Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে অসীম ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর: প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো: [গণিত] এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, [গণিত] এবং সাধারণ অনুপাত, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] শর্ত আরোপ করলে উক্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, [গণিত] নির্ণেয় শর্ত : [গণিত] এবং সমষ্টি [গণিত] .

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে অসীম ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে এবং সেই…

উদ্দীপক

(3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+……(3 x+1)^{-1}+(3 x+1)^{-2}+(3 x+1)^{-3}+\ldots \ldots একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা।

Comilla · 2024

উত্তর

প্রদত্ত অনুক্রম : 25,310,415,……\frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \frac{4}{15}, \ldots \ldots. অনুক্রমটির প্রথম পদ =25=1+15.1=\frac{2}{5}=\frac{1+1}{5.1}. দ্বিতীয় পদ =310=2+15.2=\frac{3}{10}=\frac{2+1}{5.2} তৃতীয় পদ =415=3+15.3=\frac{4}{15}=\frac{3+1}{5.3} ∴\therefore অনুক্রমটির n তম পদ =n+15n=\frac{\mathrm{n}+1}{5 \mathrm{n}}; যেখানে n=1,2,3,….\mathrm{n}=1,2,3, \ldots ..

উত্তর

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো : \begin{aligned}& (3 x+1)^{-1}+(3 x+1)^{-2}+(3 x+1)^{-3}+\ldots \ldots \\& =\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{(3 x+1}^2}+\frac{1}{(3 x+1}^3}+\ldots \ldots\end{aligned} এখন, x=23x=\frac{2}{3} হলে ধারাটি হবে, $
13⋅23+1+1(3⋅23+1)2+1(3⋅23+1)3+…=13+132+133+……=13+19+127+……\begin{aligned}& \frac{1}{3 \cdot \frac{2}{3}+1}+\frac{1}{\left(3 \cdot \frac{2}{3}+1\right)^2}+\frac{1}{\left(3 \cdot \frac{2}{3}+1\right)^3}+\ldots \\& =\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots \ldots=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\ldots \ldots \end{aligned}
$ এখানে, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a=13\mathrm{a}=\frac{1}{3} এবং সাধারণ অনুপাত, r=1913=19×3=13<1\mathrm{r}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9} \times 3=\frac{1}{3}<1 ∴\therefore ধারাটির প্রথম 7 পদের সমষ্টি, S7=a(1−r7)1−r[∵r<1]S_7=\frac{a\left(1-r^7\right)}{1-r}[\because r<1] =13{1−(13)7}1−13=13(1−12187)23=\frac{\frac{1}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^7\right\}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2187}\right)}{\frac{2}{3}} =13(2187−12187)×32=13×21862187×32=10932187=\frac{1}{3}\left(\frac{2187-1}{2187}\right) \times \frac{3}{2}=\frac{1}{3} \times \frac{2186}{2187} \times \frac{3}{2}=\frac{1093}{2187} নির্ণেয় ধারাটির প্রথম 7 পদের সমষ্টি 10932187\frac{1093}{2187}

উত্তর

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো: (3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+………(3 x+1)^{-1}+(3 x+1)^{-2}+(3 x+1)^{-3}+\ldots \ldots \ldots =\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{(3 x+1}^2}+\frac{1}{(3 x+1}^3} এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a=13x+1\mathrm{a}=\frac{1}{3 \mathrm{x}+1} এবং সাধারণ অনুপাত, r=1(3x+1)213x+1=1(3x+1)2×(3x+1)=13x+1\mathrm{r}=\frac{\frac{1}{(3 \mathrm{x}+1)^2}}{\frac{1}{3 \mathrm{x}+1}}=\frac{1}{(3 \mathrm{x}+1)^2} \times(3 \mathrm{x}+1)=\frac{1}{3 \mathrm{x}+1} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|r|<1 হয় অর্থাৎ, - 1<r<11<\mathrm{r}<1 বা, −1<13x+1<1-1<\frac{1}{3 \mathrm{x}+1}<1 এখন, −1<13x+1-1<\frac{1}{3 x+1} বা, −1>3x+1-1>3 \mathrm{x}+1 বা, 3x+1<−13 x+1<-1 বা, 3x<−1−13 x<-1-1 বা, 3x<−23 x<-2 বা, x<−23x<-\frac{2}{3} আবার, 13x+1<1\frac{1}{3 \mathrm{x}+1}<1 বা, 3x+1>13 \mathrm{x}+1>1 বা, 3x>1−13 x>1-1 বা, 3x>03 x>0 বা, x>0x>0 ∴x<−23\therefore x<-\frac{2}{3} অথবা x>0x>0 শর্ত আরোপ করলে উক্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ∴\therefore ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−rS_{\infty}=\frac{a}{1-r} =13x+11−13x+1=13x+13x+1−13x+1=13x+13x3x+1=13x+1×3x+13x=13x=\frac{\frac{1}{3 x+1}}{1-\frac{1}{3 x+1}}=\frac{\frac{1}{3 x+1}}{\frac{3 x+1-1}{3 x+1}}=\frac{\frac{1}{3 x+1}}{\frac{3 x}{3 x+1}}=\frac{1}{3 x+1} \times \frac{3 x+1}{3 x}=\frac{1}{3 x} নির্ণেয় শর্ত : x<−23x<-\frac{2}{3} অথবা x>0x>0 এবং সমষ্টি 13x\frac{1}{3 x}.
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত 14\frac{1}{4} হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(a)=a+aa+aaa+f(\mathrm{a})=\mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a}+\mathrm{a} \mathrm{a} \mathrm{a}+ …...\ldots... এবং g(b)=b+bc+bc2+bc3+g(b)=b+b c+b c^2+b c^3+ …….\ldots\ldots.
ক
1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+ ………\ldots\ldots\ldots ধারাটির প্রথম 1000 পদের সর্মষ্টি নির্ণয় করো।
খ
f(8)f(8) ধারাটির প্রথম n তম পদের সমস্টি নির্ণয় করো।
গ
c=(12)2c=\left(\frac{1}{2}\right)^2 হলে, g(1)g(1) ধারাটির অসীমতক সমস্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

f(8)\text{f}(8) ধারাটির প্রথম n\text{n} সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

1+2+3+4+5+…1+2+3+4+5+ \dots ধারাটির প্রথম 10001000 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

115−252+453−854+1 \frac{1}{5}-\frac{2}{5^2}+\frac{4}{5^3}-\frac{8}{5^4}+ …..\ldots.. ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

2+12+18+132+……2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

1,23,49,827,…….1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots \ldots .. অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

0, 5, 0, 5, 0, 5, …..\ldots.. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

3.05˙2˙3.0\dot{5} \dot{2} কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ধারার প্রথম পদ 4 ও সাধারগ অনুপাত [গণিত] হলে, অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক স[গণিত] হলে, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি বিদ্যমান থাকে তবে তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির প্রথম [গণিত] পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে তবে নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] . অনুক্রমটির ৯ম পদ নির্ণয় করো।0, 5, 0, 5, 0, 5, [গণিত] .. প্রদত্ত অনুক্রমের r তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] কে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন