Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর: প্রদত্ত ধারা : [গণিত] অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, [গণিত] এবং সাধারণ অনুপাত, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি [গণিত] [উভয়পক্ষে ঋণাত্মক [গণিত] দ্বারা গুণ করে] বা, [গণিত] ; বা, [গণিত] ; বা, [গণিত] ; [গণিত] হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, [গণিত] নির্ণেয় শর্ত : [গণিত] এবং অসীমতক সমষ্টি [গণিত] .

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি…

উদ্দীপক

1+1(2y−1)+1(2y−1)2+1(2y−1)3+…1 + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)} + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)^2} + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)^3} + \ldots

Jessore · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, f(y)=y3−7y2+5y+5f(\mathrm{y}) = \mathrm{y}^3 - 7\mathrm{y}^2 + 5\mathrm{y} + 5 ∴f(−12)=(−12)3−7(−12)2+5(−12)+5\therefore f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 - 7\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + 5\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 5 =−18−74−52+5= -\dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{4} - \dfrac{5}{2} + 5 =−1−14−20+408=−35+408=58= \dfrac{-1 - 14 - 20 + 40}{8} = \dfrac{-35 + 40}{8} = \dfrac{5}{8} নির্ণেয় মান 58\dfrac{5}{8}.

উত্তর

প্রদত্ত ধারা : 1+1(2y−1)+1(2y−1)2+1(2y−1)3+…1 + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)} + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)^2} + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)^3} + \ldots y=3\mathrm{y} = 3 হলে, ধারাটি =1+1(2⋅3−1)+1(2⋅3−1)2+1(2⋅3−1)3+…= 1 + \dfrac{1}{(2 \cdot 3 - 1)} + \dfrac{1}{(2 \cdot 3 - 1)^2} + \dfrac{1}{(2 \cdot 3 - 1)^3} + \ldots =1+15+152+153+…= 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \ldots ∴\therefore গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a=1\mathrm{a} = 1 এবং সাধারণ অনুপাত, r=15÷1=15<1\mathrm{r} = \dfrac{1}{5} \div 1 = \dfrac{1}{5} < 1 ধারাটির প্রথম 15টি পদের সমষ্টি, S15=a(1−r15)1−r\mathrm{S}_{15} = \dfrac{\mathrm{a}(1 - \mathrm{r}^{15})}{1 - \mathrm{r}} [∵r<1][\because \mathrm{r} < 1] =1⋅{1−(15)15}1−15=(1−1515)5−15= \dfrac{1 \cdot \left\{1 - \left(\dfrac{1}{5}\right)^{15}\right\}}{1 - \dfrac{1}{5}} = \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{5^{15}}\right)}{\dfrac{5-1}{5}} =515−1515×54=515−14⋅514= \dfrac{5^{15} - 1}{5^{15}} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5^{15} - 1}{4 \cdot 5^{14}} ∴\therefore ধারাটির 15টি পদের সমষ্টি 515−14⋅514\dfrac{5^{15} - 1}{4 \cdot 5^{14}}.

উত্তর

প্রদত্ত ধারা : 1+12y−1+1(2y−1)2+1(2y−1)3+…1 + \dfrac{1}{2\mathrm{y}-1} + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)^2} + \dfrac{1}{(2\mathrm{y}-1)^3} + \ldots অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, b=1\mathrm{b} = 1 এবং সাধারণ অনুপাত, r=12y−1÷1=12y−1\mathrm{r} = \dfrac{1}{2\mathrm{y}-1} \div 1 = \dfrac{1}{2\mathrm{y}-1} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 হয়। অর্থাৎ, −1<r<1-1 < \mathrm{r} < 1 বা, −1<12y−1<1-1 < \dfrac{1}{2\mathrm{y}-1} < 1 এখন, −1<12y−1-1 < \dfrac{1}{2\mathrm{y}-1} হলে: বা, −(2y−1)>1-(2\mathrm{y}-1) > 1 [উভয়পক্ষে ঋণাত্মক (2y−1)(2\mathrm{y}-1) দ্বারা গুণ করে] বা, 2y−1<−12\mathrm{y} - 1 < -1; বা, 2y<−1+12\mathrm{y} < -1 + 1; বা, 2y<02\mathrm{y} < 0; ∴y<0\therefore \mathrm{y} < 0 আবার, 12y−1<1\dfrac{1}{2\mathrm{y}-1} < 1 হলে: বা, 1<2y−11 < 2\mathrm{y} - 1 [উভয়পক্ষে ধনাত্মক (2y−1)(2\mathrm{y}-1) দ্বারা গুণ করে] বা, 2y−1>12\mathrm{y} - 1 > 1; বা, 2y>1+12\mathrm{y} > 1 + 1; বা, 2y>22\mathrm{y} > 2; ∴y>1\therefore \mathrm{y} > 1 ∴\therefore y<0\mathrm{y} < 0 অথবা y>1\mathrm{y} > 1 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=b1−r=11−12y−1=12y−1−12y−1=12y−22y−1=1×2y−12y−2=2y−12y−2=2y−12(y−1)\mathrm{S}_{\infty} = \dfrac{\mathrm{b}}{1 - \mathrm{r}} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2\mathrm{y}-1}} = \dfrac{1}{\dfrac{2\mathrm{y}-1-1}{2\mathrm{y}-1}} = \dfrac{1}{\dfrac{2\mathrm{y}-2}{2\mathrm{y}-1}} = 1 \times \dfrac{2\mathrm{y}-1}{2\mathrm{y}-2} = \dfrac{2\mathrm{y}-1}{2\mathrm{y}-2} = \dfrac{2\mathrm{y}-1}{2(\mathrm{y}-1)} নির্ণেয় শর্ত : y<0\mathrm{y} < 0 অথবা y>1\mathrm{y} > 1 এবং অসীমতক সমষ্টি 2y−12(y−1)\dfrac{2\mathrm{y}-1}{2(\mathrm{y}-1)}.
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন