Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সে সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর: প্রদত্ত (i) নং অনন্ত গুণোত্তর ধারা : [গণিত] এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, [গণিত] সাধারণ অনুপাত, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি [গণিত] উভয়পক্ষে ঋণাত্মক [গণিত] দ্বারা গুণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, [গণিত] নির্ণেয় শর্ত : [গণিত] এবং অসীমতক সমষ্টি [গণিত] ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সে সমষ্টি …

উদ্দীপক

(i) 30+330+3330+…30 + 330 + 3330 + \ldots (iii) 1+(3x−5)−1+(3x−5)−2+(3x−5)−3+…1 + (3\mathrm{x}-5)^{-1} + (3\mathrm{x}-5)^{-2} + (3\mathrm{x}-5)^{-3} + \ldots

Dinajpur · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a=12\mathrm{a} = \frac{1}{2} এবং অসীমতক সমষ্টি S∞=13\mathrm{S}_{\infty} = \frac{1}{3} আমরা জানি, গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r\mathrm{S}_{\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} বা, 13=121−r\frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\mathrm{r}} বা, 1−r=12131-\mathrm{r} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} বা, 1−r=12×31-\mathrm{r} = \frac{1}{2} \times 3 বা, 1−r=321-\mathrm{r} = \frac{3}{2} বা, r=1−32\mathrm{r} = 1 - \frac{3}{2} বা, r=2−32\mathrm{r} = \frac{2-3}{2} ∴r=−12\therefore \mathrm{r} = -\frac{1}{2} নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত =−12= -\frac{1}{2}।

উত্তর

প্রদত্ত (i) নং ধারা : 30+330+3330+…30 + 330 + 3330 + \ldots ধারাটির n-সংখ্যক পদের যোগফল Sn=30+330+3330+…\mathrm{S}_\mathrm{n} = 30 + 330 + 3330 + \ldots =30(1+11+111+…)= 30(1 + 11 + 111 + \ldots) =309(9+99+999+…)= \frac{30}{9}(9 + 99 + 999 + \ldots) =103{(10−1)+(100−1)+(1000−1)+…}= \frac{10}{3}\{(10-1) + (100-1) + (1000-1) + \ldots\} =103{(10+100+1000+…+n= \frac{10}{3}\{(10 + 100 + 1000 + \ldots + \mathrm{n} তম পদ )−(1+1+1+…n) - (1+1+1+\ldots \mathrm{n} তম পদ) =103{(10+102+103+…+n= \frac{10}{3}\{(10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + \mathrm{n} তম পদ)−n}) - \mathrm{n}\} =103{10(10n−1)10−1−n}= \frac{10}{3}\left\{\frac{10(10^\mathrm{n}-1)}{10-1} - \mathrm{n}\right\} =103{10(10n−1)9−n}=10027(10n−1)−10n3= \frac{10}{3}\left\{\frac{10(10^\mathrm{n}-1)}{9} - \mathrm{n}\right\} = \frac{100}{27}(10^\mathrm{n}-1) - \frac{10\mathrm{n}}{3} নির্ণেয় ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল =10027(10n−1)−10n3= \frac{100}{27}(10^\mathrm{n}-1) - \frac{10\mathrm{n}}{3}।

উত্তর

প্রদত্ত (i) নং অনন্ত গুণোত্তর ধারা : 1+13x−5+1(3x−5)2+1(3x−5)3+…1 + \frac{1}{3\mathrm{x}-5} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-5)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-5)^3} + \ldots এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a=1\mathrm{a} = 1 সাধারণ অনুপাত, r=13x−51=13x−5\mathrm{r} = \frac{\frac{1}{3\mathrm{x}-5}}{1} = \frac{1}{3\mathrm{x}-5} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 হয়। অর্থাৎ, −1<r<1-1 < \mathrm{r} < 1 বা, −1<13x−5<1-1 < \frac{1}{3\mathrm{x}-5} < 1 এখন, −1<13x−5-1<\frac{1}{3 x-5} বা, −(3x−5)>1-(3 x-5)>1 উভয়পক্ষে ঋণাত্মক (3x−5)(3 \mathrm{x}-5) দ্বারা গুণ করে] বা, 3x−5<−13 x-5<-1 বা, 3x<−1+53 x<-1+5 বা, 3x<43 x<4 ∴x<43\therefore \quad x<\frac{4}{3} অথবা, 13x−5<1\frac{1}{3 x-5}<1 বা, 1<3x−51<3 x-5 [উভয়পক্ষে ধনাত্মক ( 3x−53 \mathrm{x}-5 ) দ্বারা গুণ করে] বা, 3x−5>13 x-5>1 বা, 3x>1+53 x>1+5 বা, 3x>63 x>6 বা, x>63x>\frac{6}{3} ∴x>2\therefore \quad \mathrm{x}>2 ∴x<43\therefore \mathrm{x} < \frac{4}{3} অথবা x>2\mathrm{x} > 2 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r=11−13x−5\mathrm{S}_{\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3\mathrm{x}-5}} =13x−5−13x−5=13x−63x−5= \frac{1}{\frac{3\mathrm{x}-5-1}{3\mathrm{x}-5}} = \frac{1}{\frac{3\mathrm{x}-6}{3\mathrm{x}-5}} =1×3x−53x−6=3x−53x−6=3x−53(x−2)= 1 \times \frac{3\mathrm{x}-5}{3\mathrm{x}-6} = \frac{3\mathrm{x}-5}{3\mathrm{x}-6} = \frac{3\mathrm{x}-5}{3(\mathrm{x}-2)} নির্ণেয় শর্ত : x<43\mathrm{x} < \frac{4}{3} অথবা x>2\mathrm{x} > 2 এবং অসীমতক সমষ্টি =3x−53(x−2)= \frac{3\mathrm{x}-5}{3(\mathrm{x}-2)}।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন