\mathrm{x}+2)^2} \times (\mathrm{x}+2) = \frac{1}{\mathrm{x}+2} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 হয়। অর্থাৎ, −1<r<1-1 < \mathrm{r} < 1 বা, −1<1x+2<1-1 < \frac{1}{\mathrm{x}+2} < 1 এখন, −1<1x+2-1 < \frac{1}{\mathrm{x}+2} বা, −(x+2)>1-(\mathrm{x}+2) > 1 [উভয়পক্ষে ঋণাত্মক (x+2)(\mathrm{x}+2) দ্বারা গুণ করে] বা, x+2<−1\mathrm{x}+2 < -1 বা, x<−1−2\mathrm{x} < -1-2 ∴x<−3\therefore \mathrm{x} < -3 আবার, 1x+2<1\frac{1}{\mathrm{x}+2} < 1 বা, 1<x+21 < \mathrm{x}+2 [উভয়পক্ষে ধনাত্মক (x+2)(\mathrm{x}+2) দ্বারা গুণ করে] বা, x+2>1\mathrm{x}+2 > 1 বা, x>1−2\mathrm{x} > 1-2 ∴x>−1\therefore \mathrm{x} > -1 ∴x<−3\therefore \mathrm{x} < -3 অথবা x>−1\mathrm{x} > -1 হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r\mathrm{S}_{\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} =1x+21−1x+2=1x+2x+2−1x+2= \frac{\frac{1}{\mathrm{x}+2}}{1 - \frac{1}{\mathrm{x}+2}} = \frac{\frac{1}{\mathrm{x}+2}}{\frac{\mathrm{x}+2-1}{\mathrm{x}+2}} =1x+2×x+2x+1=1x+1= \frac{1}{\mathrm{x}+2} \times \frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}+1} = \frac{1}{\mathrm{x}+1} নির্ণেয় শর্ত x<−3\mathrm{x} < -3 অথবা x>−1\mathrm{x} > -1 এবং অসীমতক সমষ্টি 1x+1\frac{1}{\mathrm{x}+1}.
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন